八年级轴对称最短路径问题

1、轴对称： 课题学习 最短路径问题(第1课时)一、内容和内容解析1内容从生活中抽象出、转化数学问题，利用轴对称研究某些最短路径问题2内容解析最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段，主要以“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为知识基础，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究本节课以数学史中的一个经典问题“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短” (或“三角形两边之和大于第三边”)问题2、 教学目标和重难点知识与技能：利用两点之间线段

2、最短和轴对称知识解决简单的最短路径问题过程与方法：体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想情感态度与价值观：体会数学与生活的关系，在小组合作学习中培养数学的兴趣重难点：会用转化思想解决简单的最短路径问题三、教学问题诊断分析最短路径问题从本质上说是最值问题，作为初中学生，在此前很少在几何中涉及最值问题，解决这方面问题的数学经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的最值问题，更会感到陌生，无从下手解答“当点A，B在直线l的同侧时，如何在l找到点C，使AC与CB的和最小”，需要将其转化为“直线l异侧的两点，与l上的点的线段和最小值问题”，为什么需要这样转化、怎样通过轴对称实现转化，一些学生会存

3、在理解上和操作上的困难在证明“最短”时，需要在直线上任取一点(与所求作的点不重合)，证明所连线段和大于所求作的线段和，这种思路和方法，一些学生想不到教学时，教师可以让学生首先思考“直线l异侧的两点，与l上的点的线段和最小值问题”，为学生搭建“脚手架”在证明“最短”时，教师要适时点拨学生，让学生体会“任意”的作用本节课的教学难点是：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题四、教学过程设计引言前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用说学知识探

4、究数学史中著名的“将军饮马问题”1将实际问题抽象为数学问题问题1 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图1 中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短?精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题这个问题后来被称为“将军饮马问题”你能将这个问题抽象为数学问题吗？BAlB··Al 图1图2(1)这是一个实际问题，你打算首先做什么？师生活动：学生回答将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线(图2)(2)你能用自己的语言说明这个

5、问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？师生活动：学生先互相交流，尝试回答，并相互补充，最后达成共识：(1)从A地出发，到河边l饮马，然后到B地；(2)在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B连接起来的两条线段的长度之和，就是从A地到饮马地点，再回到B地的路程之和；(3)现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点设C为直线l上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小(图3)BAlC图3设计意图：让学生将实际问题抽象为数学问题，即将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”2尝试解决数学问题B·图4lA·问题2 如图3，点A，B在

6、直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？师生活动：学生独立思考，互相交流，画图分析，并尝试回答，相互补充如果学生有困难，教师可作如下提示：(1)如图4，点A，B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点分别到点A与点B的距离和最短？(2)对于问题2，如何将点B“移”到l的另一侧B处，满足直线l上的任意一点C，都保持CB与CB的长度相等？(3)你能利用轴对称的有关知识，找到(2)中符合条件的点B吗？图5ABlB'C对于(1)，学生利用已经学过的知识，很容易解决这个问题即：连接AB，与直线l相交于一点，根据“两点之间，线段最短”，可

7、知这个交点即为所求；对于(2)(3)，学生独立思考后，尝试画图，寻找符合条件的点，然后小组交流，学生代表汇报交流结果，师生共同补充得出：只要作出点B关于l的对称点B，就可以满足CBCB(图5)再利用(1)的方法，连接AB，则AB与直线l的交点即为所求学生叙述，教师板书，并画图(图5)，同时学生在自己的练习本上画图作法：(1)作点B关于直线l的对称点B；(2)连接AB，与直线l相交于点C则点C即为所求设计意图：通过搭建台阶，为学生探究问题提供“脚手架”，将“同侧”难于解决的问题转化为“异侧”容易解决的问题，渗透转化思想3证明“最短”问题3：你能用所学的知识证明ACBC最短吗？先小组讨论十分钟师生

8、活动：师生共同分析，然后学生说明证明过程，教师板书：AlB'CC'B证明：如图6，在直线l上任取一点C(与点C不重合)，连接AC，BC，BC由轴对称的性质知，BCBC，BCBC ACBCACBCAB，ACBCACBC图6在ABC中，ABACBC， ACBCACBC即ACBC最短追问1：证明ACBC最短时，为什么要在直线l上任取一点C(与点C不重合)，证明ACBCACBC？这里的“C”的作用是什么？师生活动：学生相互交流，教师适时点拨，最后达成共识：若直线l上任意一点(与点C不重合)与A，B两点的距离和都大于ACBC，就说明ACBC最小设计意图：让学生进一步体会作法的正确性，提高

9、逻辑思维能力追问2: 回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？师生活动：学生回答，并相互补充设计意图：让学生在反思的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想，丰富数学活动经验练习河岸大桥山ABCQP图7如图7，一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客，然后将游客送往河岸BC上，最后回到P处，请画出旅游船的最短路径师生活动：学生分析解题思路，并相互补充，然后独立完成画图其基本思路为：由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线段PQ为旅游船最短路径中的必经线路将河岸抽象为一条直线BC，这样问题就转化为“点P，Q在直线BC的同侧，如何在BC找到一点R，使PR与Q

10、R的和最小”设计意图：让学生进一步巩固解决最短路径问题的基本策略和基本方法4小结教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：(1)本节课研究问题的基本过程是什么？(2)轴对称在所研究问题中起什么作用？设计意图：引导学生把握研究问题的基本策略、基本思路和基本方法，体会轴对称在解决最短路径问题中的作用，感悟转化思想的重要价值 5. 思考题 如图，一牧民需要从P处把羊赶去草地吃草，后去水渠喝水，最后回到营地Q处，牧民该如何规划路钱? m 草地 .P .Q 水渠n 设计意图：这个问题学生们肯定有多种方案，让他们课后自己讨论，用自己的知识去说服别人，通过这种互相竞争的方式，培养他们对数学的兴趣 这节课知识点虽然比较单一，内容也比较少，但是最短路径问题也不是那么好理解的，要光靠讲能讲清并不容