实变函数习题解答(1)

1、第一章 习题解答1、证明 A(BC)(AB)(AC)证明：设xA(BC)，则xA或x(BC)，若xA，则xAB，且xAC，从而x(AB)(AC)。若xBC，则xB且xC，于是xAB且xAC，从而x(AB)(AC)，因此A(BC) (AB)(AC)(1)设x(AB) (AC)，若xA，则xA(BC)，若xA，由xAB且xAC知xB且xC，所以xBC，所以xA(BC)，因此(AB)(AC) A(BC)(2)由(1)、(2)得，A(BC)(AB)(AC) 。2、证明ABA(AB)(AB)BA(BC)(AB)(AC)(AB)CA(BC)A(BC)(AB)(AC)84(AB)(CD)(AC)(BD)A(

2、AB)AB证明：A(AB)AC(AB)A(CACB)(ACA)(ACB)(ACB)AB(AB)B(AB)CB(ACB)(BCB)(ACB)AB(AB)(AC)(AB)C(AC)(AB)(CACC)(ABCA)(ABCC)A(BCC)A(BC)(AB)C(ACB)CCAC(BC)A(BC)A(BC)AC(BCC)A(CBC)(ACB) (AC)(AB)(AC)(AB)(CD)(ACB)(CCD)(AC)(CBCD)(AC)C(BD)(AC)(BD)A(AB)AC(ACB)A(CAB)(ACA) (AB)(AB)AB3、证明： (AB)C(AC)(BC)85A(BC)(AB)(AC)证明：(AB)

3、C(AB)CC(ACC)(BCC)(AC)(BC)(AB)(AC)(ACB)(ACC)(AA)(CBCC)AC(BC)A(BC)4、证明：()证明：设()，则，于是，、，从而，所以，所以，() 。86设，则、，即，于是，即()，所以 ()，由以上两步得() = 5、证明：()B(B)()B(B)证明：()B()CB(CB)(B)()B()CB=(CB)(B)876、设是一列集合，作=，=-()>1。证明是一列互不相交的集，而且=，=1，2，3，。证明：设，不妨设<，因为，-()=(C)=C(C)=(C)(C)=()= =，互不相交。 ， = 。88另一方面，设，则存在最小的自然数，

4、使， -=， = 。7、设=(0，)，=(0，)，=1，2，求出集列的上限集和下限集。解：。 =(0，)，=(0，)， 。=()=(0，)=(0，)=(0，)=(0，)=()=89=(0，)= = 。8、证明：=证明：，有， ， = 。9、作出一个(1，1)和(，)的11对应，并写出这一对应的解析表达式。解：y=tg，(1，1)，y(，)。10、证明将球面去掉一点以后，余下的点所成的集合和整个平面上的点所成的集合是对等的。90证明：用P表示在球面上挖去的那一点，P与球心O的连线交球面于M，过M作球面的切平面，过P点和球面上任一点引直线，该直线与平面交于，将与对应，P与M对应，则球面上的点与整个

5、平面上的点用上述方法构成一个一一对应，由对等的定义，挖去一点的球面与平面是对等的。11、证明由直线上互不相交的开区间作为集A的元素，则A至多为可数集。证明：由有理数的稠密性知，在每一区间中至少含有一个有理数，在每一开区间中任取一有理数与该区间对应，由于开区间互不相交，故不同开区间对应不同的有理数，但有理数全体为一可数集，其子集至多是可数集，所以直线上互不相交的开区间作成的集至多是可数集。12、证明所有系数为有理数的多项式组成一可数集。证明：以表示这个集合，表示次有理系数多项式的全体，则= 。91由+1个独立记号，即次多项式的1个有理系数所决定，其中首项系数为异于0的有理数，其余系数可取一切有理

6、数，因此，每个记号独立地跑遍一个可数集，所以，是可数集，也是可数集。13、设A是平面上以有理点（坐标为有理数的点）为中心，有理数为半径的圆的全体，则A是可数集。证明：A中任一元素由三个独立记号（a，b，r）所决定，其中（a，b）是圆心的坐标，r是圆的半径，a、b各自跑遍全体有理数，r跑遍大于0的有理数，而且它们都是可数集，故A是可数集。14、证明单调增加函数的不连续点最多只有可数多个。证明：设是(，)上的单调增加函数，其不连续点的全体记为E，设E，由数学分析知，必为第一类不连续点，即其左、右极限、必存在，且<，这样，每个不连续点对应一个开区间(，)，且这些开区间互不相交。由11题知，这些开区间最多有可数多个，所以，E最多是一个可数集。大家都来到荷塘，挖莲藕抓鱼虾，捉泥鳅捡螃蟹，人声鼎沸，笑语欢声，相互谈说着要如何弄出一顿顿可口的美味。光是莲藕的吃法就有很多：熬汤炖肉八宝酿、清炒生吃蜜饯糖，还可以磨成藕粉，加入砂糖或蜂蜜，在温水里一泡，就是一杯清凉清甜的解暑饮料。用鲜莲叶来熬粥，蒸饭蒸鸡，或蒸其它肉类味道都是极鲜美的，做出来的食物均带着一股淡淡的莲叶清香。人们那么喜欢荷花，不单单是因为它的芳香美丽洁净高雅，更因为它全身是宝，每一处都可食可药可用。我最喜欢的是生鲜莲子羹。把剥好的莲子对半打开去芯，莲子芯很苦，可以药用，没有芯的莲子是甜的，正好用它熬糖水。把足量的生莲子洗净，和着