第六章微分中值定理及其应用

1、第六章 微分中值定理及其应用 教学基本要求1.熟练掌握微分中值定理的条件和结论，通过举缺少条件的反例来加深理解;2.熟练掌握三个定理之间的关系以及几何上的一致性;LHospital法则并应用极限计算4.熟练掌握用导数来研究函数单调性、极值、最大值和最小值的方法,尤其是函数的单调性、凸性等几何性状;5.熟练掌握Taylor公式，并理解Taylor公式作为Lagrange定理的推广在多项式逼近中将起的作用;6.掌握中值定理和Taylor公式的应用,提高应用能力。7.会利用导数等分析手段准确描绘函数图象§ 1 拉格朗日定理和函数的单调性教学目的：熟练掌握罗尔中值定理，拉格朗日中值定理及其应

2、用，掌握导数极限定理及意义，应用，掌握函数单调的条件及应用使学生掌握拉格朗日中值定理，领会其实质，为微分学的应用打好坚实的理论基础教学内容拉格朗日中值定理及其分析意义与几何意义。掌握它的证明方法，了解它在微分中值定理中的地位。教学重点：函数为常函数的充要条件; 导数极限定理; 函数单调的条件一 罗尔定理与拉格朗日定理数学分析研究的基本对象是定义在实数集上函数的性质，而研究函数性质的最重要工具之一就是微分中值定理，微分中值定理主要指拉格朗日中值定理。极值概念：回忆极值的概念和可微极值点的必要条件:定理 ( Fermat ) 设函数在点的某邻域内有定义，且在点可导，若点为的极值点，则必有 1罗尔中

3、值定理：若函数满足如下条件：（i）在闭区间a，b上连续；（ii）在开区间（a，b）内可导；（iii），则在（a，b）内至少存在一点，使得（）=0（分析）由条件（i）知在a，b上有最大值和最小值，再由条件（ii）及（iii），应用费马定理便可得到结论。证明：因为在a,b上连续，所以有最大值与最小值，分别用M与m表示，现分两种情况讨论：(i)若M = m , 则 在a,b上必为常数，从而结论显然成立。(ii)若m M，则因 (a)=(b)，使得最大值M与最小值m至少有一个在(a,b)内某点处取得，从而是的极值点，由条件(ii) 在点处可导，故由费马定理推知=0.注1：罗尔定理的几何意义：在每一点都

4、可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相等，则至少存在一条水平切线。注2：习惯上把结论中的称为中值，罗尔定理的三个条件是充分而非必要的，但缺少其中任何一个条件，定理的结论将不一定成立，见下图：例如： -2-1012-101易见，F在x=-1不连续，在x=±1不可导，F(-2)F（2）, 即罗尔定理的三个条件均不成立，但是在（-2，2）内存在点 , 满足 注3：罗尔定理结论中的值不一定唯一，可能有一个，几个甚至无限多个，例如：在 -1，1 上满足罗尔定理的条件，显然在（-1，1）内存在无限多个 = 使得=0。2拉格朗日（Lagrange）中值定理：若函数 满足如下条件：（i）在闭区

5、间上连续；（ii）在开区间()内可导；则在（a，b）内至少存在一点，使得（分析）罗尔定理是拉格朗日中值定理：（a）=(b)时的特殊情况，应用罗尔定理证明此定理要构造辅助函数 ，使得满足罗尔定理的条件（i）-(iii) 且，从而推得证明：作辅助函数显然，F（a）=F(b)（=0），且F在a，b上满足罗尔定理的另两个条件，故存在点(a，b)，使得即 注1°罗尔定理是拉格朗日中值定理时的特例注2°几何意义：在满足拉格朗日中值定理条件的曲线上至少存在一点，该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线AB，我们在证明中引入的辅助函数，正是曲线 与直线AB 之差，事实上，这个辅助函数的引

6、入相当于坐标系统原点在平面内的旋转，使在新坐标系下，线段AB平行于新轴（F（a）=F（b）。注3°此定理的证明提供了一个用构造函数法证明数学命题的精彩典范；同时通过巧妙地数学变换，将一般化为特殊，将复杂问题化为简单问题的论证思想，也是数学分析的重要而常用的数学思维的体现。注4°拉格朗日中值定理的结论常称为拉格朗日公式，它有几种常用的等价形式，可根据不同问题的特点，在不同场合灵活采用：注5°拉格朗日中值定理的两个条件彼此有关，并不彼此独立，因为：在（a,b）可导可以推出在（a，b）连续，但反之不成立。把这两个条件的“重叠”部分去掉，改成“函数在（a，b）可导且在a右

