山羊吃草数学建模

1、题目： 山羊吃草问题 【摘 要】山羊吃草问题对于牧区人民放牧时，对放牧羊，牛群的放牧数量和放牧区域的选择提供了参考，有利于合理利用牧场资源，追求利益最大化。针对本题，以下解决方案：问题一分为两个子问题，即分析池塘有无围栏情况下山羊的吃草面积，在无围栏的情况下，可直接根据已知条件利用定积分的相关知识求得；在有围栏的情况下，限定绳长，利用微元法对不规则的区域进行分割，近似，求和求得。问题二是对问题一的补充，在第一问的前提下求得所需的绳长。 问题三要求对五只羊可活动的范围进行比较，通过对绳长和区域半径的比较，利用圆面积计算公式、旋转曲面积分计算公式以及环形面积计算公式分别求得五只羊可活动范围的面积大

2、小，然后分情况逐个比较每只羊可活动范围面积大小，最后进行排序。问题四，仍设绳长为ka，限定绳长，假设山羊间放牧面积不能重叠，讨论绳长与池塘半径a的大小关系，列举1-4只羊放牧面积的比较，得出一般性结论，对于绳长ka不同取值，得到可最大放牧羊只数和对应到最大放牧面积。关键词：积分，旋转曲面积分，微元法目录一、问题重述3二、问题分析3三、基本假设3四、符号说明4五、模型建立与求解45.1一只羊放牧面积模型45.2两只山羊放牧面积模型75.3比较不同区域的羊的活动范围大小85.4放牧规划问题9六、模型评价106.1模型的优点106.2模型的缺点10七、参考文献10八、附录11一、问题重述请根据题意解

3、决下列问题：1、一只老山羊被栓在了一个半径为的圆形池塘的边缘上，它的绳长度为。试计算山羊可吃草的范围（ 例如图1的阴影部分）。假设池塘周围有围栏绕着，绳子不可越过围栏（见图2），试计算此时山羊可吃草的范围。图1 图22、如果有一只没有栓住的、被围在半径是的院子里面的老山羊，另一只山羊被栓在周围有围栏绕着的，半径为的圆形池塘的边缘上，使得两只山羊的放牧面积是一样的，试计算该只山羊的绳长。3、假设五只山羊分别得到几块区域。前四只山羊分别用长为的绳子栓起来，第一只在一个水平面上，第二只在一个半径为的圆盘区域的外面，第三只在一个半径为的圆盘区域里面，第四只栓在半径为的球外。第五只必须在一个半径为的环行

4、的内部，这个环行在半径为的圆盘区域内部。写出计算区域面积的计算公式，并且按大小排序。4、若山羊栓在扎有围栏的半径为的圆形池塘的边缘上，并且栓山羊的绳长固定，最多能栓几只山羊？如何栓？并且保证山羊吃草总面积最大。二、问题分析根据题意，把现实中放牧问题，抽象成数学问题既求阴影面积，以拴羊点o为坐标原点，以点o与池塘中心点o连线的延伸线作为x轴，以点o在池塘的切线作为y轴，建立坐标系。对于不同的问题具体分析，选取合适的方法求解之。三、基本假设1， 羊抽象成一个点。2， 绳子光滑无弹性，近似看成一条光滑连续的线段。3， 池塘抽象成一个圆。4， 池塘的篱笆假设建在池塘一周，并忽略因建篱笆增加的半径长。5

5、， 假设放牧区域平整，无凸凹部分。四、符号说明O放牧区栓山羊点O池塘的圆心a绳子与池塘的交点b从a点向oo连线（或oo延长线）的垂线的交点Si第i只羊的放牧面积S所有羊加起来的放牧面积n放牧的总羊数（n取正整数）五、模型建立与求解5.1一只羊放牧面积模型5.1.1池塘不设围栏情况下的放牧面积模型由分析知，根据k的取值不同，阴影面积的计算方法不同第一种0<k<2,如图1-1所示，记线段ob长为x,应用勾股定理可知ba2+ob2=oa2 ba2+bo'2=ao'2即（ka）2-x2+a-x2=a2计算的x=ak22s=0ak22(ka2-x2-a2-x-a2)dx所以总

6、的放牧面积第二种2<k<2,如图1-2所示，记线段ob长为x,应用勾股定理可知 ob2+ab2=ao2 ab2+bo'2=ao'2即a2-x2+（a+x）2=ka2计算得x=(ak2-2a)2s=0a+(ak2-2a)2(ka2-x2-a2-x-a2)dx所以总的放牧面积第三种k>2,如图1-3所示。总的放牧面积为 S3=(ka)2-a25.1.2池塘设置围栏情况下的放牧面积模型如图所示山羊能够吃到草的范围由y轴左边的半圆(面积为)和y轴右边的小圆之外，渐近线以内的部分构成。为求山羊能吃草范围的面积，关键是求y轴右边，小圆之外，渐近线以内部分的面积。记这部分在

7、第一象限的区域为s(也用表示这部分的面积)。为求s，用小圆周的一系列切线分割区域s。设对应圆心角=t的切线为PQ，对应圆心角=t+dt的切线为。易知=ka-at，当圆心角t该变量dt很小时，由围成的小面积可看作圆扇形，于是面积元ds=从而s=因此，山羊能吃到草的草地面积为=2s +=+5.2两只山羊放牧面积模型两只山羊保证吃草面积一样，第一只羊可活动的范围是一定的(),所以根据5.1.2所求的结果，令S= 。利用MATLAB求得>> syms k;>> solve('3.1415926*k2/2+k3/3=3.1415926')ans = -4.1705

8、259376688299616643629175798 -1.7984318597419016288923275068658 1.2565688974107315905566904244455k取正值 即k=1.257,绳长即为1.257a。5.3比较不同区域的羊的活动范围大小在这里假设圆盘区域是不可穿越的，并且根据题中所示：a>b。所以可得如下结论：5.3.1水平面上第一只羊的可活动范围A区域：绳长为b，所以。5.3.2圆盘外第二只羊的可活动范围B区域：1.假设羊离圆盘区域较远，则可活动范围最大为；2.假设羊被拴在紧挨着圆盘区域，这可以引用第一题中的结论，所以羊可活动范围面积为。综上所

9、述：5.3.3圆盘内第三只羊的可活动范围C区域：由题设(a>b),所以第三只羊的可活动范围为：5.3.4球体外侧的羊D区域：羊的绳长为b,则可看作第四只羊是在一个半径为a的球面上活动，此题可看作求旋转曲面的面积，如图所示，圆形为该球体的剖面图圆的方程为，圆心角，解得，。所以，(0.5403<cosab<1)。5.3.5环形区域羊的活动范围第五只羊的可活动范围为。综上所述： 5.4放牧规划问题假设山羊间放牧面积不能重叠，绳长为ka，且（），则总共可放牧只羊。则山羊吃草总面积为，（）对总面积求导得，当（）时，恒成立，所以当时，最大面积Max在此列举四种的取值比较只羊1234K234S由表格数据可知，时（），总共可放牧n只羊，相邻两只羊栓点在池塘圆弧长,总放牧面积六、模型评价6.1模型的优点模型建立简单明了，易于求解。6.2模型的缺点忽略了放牧面积的地形，简化为平地，不够贴近实际放牧地区情况。在问题一中对设有围栏的池塘边求解放牧面积时，无依据的限定绳长，对于绳长的情况未考虑，并且在后