线性代数矩阵及其运算

1、第二章第二章 矩矩 阵阵 矩阵是线性代数中一个重要的数学概念，在线性代数中起着极其重要的作用，本章将引进矩阵的概念，并讨论矩阵和线性变换的关系，以及矩阵的运算。重点是逆矩阵的计算和矩阵方程的求解。 1 1 矩阵的概念及其基本运算矩阵的概念及其基本运算 定义定义2.12.1 由mn个数aij (i=1,2,m,j=1,2,n)组成的m行n列的数表naaa11211.naaa22221.mnmmaaa.21称为m行n列矩阵,简称mn矩阵,记为:mnmmnnaaaaaaaaa.212222111211A组成矩阵的这mn个数称为矩阵A A的元素, aij称为矩阵A A的第i行第j列元素, 矩阵A A也

2、简记为(aij)或(aij) mn或A A mn 。 元素是实数的矩阵称为实矩阵实矩阵, 元素为复数的矩阵称为复矩阵复矩阵，本课除特殊说明外都讨论实矩阵。 下面介绍矩阵的基本关系及运算 一、相等一、相等 设有两个矩阵A A=(aij)mn, B B=(bij)st, 如果m=s, n=t, aij=bij (i=1,2,m,j=1,2,n), 则称矩阵A A与B B相等, 记为A A=B B. 两个矩阵相等, 是指两个矩阵完全一样, 即阶数相同而且对应的元素完全相等. 二、加法二、加法 设A A=(aij)mn, B B=(bij)mn, 则矩阵C=(cij)mn (其中cij =aij+bi

3、j , i=1,2,m, j=1,2,n) 称为A A与B B的和记作A+BA+B.即mnmnmmmmnnnnbababababababababa.221122222221211112121111BA 注意:只有两个矩阵阶数相同时才能相加. 例例1 1 设1 2 3,4 5 6A10 2,1 3 0B2 2 53 8 6A B 则 元素全为零的矩阵称为零矩阵, 记为0. 注意:阶数不同的零矩阵是不同的. 设A A=(aij)mn, 称矩阵(aij)mn为A A的负矩阵, 记 A A. 矩阵加法满足下列运算规律(设A A、B B、C C是同阶矩阵): ()交换律：A+B=B+A A+B=B+A

4、定义两个矩阵的减法为: B BA A=B B+( A A). () 结合律: (A+BA+B)+C C=A A+(B B+C C) () A+0A+0=A A () A A+( A A)=0 0 三、数乘法三、数乘法 设k为数, A A=(aij)mn为矩阵, 则矩阵(kcij)mn (其中cij 称为k与B B的乘积记作kA A或A Ak. 即111212122212.kk.nnmmmnkakakakakakakakakaAA 数乘矩阵满足下列运算规律(设A A、B B是同阶矩阵) （）1A= AA= A （ ）数的分配律： (k+l) A=A=kA A+lA A （ ）矩阵的分配律： k(

5、A+BA+B)=kA A+kB B. . （ ）结合律：(kl)A A=k(l A A) 四、乘法四、乘法 设矩阵A A=(aij)mn, B B=(bij)np, 则矩阵C C=(cij)mp (其中cij =aikbkj , i=1,2,m, j=1,2,p) 称为A A与B B的乘积,记作C C=ABAB. 即111211112111121212222122221222121212.ppnppnnnnpmmmpmmmnbbbcccaaabbbcccaaabbbcccaaa1 1221.nijijijinnjikkjkca ba ba ba b其中注意: 矩阵A, BA, B能够乘积的条件

6、是矩阵A A的列数等于矩阵B B的行数, 且乘积矩阵与A A行数相同, 与B B列数相同.1 1 2 0 3 3 1 0 2 1 3 ( 1) 1 ( 1) 2 2 3 04 1 5 0 6 3 AB1 1 2 0 3 3 1 0 2 1 3 ( 1) 1 ( 1) 2 2 3 04 1 5 0 6 3 4 0 5 1 6 ( 1) AB1 1 2 0 3 3 1 0 2 1 3 ( 1) 1 ( 1) 2 2 3 04 1 5 0 6 3 4 0 5 1 6 ( 1) 4 ( 1) 5 2 6 0 AB 解解 例例2 2 设1 2 3,4 5 6A101012310B求AB.1 1 2 0