7、连续在b左连续”这样，两个条件互相独立，但文字累赘且不便记忆，因此一般不这样叙述。3、拉格朗日中值定理的几个重要推论推论1 函数在区间I上可导且为I上的常值函数. 证明： 任取两点 （设），在区间 上应用拉格朗日中值定理，存在 （）I，使得推论2 函数和在区间I上可导且推论3（导数极限定理）设函数在点的某邻域U（）内连续，在U°（）内可导，且极限存在，则在点可导，且证明：分别按左右导数来证明上式成立（1） 任取，在上满足拉格朗日中值定理条件，则存在，使得由于，因此当时随之有，对上式两边取极限，使得 （2）同理可得因为=存在，所以=，从而即注1°由推论3可知：在区间I上的导函

8、数在I上的每一点，要么是连续点，要么是第二类间断点，不可能出现第一类间断点。注2°导数极限定理适合于用来求分段函数的导数。推论4 ( 导函数的介值性 ) 若函数在闭区间上可导, 且 ( 证 )二、 可微函数单调性判别法：1 单调性判法：Th 1 设函数在区间内可导. 则在内(或) 在内 ( 或 ).证明：必要性 充分性 在I 上递增。例 设 讨论它的单调区间。 解 -101-10 , 例 2 求函数 的单调区间。Th 2 设函数在区间内可导. 则在内严格( 或严格) ） 对 有 ( 或; ） 在内任子区间上例 证明不等式 证明： 设 时 课后反思：需要下去总结的是两个中值定理得联系和

9、区别，以及两个中值定理得各自应用。特别注意：拉格朗日中值定理是本节乃至本章内容的核心。 §2 柯西中值定理和不等式极限教学目的：熟练掌握柯西中值定理及其应用，熟练掌握不定式极限，洛必达法则以及六种不定式极限的求解教学内容：1.柯西中值定理;2.不定式极限与洛必达法则;3.不定式极限的求解教学重点：不定式极限与洛必达法则;一 柯西中值定理 定理(6.5) 设 、满足P(i) 在区间 上连续，(ii) 在 内可导(iii) 不同时为零;(iv) 则至少存在一点 使得           &

10、#160;                   柯西中值定理的几何意义  若连续，曲线 由参数方程    给出，除端点外处处有不垂直于 轴的切线，则 上存在一点 P处的切线平行于割线 .。 注意曲线 AB在点 处的切线的斜率为 ，而弦 的斜率为 . 受此启发，可以得出柯西中值定理的证明如下：由于， 类似于拉格朗日中值定理的证明，作一辅助函数容易验证 满足罗尔定理的条件且 根据罗尔定理，至

11、少有一点 使得 即 由此得注1：在柯西中值定理中，取 ，则公式（3）可写成 这正是拉格朗日中值公式，而在拉格朗日中值定理中令 ，则 . 这恰恰是罗尔定理.注2: 设 在区间 I上连续，则 在区间 I上为常数 ， . 二、利用拉格朗日中值定理研究函数的某些特性1、利用其几何意义要点：由拉格朗日中值定理知：满足定理条件的曲线上任意两点的弦，必与两点间某点的切线平行。可以用这种几何解释进行思考解题： 例1：设 在 （a ，b） 可导，且在 a，b 上严格递增，若，则对一切有 。证明：记A（），对任意的x，记C（），作弦线AB，BC，应用拉格朗日中值定理，使得分别等于AC，BC弦的斜率，但因严格递增，

12、所以，从而注意到，移项即得， 2、利用其有限增量公式要点：借助于不同的辅助函数，可由有限增量公式进行思考解题：例2：设上连续，在（a，b）内有二阶导数，试证存在使得证：上式左端作辅助函数则上式= ，=，其中 3、作为函数的变形要点：若在a，b上连续，（a，b）内可微，则在a，b上 （介于与之间）此可视为函数的一种变形，它给出了函数与导数的一种关系，我们可以用它来研究函数的性质。例3 设在上可导，并设有实数A0，使得在上成立，试证证明 ：在0，上连续，故存在 使得 =M于是M=A。故M=0，在0， 上恒为0。用数学归纳法，可证在一切（ i=1,2,）上恒有=0,所以=0, 。三、利用柯西中值定理

