人教版高中数学选修11　检测试题

1、第三章检测试题(时间:120分钟满分:150分)【选题明细表】知识点、方法题号导数的定义及其计算2,3,13导数的几何意义1,9,14,17函数的单调性4,5,10,15,18函数的极值与最值6,7,19不等式恒成立问题11导数的实际应用8,20导数的综合应用12,16,21,22一、选择题(每小题5分,共60分)1.曲线y=x2-2x在点(1,-)处的切线的倾斜角为(D)(A)-135°(B)45°(C)-45° (D)135°解析:y=x-2,所以斜率k=1-2=-1,因此,倾斜角为135°.故选D.2.下列求导运算正确的是(B)(A)(x

2、+)=1+(B)(log2x)=(C)(3x)=3xlog3e(D)(x2cos x)=-2xsin x解析:(x+)=1-,所以A不正确;(3x)=3xln 3,所以C不正确;(x2cos x)=2xcos x+x2·(-sin x),所以D不正确;(log2x)=,所以B正确.故选B.3.若f(x0)=-3,则等于(A)(A)-12(B)-9 (C)-6(D)-3解析:因为=+3=f(x0)+3f(x0)=4f(x0),所以=-12.故选A.4.设f(x)=x2(2-x),则f(x)的单调递增区间是(A)(A)(0,) (B)(,+)(C)(-,0)(D)(-,0)(,+)解析:

3、f(x)=2x2-x3,f(x)=4x-3x2,由f(x)>0得0<x<.故选A.5.如图是函数y=f(x)的导函数f(x)的图象,则下面判断正确的是(C)(A)在区间(-2,1)上f(x)是增函数(B)在(1,3)上f(x)是减函数(C)在(4,5)上f(x)是增函数(D)当x=4时,f(x)取极大值解析:由导函数y=f(x)的图象知,f(x)在(-2,1)上先减后增,在(1,3)上先增后减,在(4,5)上单调递增,x=4是f(x)的极小值点,故A,B,D错误.故选C.6.函数y=x4-4x+3在区间-2,3上的最小值为(D)(A)72 (B)36 (C)12(D)0解析:

4、y=4x3-4,令y=0,则4x3-4=0,x=1,当x<1时,y<0;当x>1时,y>0得y极小值=yx=1=0,得ymin=0.故选D.7.已知f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则a的取值范围为(D)(A)(-1,2) (B)(-3,6)(C)(-,-1)(2,+)(D)(-,-3)(6,+)解析:因为f(x)有极大值和极小值,所以导函数f(x)=3x2+2ax+(a+6)有两个不等零点,所以=4a2-12(a+6)>0,得a<-3或a>6.故选D.8.设底为正三角形的直棱柱的体积为V,那么其表面积最小时,底面边长为(C)(

5、A) (B) (C) (D)2解析:设底面边长为x,侧棱长为l,则V=x2·sin 60°·l,所以l=,所以S表=2S底+3S侧=x2·sin 60°+3·x·l=x2+,S表=x-.令S表=0,所以x3=4V,即x=.又当x(0,)时,S表<0;当x(,V),S表>0,所以当x=时,表面积最小.故选C.9.已知函数f(x)=ex-mx+1的图象是曲线C,若曲线C不存在与直线y=ex垂直的切线,则实数m的取值范围是(D)(A)(-,-)(B),+)(C)(-,)(D)(-,解析:函数f(x)=ex-mx+1的导

6、数为f(x)=ex-m,设切点为(s,t),即有切线的斜率为es-m,若曲线C不存在与直线y=ex垂直的切线,则关于s的方程es-m=-无实数解,由于es>0,即有m-0,解得m.故选D.10.已知向量a=(ex+,-x),b=(1,t),若函数f(x)=a·b在区间(-1,1)上单调递增,则t的取值范围是(A)(A)(-,-1(B)(e+1,+)(C)(-1,e+1)(D)(-,-1)解析:f(x)=ex+-tx,f(x)=ex+x-t,由题意得ex+x-t0,即tex+x在(-1,1)上恒成立,所以t-1.故选A.11.当x-2,1时,不等式ax3-x2+4x+30恒成立,