7、3 3 AB101 3221 61 1 2 0 3 3 1 0 2 1 3 ( 1) AB1 1 2 0 3 3 1 0 2 1 3 ( 1) 1 ( 1) 2 2 3 0 AB 注意: 这里BA无意义.1212.,.jjiiinnjbbAaaaBb例例3 3 设矩阵 解解 可见，若C=AB, 则乘积矩阵C C的第i行第j列元素cij就是A A的第i行和B B的第j列的乘积。求ABAB和BA.BA.1nikkjkABa b111212122212,jijijinjijijinnjinjinjinb ab ab ab ab ab aBAb ab ab a例例4 4 求矩阵48122424AB,求

8、ABAB和BABA。 解解 12AB 由例题可见，即使ABAB与BABA都是2阶方阵, 但它们还是可以不相等。所以，在一般情况下ABABBABA。 另外，虽然AO，BO，但是BA=O。从而，由AB=O，不能推出A A和B B中有一个是零矩阵的结论。而若AO，由AX=AY也不能得到X=Y的结论。1224AB12246AB1224612AB0BA00BA000BA0000BA 矩阵的乘法满足下列运算规律(设运算都是可行的)： （）结合律：(AB)(AB)C C= = A(A(BC) ;BC) ; （ ）数的结合律：k(ABAB)=(kA A)B=AB=A( kB B); （ ）分配律：A A(B

9、B+C C)= A AB B+AC ;AC ; (B+B+C C)A A= BA BA+CA;CA; 五五 矩阵的转置矩阵的转置 设矩阵A A=(aij)mn, 则矩阵B B=(bij)nm(其中bij =aji , i=1,2,n, j=1,2,m) 称为A A的转置, 记作B B=A AT T, ,或A, 即111212122212.nnmmmnaaaaaaAaaa11211222212.mTnnmnaaaaaaAaaam1 矩阵的转置满足下列运算规律(设运算都是可行的)：（）(AT)T=A ； （）(A+B)T=AT+BT ；（）(kA)T=kAT ；（）(AB)T=BTAT ； 行数和

10、列数相等的矩阵称为方阵. nn阶矩阵称为n阶方阵. 和行列式相同, 主对角线以外的元素全是零的方阵也称为对角矩阵. 即1122nnaaAa 对角矩阵也常记为: A A=diag(a11, a22, ann) 对角线元素全是1的对角矩阵称为单位矩阵, 记为E E(或I). n阶单位矩阵也记为E En(或In), 即 单位矩阵具有性质：AmnEn= Amn , EmAmn= Amn 111E = I n阶单位矩阵也可表示为: E En=(ij)n, 其中1,0,.ijijij A0=E, A1=A， A2= A1 A1 ，, Ak+1=AkA1 矩阵的幂满足以下运算规律(设A A与B B是同阶方阵

11、, k和l是非负整数) 设A为方阵, 定义A的幂为: （）AB=BA时有: (AB)k=AkBk （）(Ak)l=Akl （）Ak Al =Ak+l 注意: (AB)k=AkBk时, 不一定有AB=BA. 如0100,0001AB 有 (AB)k=AkBk (k=0,1,2,), 但AB BA. 方阵的行列式满足以下运算规律(设A A与B B是n阶方阵, k是常数) （）det (AB)=detAdetB （）det(kA) =kndetA （）det(AT) =detA 设A=A=(aij)n是n阶方阵, 则n阶行列式|aij|n称为A A的行列式, 记为detA(或|A|), 即detA=

12、|A|=|aij|n. 称满足条件A=AT的矩阵A为对称矩阵. 显然对称矩阵是方阵. 111211222212.nnnnnnaaaaaaaaaA 设A=(aij)n, 则A是对称矩阵aij=aji , 即对称矩阵的元素以主对角线为轴对称。作作 业业习题习题A A 第第4848页页1、2、3、4、5、142 2 逆逆 矩矩 阵阵 数的除法运算是乘法运算的逆运算, 且有: 1a=a1=a ba=ba-1, aa-1=a-1a= 1 对矩阵的乘法我们也有: AmnEn= Amn , EmAmn= Amn 所以, 当A是n阶方阵时我们有: AnEn= EnAn= An 可见, 对n阶方阵来说, n阶单

13、位矩阵E En在乘法运算中的作用和1在数的乘法中的作用是一致的. 由于矩阵乘法运算不满足交换律, 定义矩阵除法是困难的, 为对应矩阵乘法运算的逆运算引进逆矩阵的概念. 定义定义2.2 2.2 对n阶方阵A A，如果存在n阶方阵B B，使 ABAB=BABA=E E则称方阵A A是可逆的，且称B B是A A的逆矩阵，记为B B=A A1。 可逆矩阵又称为非异阵或非奇异阵. 显然单位矩阵E是可逆的, 且E E- -1=E E, 但零矩阵不可逆。 若矩阵A, B, CA, B, C都是n阶方阵, 且A A是可逆矩阵，则 由 BA=C BA=C 可得 CACA-1=B B 由 AB=C AB=C 可得