13、研究函数的某些特性 1. 证明中值点的存在性: 例 1 设函数在区间 上连续, 在 内可导, 则 , 使得.证 在Cauchy中值定理中取 .例2 设函数在区间 上连续, 在 内可导, 且有.试证明: .2. 证明恒等式: 例3 证明: 对, 有 .例4 设函数和可导且又 则 .证明 . 例5 设对, 有 , 其中是正常数. 则函数是常值函数. (证明 ).3. 证明不等式: 例6 证明不等式: 时, .例7 证明不等式: 对，有.4. 证明方程根的存在性: 证明方程 在 内有实根.例8 证明方程 在 内有实根.四 、小结本节课重点是拉格朗日中值定理及利用它研究函数的某些特性；难点是用辅助函数

14、解决问题的方法。1°拉格朗日中值定理的内容及证明方法要熟练掌握。微分中值定理主要指拉格朗日中值定理，它的特例是罗尔定理，它的推广是接下来我们要学习的柯西定理和泰勒定理。拉格朗日中值定理是沟通函数及其导数的桥梁，是数学分析的重要定理之一。2°构造辅助函数法是应用微分中值定理的基本方法。实际上，辅助函数法是转化问题的一种重要手段，通过巧妙地数学变换，将一般问题化为特殊问题，将复杂问题化为简单问题，这种论证思想也是数学分析的重要而常用的数学思维的体现。关于如何恰当地构造和选用辅助函数问题，请同学们结合第三部分的题目仔细体会总结。五、不定式的极限 1. 型:Th (Hospital

15、法则 ) 若函数 和满足：(i) (ii) 在点 的某空心邻域内而这可导，且；(iii) 可为实数，也可为 ）则 ( 证 ) 注意: 若将定理中的x 换成 ，只要相应地求证条件(ii)中的邻域，也可以得到同样的结论。例1 例2 .例3 . ( 作代换 或利用等价无穷小代换直接计算. )例4 . ( Hospital法则失效的例 )2 型不定式 极限:Th 6.7 (Hospital法则 ) 若函数 和满足：(i) (ii) 在点 的某右邻域内二这可导，且；(iii) 可为实数，也可为 ）则 例5 .例6 . 注1 不存在，并不能说明 不存在（为什么？）注2 不能对任何比式极限都按洛必达法则来求

16、，首先要注意它是不是不定式极限，其次是否满足洛必达法则条件例 求极限 . ( Hospital法则失效的例 )3. 其他待定型: 型： 这里的0表示极限为零的函数，即无穷小量，不是真正的零，这里的是无穷大量，即极限为的函数，不是真正的，利用无穷小与无穷大的关系，有： ， 从而 这就是说通过其中一项“取倒”可将 型既化成 型，也可以化成 型。但究竟应化成哪种形式，要以 的计算方便为标准。例7 计算 若将“取倒”化成 型，则 若将“取倒”化成 型，则 比原来还复杂所以，一般情况下，尽量不要对 取倒。 型： 化成了 型例8 型 型： 化成了 型例9 ， 型 型： 化成了 型 型： 化成了 型例10

17、.例11 设 且 求解 .例12 .课后反思：柯西中值定理和上节两个中值定理的联系和区别，要让学生明白柯西中值定理是最一般的情况。在用洛必达法则时应注意灵活应用，结合以前学过的求极限方法。§ 3 Taylor公式 ( 3时 )教学目的：掌握泰勒公式，麦克劳林公式，掌握函数的泰勒公式，麦克劳林公式的间接求解法，掌握它们在求极限中的应用，了解它们在近似计算中的应用教学内容：1.泰勒系数，泰勒多项式;2.带有皮亚诺型余项的泰勒公式和麦克劳林公式;3.带有拉格朗日型余项的泰勒公式和麦克劳林公式;4.泰勒公式在近似计算中的应用;教学重点：带有拉格朗日型余项的泰勒公式和麦克劳林公式教学难点：带有