7、则实数a的取值范围是(C)(A)-5,-3(B)-6,-(C)-6,-2(D)-4,-3解析:显然x=0时,对任意实数a,已知不等式恒成立;令t=,若0<x1,则原不等式等价于a-+=-3t3-4t2+t,t1,+),令g(t)=-3t3-4t2+t,则g(t)=-9t2-8t+1=-(9t-1)(t+1),由于t1,故g(t)0,即函数g(t)在1,+)上单调递减,最大值为g(1)=-6,故只要a-6;若-2x<0,则a-+=-3t3-4t2+t,t(-,-,令g(t)=-3t3-4t2+t,则g(t)=-9t2-8t+1=-(9t-1)(t+1),在区间(-,-上的极值点为t=

8、-1,且为极小值点,故函数g(t)在(-,-上有唯一的极小值点,也是最小值点,故只要ag(-1)=-2.综上可知,若在-2,1上已知不等式恒成立,则a为上述三种情况的交集,即-6a-2.故选C.12.若定义在R上的函数f(x)满足f(0)=-1,其导函数f(x)满足f(x)>k>1,则下列结论中一定错误的是(C)(A)f()< (B)f()>(C)f()<(D)f()>解析:因为f(x)>k>1,构造函数g(x)=f(x)-kx,所以g(x)在R上单调递增,又>0,所以g()>g(0)即f()->-1,得到f()>,所以C

9、选项一定错误.A,B,D都有可能正确.故选C.二、填空题(每小题5分,共20分)13.已知函数f(x)=(2x+1)ex,f(x)为f(x)的导函数,则f(0)的值为. 解析:f(x)=2ex+(2x+1)ex=(2x+3)ex,所以f(0)=3.答案:314.已知函数f(x)=ax3+x+1的图象在点(1,f(1)处的切线过点(2,7),则a=. 解析:因为f(1)=2+a,f(1)=3a+1,所以切线方程为y-(2+a)=(3a+1)(x-1),又切线过点(2,7),所以5-a=3a+1,得a=1.答案:115.函数y=x3+x2-5x-5的单调递增区间是. 

10、解析:由y=3x2+2x-5>0得x<-,或x>1.答案:(-,-),(1,+)16.已知函数f(x)=x-,g(x)=x2-2ax+4,若对于任意x10,1,存在x21,2,使f(x1)g(x2),则实数a的取值范围是. 解析:由于f(x)=1+>0,因此函数f(x)在0,1上单调递增,所以x0,1时,f(x)min=f(0)=-1.根据题意可知存在x1,2,使得g(x)=x2-2ax+4-1,即x2-2ax+50,即a+能成立,令h(x)=+,则要使ah(x)在x1,2能成立,只需使ah(x)min,又函数h(x)=+在x1,2上单调递减,所以h(x)mi

11、n=h(2)=,故只需a.答案:,+)三、解答题(共70分)17.(本小题满分10分)已知函数f(x)=x3+x-16.(1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线的方程;(2)如果曲线y=f(x)的某一切线与直线y=-x+3垂直,求切点坐标与切线的方程.解:(1)因为f(x)=3x2+1,所以f(x)在点(2,-6)处的切线的斜率k=f(2)=13.所以切线的方程为y=13(x-2)+(-6),即y=13x-32.(2)因为切线与直线y=-+3垂直,所以切线的斜率为4.设切点的坐标为(x0,y0),则f(x0)=3+1=4,所以x0=±1,所以或即切点坐标为(1,-14)或(-

12、1,-18).切线方程为y=4(x-1)-14或y=4(x+1)-18.即y=4x-18或y=4x-14.18.(本小题满分12分)设函数f(x)=1+(1+a)x-x2-x3,其中a>0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性;(2)当x0,1时,求f(x)取得最大值和最小值时的x的值.解:(1)f(x)的定义域为(-,+),f(x)=1+a-2x-3x2.令f(x)=0,得x1=,x2=,x1<x2.所以f(x)=-3(x-x1)(x-x2).当x<x1或x>x2时,f(x)<0;当x1<x<x2时,f(x)>0.故f(x)在(-,)和(,+