14、 A A-1 -1C C=B B可见, 引进逆矩阵的概念就解决了矩阵乘法逆运算的问题. 但由于矩阵乘法不满足交换律, 所以CACA-1A A-1 -1C C, 若引入“左除”,“右除”的概念很乱, 所以逆矩阵解决了这一问题. 定理定理2.12.1 若矩阵A A可逆，则A A的逆矩阵是唯一的. 证明 设B B，C C都是A A的逆矩阵，则有 B B=BEBE=B B(ACAC) =(BABA)C C=C C=ECEC 可逆矩阵满足以下运算规律(设A A与B B是n阶可逆矩阵, k是常数) （） (A-1) -1=A （） (AT)-1=(A-1)T （） (kA)-1 =1/k A-1（） (A

15、B)-1=B-1A-1 . 证明 仅证(), 其它完全类似. . (AB) (B-1A-1)= A(BB-1)A-1=AA-1=E. (B-1A-1)(AB) = B-1(A-1A)B=B-1B=E, 所以()成立. 对n阶方阵A, 其行列式|A A|的各元素的代数余子式Aij也称为方阵A的代数余子式.nn2n1nn22212n12111*A.AA.A.AAA.AAA称为方阵A的伴随矩阵, 伴随矩阵也记为adj(A A)。例例5 5 证证 设A A=(aij)n，记AAAA*=(bij)n，则bij=ai1Aj1+ai2Aj2+ainAjn=|A|ij (i, j=1,2,n)故 AAAA*

16、*=|A A|E E，类似地 A A* *A A=|A A|E E 由方阵A的代数余子式组成的如下形式的矩阵 证明: AAAA* *=A=A* *A=A=|A A|E E 定理定理2.22.2 矩阵A A可逆|A A|0。且|A A|0时有 证证 必要性: A A可逆, 则A AA A-1=E E, 所以|A A|A A-1|=|E E|=1，所以|A A|0。 (而且|A A -1 |等于|A A |的倒数) 充分性: 若|A A|0，则由例5有AAAA* *=A=A* *A=A=|A A|E E*AA1A1其中A A*为矩阵A A的伴随矩阵。于是有*11AAA AEAA即A可逆, 且*AA

17、1A1 推论推论 若ABAB=E E(或BABA=E E)，则B B=A A-1。 证证 因ABAB=E E，所以|A A| 0，因而A A1存在，于是 B=EB= A-1AB= A-1的逆矩阵.例例6 6求方阵213312121A解解因为|A A|100，所以A可逆，又 A11=-1， A21=-5，A31=7， A12=5，A13=-1A22=5， A23=5A32=-5， A33=-3所以有157555 ,153*A3515557511011A例例7 7 设213312121A5231,B302101,C求解矩阵方程AXBAXB=C. C. A A -1AXBB AXBB -1 =A =

18、A -1 CB CB -1 即 X X =A =A -1 CB CB -1 解解 由例6知A A可逆，而|B B| =-1 0，故B B也可逆。 又因为 由AXBAXB=C C, 得 1571053155512211015303X123516501141011932510121013515557511011A12351235,1B所以有 矩阵在线性方程组求解中也有重要作用. 对方程组nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa.22112222212111212111111212122212.,.nnnnnnaaaaaaaaaA记矩阵12,nxxxx12.nbbb则方程组可写

19、成矩阵形式: AxAx= 矩阵A A称为方程组的系数矩阵. 如果矩阵|A A|0, 则A可逆, 于是方程组的解为11221|nnxbxbxb 1121n11222n21n2nnnAA. AAA. A.AAA. A即这就是第一章中Cramer法则的结论.*11xA A A112111|1|1|nkkknkkknkknkb Ab Ab AAAA12.nDDDDDD3 3 分块矩阵分块矩阵 用若干条横线和纵线将矩阵A A分成许多小矩阵，每一个小矩阵称为A A的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。 例如矩阵 343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaA将矩阵A

20、A记为 22211211AAAAA3433242332312221141312121111,aaaaaaaaaaaa2221AAAA343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaA343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaA343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaA343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaA也可将矩阵A A分成： 矩阵具体如何分块, 一般没有限制. 但应突出特点,便于简化处理. 灵活恰当的运用分块矩阵, 可获得事半功倍的效果. 分块矩阵的运算规则与一般矩阵的运