18、拉格朗日型余项的泰勒公式和麦克劳林公式 一. 问题和任务: 泰勒定理的引入和基本思想 容易验证多项式函数 一般函数上面的结果能否成立或近似成立呢？若一个函数能用多项式近似，对函数的计算、性质的研究就会大大简化。二. Taylor( 16851731 )多项式:1、带有皮亚诺余项的泰勒公式定理1 若函数f在点存在直至n阶导数，则有，即即函数f在点处的泰勒公式；称为泰勒公式的余项。形如的余项称为皮亚诺（peano）型余项。注1、若f(x)在点附近函数满足，其中，这并不意味着必定是f的泰勒多项式。但并非f(x)的泰勒多项式。（因为除外，f在x0出不再存在其它等于一阶的导数。）；2、满足条件的n次逼近

19、多项式是唯一的。由此可知，当f满足定理1的条件时，满足要求的多项式一定是f在点的泰勒多项式；3、泰勒公式0的特殊情形麦克劳林（Maclauyin）公式：定理2 设函数满足条件:) 在闭区间上有直到阶连续导数;) 在开区间内有阶导数.则对 使 .证 称这种形式的余项为Lagrange型余项. 并称带有这种形式余项的Taylor公式为具 Lagrange 型余项的Taylor公式. Lagrange 型余项还可写为 . 时, 称上述Taylor公式为 Maclaurin 公式, 此时余项常写为 .三. Taylor公式和误差估计:称 为余项. 称给出的定量或定性描述的式为函数的Taylor公式.1

20、. 误差的定量刻画( 整体性质 ) Taylor中值定理:关于Taylor公式中Lagrange型余项的进一步讨论可参阅: 2. 误差的定性描述( 局部性质 ) Peano型余项:Th 2 若函数在点的某邻域内具有阶导数, 且存在, 则 证 设 , . 应用Hospital法则 次, 并注意到存在, 就有= .称为Taylor公式的Peano型余项, 相应的Maclaurin公式的Peano型余项为. 并称带有这种形式余项的Taylor公式为具Peano型余项的Taylor公式( 或Maclaurin公式 ).四. 函数的Taylor公式( 或Maclaurin公式 )展开:例 验证下列函数的

21、Maclaurin公式例1 .例2 ,例3 例4 例5 例6 例7 写出 函数的Maclaurin公式 , 并求 例8 在时 的泰勒公式例9 把函数展开成含项的具Peano型余项的Maclaurin公式 .解 , .例10 把函数展开成含项的具Peano型余项的Maclaurin公式 .解 , 注意, .a）泰勒定理是中值定理的推广，是含有高阶导数 的中值定理b）由泰勒定理余项和（c62）图示看出，其误差是较 高阶的无穷小。c） 如果用更高阶的泰勒多项式来近似代替函数，不仅更精确而且能够在更大范围内近似代替函数。 例11 求 精确到 的近似值.解 .注意到 有 . 为使,只要取. 现取, 即得

22、数的精确到的近似值为.3. 利用Taylor公式求极限: 原理:例12 求极限 例13 求极限 .解 , ; .课后反思：两个类型的泰勒公式的区别和条件。这对于应用泰勒公式非常重要，需要注意在用泰勒公式求极限时展开到第几次项如何把握。§4 函数的极值与最大(小)值教学目的： 会求函数的极值和最值。教学内容 1函数的极值与最值；2.取得极值必要条件以及第一、第二充分条件；求函数极值的一般方法和步骤； 教学重点: 利用导数求极值的方法教学难点: 极值的判定一 可微极值点判别法: 极值问题: 极值点, 极大值还是极小值, 极值是多少.1. 可微极值点的必要条件: Fermat定理( 表述为

23、Th3 ).函数的驻点和(连续但)不可导点统称为可疑点, 可疑点的求法.2. 极值点的充分条件: 对每个可疑点, 用以下充分条件进一步鉴别是否为极值点.Th 4 (充分条件) 设函数在点连续, 在邻域和 内可导. 则 ） 在 内 在 内 时, 为 的一个极小值点; ） 在内 在内时, 为的一个极大值点; ） 若在上述两个区间内同号, 则不是极值点.Th 5 (充分条件) 设点为函数的驻点且存在.则 ） 当时, 为的一个极大值点; ） 当时, 为的一个极小值点.证法一 当时, 在点的某空心邻域内与异号,证法二 用Taylor公式展开到二阶, 带Peano型余项.例2 求函数 的极值点与极值。第一