13、)内单调递减,在(,)内单调递增.(2)因为a>0,所以x1<0,x2>0.当a4时,x21.由(1)知,f(x)在0,1上单调递增.所以f(x)在x=0和x=1处分别取得最小值和最大值.当0<a<4时,x2<1.由(1)知,f(x)在0,x2上单调递增,在x2,1上单调递减.所以f(x)在x=x2=处取得最大值.又f(0)=1,f(1)=a,所以当0<a<1时,f(x)在x=1处取得最小值;当a=1时,f(x)在x=0处和x=1处同时取得最小值;当1<a<4时,f(x)在x=0处取得最小值.19.(本小题满分12分)给定函数f(x)

14、=-ax2+(a2-1)x和g(x)=x+.(1)求证:f(x)总有两个极值点;(2)若f(x)和g(x)有相同的极值点,求a的值.(1)证明:因为f(x)=x2-2ax+(a2-1)=x-(a+1)·x-(a-1),令f(x)=0,解得x1=a+1,x2=a-1.当x<a-1时,f(x)>0;当a-1<x<a+1,f(x)<0.所以x=a-1为f(x)的一个极大值点.同理可证x=a+1为f(x)的一个极小值点.所以f(x)总有两个极值点.(2)解:因为g(x)=1-=.令g(x)=0,则x1=a,x2=-a.因为f(x)和g(x)有相同的极值点,且x1

15、=a和a+1,a-1不可能相等,所以当-a=a+1时,a=-;当-a=a-1时,a=.经检验,当a=-和a=时,x1=a,x2=-a都是g(x)的极值点.20.(本小题满分12分)某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为3元,并且每件产品需向总公司交a元(3a5)的管理费,预计当每件产品的售价为x元(9x11)时,一年的销售量为(12-x)2万件.(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式;(2)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润L最大,并求出L的最大值Q(a).解:(1)分公司一年的利润L(万元)与售价x的函数关系式为L=(x-3-a)(12-x)2,x9,

16、11.(2)L(x)=(12-x)2-2(x-3-a)(12-x)=(12-x)(18+2a-3x).令L=0,得x=6+a或x=12(不合题意,舍去).因为3a5,所以86+a.在x=6+a两侧L的值由正变负.所以当86+a<9,即3a<时,Lmax=L(9)=(9-3-a)(12-9)2=9(6-a).当96+a,即a5时,Lmax=L(6+a)=(6+a-3-a)12-(6+a)2=4(3-a)3.所以Q(a)=综上,若3a<,则当每件售价为9元时,分公司一年的利润L最大,最大值Q(a)=9(6-a)(万元);若a5,则当每件售价为(6+a)元时,分公司一年的利润L最大

17、,最大值Q(a)=4(3-a)3(万元).21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x3+bx2+cx-1,当x=-2时有极值,且在x=-1处的切线的斜率为-3.(1)求函数f(x)的解析式;(2)求函数f(x)在区间-1,2上的最大值与最小值;(3)若过点P(1,m)可作曲线y=f(x)的三条切线,求实数m的取值范围.解:(1)f(x)=3x2+2bx+c,f(x)在x=-2时有极值,且在x=-1处的切线的斜率为-3,可有函数f(x)的解析式为f(x)=x3+3x2-1.(2)由(1)知f(x)=3x2+6x,令f(x)=0,有x1=0,x2=-2.所以,当x-1,0时,f(x)<0

18、,f(x)在(-1,0)上单调递减;当x0,2时,f(x)>0,f(x)在(0,2)上单调递增.所以f(x)min=f(0)=-1.又f(-1)=1,f(2)=19,所以f(x)max=19.(3)设切点为(x0,+3-1),切线斜率为k=f(x0)=3+6x0,所以切线方程为y-(+3-1)=(3+6x0)(x-x0) ,又切线过点P(1,m),代入化简为m=-2+6x0-1,令y=m 与 h(x0)=-2+6x0-1,h(x0)=-6+6,令h(x0)=0,得x1=-1,x2=1;h(x0)在(-,-1),(1,+)单调递减,(-1,1)上单调递增, h(-1)=-5,h(1)=3.过点P(1,m)可作曲线y=f(x)