21、算规则很类似，分别说明如下： (1)设有两个同阶矩阵A A，B B，采用相同的分块法：srs11r11A.A.A.AAsrs11r11B.B.B.BB,其中A Aij与B Bij是同阶矩阵，则有srsrs1s11r1r1111BA.BA.BA.BABA1111.rssrkkkkkAAAAA (2)设矩阵A A采用上述分块法，k是数，则有 (3)设有两个矩阵A A ml，B B ln，分块成：sts11t11A.A.A.AAtrt11r11B.B.B.BB,其中A Ai1, A Ai2, A Ait, 的列数分别等于B B1j, B B2j, B Btj,的行数, (i=1,2,s, j=1,2

22、,r).srs11r11C.C.C.CAB则有其中tkrjsi1),.,2 , 1,.,2 , 1( ,kjikijBAC例例8 8 设1000010012101101A1110320110430121B求ABAB。 解解 把A A、B B分块成 1000010012101101A1110320110430121,B211BEEBEOAEAB则22111BEBAEABEBAEAB21112111BAEAB11ABEOAE121BEEB由于55121211432111AB832411321211100121BAE1110320183552412AB故srs11r11A.A.A.AA (4)设 ,

23、 则 .TsrT1rTs1T11TA.A.A.AA (5)设A A为n阶方阵, 若A A的分块矩阵只有在主对角线上有非零子块, 其余子块都为零矩阵, 且非零子块都是方阵，即 12sAAA.A则称A A为分块对角矩阵分块对角矩阵, 分块对角矩阵具有性质: （a） |A|=|A1|A2|As|1s12111A.AAA（b）例例9 9 设7300021000004000002500013A求A A1。 解解 因为A A是分块对角矩阵, 130002700000000003500012411A 所以 例例10 10 设1025011300410072A求A A1。 解解 对A A进行分块, 12EAA

24、0A 即 则有 . 记 212221111XXAXX2222111121EAXX0AXX1112112122221222X +A XX +A X=A XA XE00E所以有 X X11 11+A+A1 1X X2121=E , X=E , X1212+A+A1 1X X2222=0, A=0, A2 2X X2121=0, A=0, A2 2X X2222=E=E2174-1222X =A解得1,2X =011,X =E11222 52131181 37419112X = A X所以有110311801191100210074A例例11 11 证明证明 设A A是mn矩阵, B B是nm矩阵.

25、 其中An, Bn都是n阶方阵. 于是有,nm nAAAnm nE00E所以有设ABAB=E E, BABA=E E, 则A A是方阵, 且可逆, A A-1=B B.如果mn, 作分块nm nBBBnnm nm nAABBBAnnnm nm nnm nm nA BA BABAB A An nB Bn n=E=En n , A , An nB Bm-nm-n=0, A=0, Am-nm-nB Bn n=0, A=0, Am-nm-nB Bm-nm-n=E=Em-nm-n 矛盾. 故应有mn. 同理可得nm. 于是m=n. 即A A, B B都是方阵, 于是A可逆, 且其逆矩阵为B B. 作作

26、业业习题习题A A 第第4848页页7(1)(2)、8、10、11、12、16、17 、18、19练习题练习题习题习题B B 第第5050页页4、 5、 64 4 初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵 矩阵的初等变换是矩阵的一种非常重要的运算，它在线性代数中有着极其广泛的应用。 定义定义2.3 2.3 对矩阵作下列三种类型的变换分别称为第一, 第二, 第三种初等行初等行( (列列) )变换变换： 1. 互换矩阵的某两行(列); 2. 某行(列)乘以非零常数; 3. 某行(列)的倍数加到另一行(列). 矩阵的初等行变换和初等列变换统称为初等变换初等变换. 当矩阵A A经过初等变换变为B B时,

27、记为A AB B. 若强调变换的具体做法, 对行(row)的表示为: rirj 表示互换第i, j 两行 类似地, 初等列(column)变换分别表示为 易见, 各种初等变换都是可逆的, 且逆变换也是同类型的初等变换。 kri 表示第i行乘以k0 ri+krj 表示第j行的k倍加到第i行. cicj 表示互换第i, j 两列 kci 表示第i列乘以k0 ci+kcj 表示第j列的k倍加到第i列. 例例12 12 设 解解1 2 3,4 5 6A对A做初等变换将其简化.2141 2 31234 5 6036rrA2131 2 30 1 2r1221 010 12rr311 0 00 1 2cc3