24、步 对函数求导, 解出稳定点和不可导点 利用极值充分条件决定极大极小 , 算出极值稳定点 a=1, 不可导点 b=0 由此例看出，函数也可能在不可导点取得极值, 于是得出结论：分段光滑函数的极值点的必要条件是: 它是稳定点或不可导点. 例 3 求函数 的极值点与极值。Th 6.12)(充分条件 ) 设,而.则 ） 为奇数时, 不是极值点; ） 为偶数时, 是极值点. 且对应极小; 对应极大.例 求函数 的极值二 最大值最小值由上面图像看出，函数的最大最小值可能发生在稳定点处，不可导点处， 也可能发生在区间的端点。因此, 函数的最大最小值点应从：稳定点, 不可导点, 端点 中去寻找， 这三种点中

25、，函数取最大者为函数的最大点，取最小者为函数的最小值点，因此求解最大最小点的步骤应为: 第一步 求出稳定点, 不可导点和端点 第二步 算出这些点处的函数值, 其中最大者就是最大值, 最小者就是最小值例 4 求函数 在区间 上的最大与最小值.解：此函数是绝对值函数,且, 所以 x=0 是角点, 不可导点，再求函数的稳定点稳定点为 x=1, 和x=2计算稳定点, 不可导点, 端点的函数值, 决定出最大最小值最小值是 0 , 最大值是 5.观看一下它的图像课后反思：本节内容本身不是很难，但是需要让学生明白极值和最值之间的关系，以及在何种条件下能相互转化。这对于以后应用和证明非常重要 §5

26、函数的凸性与拐点教学目的: 掌握讨论函数的凹凸性和方法。教学内容: 1.凸函数、凹函数的概念，严格凸（凹）函数的概念;2.函数为凸函数的充要条件;3.詹森不等式;教学重点: 利用导数研究函数的凸性教学难点: 利用凸性证明相关命题一 凸性的定义及判定：1 凸性的定义：由直观引入. 强调曲线弯曲方向与上升方向的区别.定义1 设函数在区间I上连续. 若对I 和恒有则称曲线 在区间I的凸函数, 反之, 如果总有则称曲线 在区间I的凹函数. 若在上式中, 当时, 有严格不等号成立, 则称曲线在区间上是严格凸(或严格凹)的. 凸性的几何意义:切线的位置关系;与弦的位置关系;曲线的弯曲方向.引理 为区间I上

27、的凸函数的充要条件是:对I上任意三点: , 总有 设函数在区间I上可导, 则下面条件等价:(i) 为I上凸函数(ii) 为I上的增函数(iii) 对I上的任意两点 有2 利用二阶导数判断曲线的凸向:Th 6.14 设函数在区间内存在二阶导数, 则在内 在 内严格上凸; 在 内严格下凸.证法一 ( 用Taylor公式 ) 对 设, 把在点展开成具Lagrange型余项的Taylor公式, 有 .其中 和 在 与 之间. 注意到 , 就有 , 于是, 若有 上式中, 即 严格上凸. 若有 上式中, 即严格下凸.证法二 ( 利用Lagrange中值定理. ) 若 则有. 不妨设 , 并设 , 分别在

28、区间和上应用Lagrange中值定理, 有,.有 又由 ， <, ， 即 ， 严格下凸.可类证的情况.3 凸区间的分离: 的正、负值区间分别对应函数的下凸和上凸区间.二. 曲线的拐点: 拐点的定义. 例1 确定函数的上凸、下凸区间和拐点. 4P154 E20解 的定义域为 . 令, 解得 .在区间内 的符号依次为，. 拐点为: 倘若注意到本题中的是奇函数, 可使解答更为简捷. Jensen不等式及其应用:Jensen不等式: 设函数为区间上的凸函数, 则对任意 , , 有Jensen不等式:,且等号当且仅当时成立.证 令, 把表为点处具二阶Lagrange型余项的Taylor公式，仿前述定理的证明，注意 即得所证.例1 证明: 对 有不等式 .例2 证明均值不等式: 对, 有均值不等式.证 先证不等式. 取. 在内严格上凸, 由Jensen不等式, 有.由 . 对用上述已证结果, 即得均值不等式的左半端.例3 证明: 对, 有不等式 . ( 平方根平均值 )例4 设，证明 .解 取, 应用Jensen不等式.Jensen不等式在初等数学中的应用举例: 参阅 荆昌汉 文: “凸(凹)函数定理在不等式证明中的应用”,数学通讯1980.4. P39.例6 在中, 求证 .解 考虑函数在区间内凹, 由Jensen不等式