28、221 0 0,0 1 0cc1 0 0.0 1 0A即 定义定义2.4 2.4 对单位矩阵作一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵初等矩阵。ijrr101i1.i,j=10j1EP第 行第 行 初等矩阵有如下三种类型ijcci,jEP 可见, ikr ,k 0112.i(k)=ki11EP第 行ikc ,k 0i(k)EP 可见, ijr +kr11ki3.i+j(k)=1j1EP第 行第 行jic +kci+j(k)EP 可见, mnmmnnaaaaaaaaa.212222111211A111212122212.,.nnmmmnaaaaaaaaaA 定理定理2.3 2.3 对矩阵A作一次初等行

29、(列)变换得到的矩阵等于对A左(右)乘上一个相应的初等矩阵。 实际上, 初等矩阵只有三种类型, 我们分别对A作如下形式的分块12nA12n,A我们有ijrrA1ijn101i,j =101PA1jin=ijccAi,j=AP1ijn1011011jin= ikrA1i-1ii+1n11i(k) =k11PA1i-1ii+1n= kikcAi(k)=AP1i-1ii+1n11k111i-1ii+1n=kijr +krA1ijn11ki+j(k) =11PA1ijjn+k=jic +kcAi+j(k)=AP1ijn11k111ijin=+k 例如, 例12中有212 1231324 ,-1/3r

30、,r -2r ,c +c ,c -2c1 2 31 0 04 5 60 1 0rrAB1 0 11 001 -210101 2 31 0 00 1 00 1 -2 =010 -1/3-4 14 5 60 1 00 0 10 01也就是 P1+2(-2)P2(-1/3)P2+1(-4)AP1+3(1)P2+3(-2)=B即 初等矩阵Pi,j, Pi(k), Pi+j(k)都是可逆矩阵, 且 Pi,j-1=Pi,j, Pi(k)-1=Pi(1/k) (k0), Pi+j(k)-1=Pi+j(-k) 定义定义2.5 2.5 若矩阵A可以经过有限次初等变换化为矩阵B, 则称矩阵A与矩阵B是等价的。 矩

31、阵的等价性具有下列三个性质 （）反身性: 任何矩阵都与自身等价; （）传递性: 若矩阵A A与B B等价, 且B与C也等价, 则A A与C C也等价. （）对称性: 若矩阵A A与B B等价, 则B B与A A也等价; 推论推论 矩阵A A与B B等价的充分必要条件是存在有限个初等矩阵P1, P2, ,Pl和Q1, Q2, ,Qt, 使得 A=PlP2P1BQ1Q2Qt 定理定理2.4 2.4 任意mn矩阵A都与形为 的矩阵等价。其中Er为r阶单位矩阵, 0rminm, n, 并且r是唯一的. (r就是矩阵A的秩, 仅当A=0时, r=0, E0为数0.) , 该矩阵称为A A的等价标准形.

32、推论推论 对任意矩阵A A, 都有初等矩阵P1, P2, ,Pl和Q1, Q2, ,Qt, 使得 PlP2P1AQ1Q2Qt=rE000rE000 定理定理2.52.5 矩阵A A可逆的充分必要条件是A A可表示为有限个初等矩阵的乘积. 定理定理2.62.6 对任意mn矩阵A A, 都有可逆矩阵P P, QQ使 下面给出利用初等变换求矩阵逆矩阵的方法. A A-1=P P1,P P2, ,P Pt r(0min , )rm n E000于是有 PAQPAQ= 若A可逆, 由定理2.5知, 存在初等矩阵P P1,P P2, ,P Pt , 使 P P1,P P2, ,P Pt A=EA=E ,

33、P P1,P P2, ,P Pt E=AE=A- -1 所以有 P P1,P P2, ,P Pt (A EA E)=(E AE A- -1)例例1313121231383A解解100383010132001121)(EA212121100013210383001rr31r -3r121100013210020301322121100013210006721rr36711636121100013210001r 23331227116361211000100001rr 求矩阵 的逆矩阵.312271163612110001000012( 1)31227116361211000100001r 131

34、11636+r31227116361200100001r所以有:6131672123653161701A1617259037211或A1217516362r31227116361000100001r 3831321211AA12730952176160006000661100010001所以 P P1,P P2, ,P Pt (A BA B)=(E AE A-1 -1B B)这说明可利用初等行变换求矩阵A A-1 -1B.B.例例1414 求解矩阵方程AX=BAX=B, 其中 由于A A-1=P P1,P P2, ,P Pt ，而A A-1(A BA B)=(E AE A-1 -1B B)383132121A023011,B 解法一解法一 由AX=BAX=B可得X=AX=A-1B, B, 所以023011127309521761X1359311761 解法二解法二 由AX=BAX=B可得X=AX=A-1B B,023011383132121)(BA212121110132538320rr312321211101325006513rrr3