微积分的基本运算VIP

1、第4章 微积分的基本运算本章学习的主要目的：1 复习高等数学中有关函数极限、导数、不定积分、定积分、二重积分、级数、方程近似求解、常微分方程求解的相关知识.2通过作图和计算加深对数学概念：极限、导数、积分的理解.3 学会用MatLab软件进行有关函数极限、导数、不定积分、级数、常微分方程求解的符号运算；4了解数值积分理论,学会用MatLab软件进行数值积分;会用级数进行近似计算.1 有关函数极限计算的MatLab命令 (1)limit(F,x,a) 执行后返回函数F在符号变量x趋于a的极限 (2)limit(F,a) 执行后返回函数F在符号变量findsym(F)趋于a的极限 (3)limit

2、(F) 执行后返回函数F在符号变量findsym(F)趋于0的极限52 / 36 (4)limit(F,x,a,left) 执行后返回函数F在符号变量x趋于a的左极限 (5)limit(F,x,a,right) 执行后返回函数F在符号变量x趋于a的右极限注:使用命令limit前,要用syms做相应符号变量说明.例7 求下列极限(1)在MatLab的命令窗口输入:syms xlimit(cos(x)-exp(-x2/2)/x4,x,0)运行结果为ans =-1/12理论上用洛必达法则或泰勒公式计算该极限:方法1 方法2 (2) %自变量趋于无穷大,带参数t在MatLab的命令窗口输入:syms

3、x tlimit(1+2*t/x)(3*x),x,inf)运行结果为ans =exp(6*t)理论上用重要极限计算:(3) %求右极限在MatLab的命令窗口输入:syms x limit(1/x,x,0,right)运行结果为ans = inf2 有关函数导数计算的MatLab命令(1)diff(F,x) 表示表达式F对符号变量x求一阶导数，允许表达式F含有其他符号变量，若x缺省，则表示对由命令syms定义的变量求一阶导数。(2)diff(F,x,n) 表示表达式F对符号变量x求n阶导数。例10 求下列函数的导数（1） 已知,求；在MatLab的命令窗口输入如下命令序列:syms x y=x

4、*asin(x/2)+sqrt(4-x2)diff(y,x) %执行结果ans = asin(1/2*x)与理论推导完全吻合。diff(y,x,3) %执行结果ans = 1/(4-x2)(3/2)*x与理论推导完全吻合。（2） 已知,求在MatLab的命令窗口输入如下命令序列:syms x y zz=x2*sin(2*y);diff(z,x) %执行结果ans =2*x*sin(2*y)diff(z,x,2) %执行结果ans =2*sin(2*y)diff(diff(z,x),y) %执行结果ans =4*x*cos(2*y)（3） 已知,求 (复合函数求导偏导数)在MatLab的命令窗口

5、输入如下命令序列:syms x y z uz=x2+y2;u=(x-y)z;diff(u,x) %执行结果 (x-y)(x2+y2)*(2*x*log(x-y)+(x2+y2)/(x-y)diff(u,y,2) %执行结果(x-y)(x2+y2)*(2*y*log(x-y)-(x2+y2)/(x-y)2+(x-y)(x2+y2)*(2*log(x-y)-4*y/(x-y)-(x2+y2)/(x-y)2)diff(diff(u,x),y) %执行结果 (x-y)(x2+y2)*(2*y*log(x-y)-(x2+y2)/(x-y)*(2*x*log(x-y)+(x2+y2)/(x-y)+(x-y

6、)(x2+y2)*(-2*x/(x-y)+2*y/(x-y)+(x2+y2)/(x-y)2)3 极值问题MatLab软件提供了求一元和多元函数极值问题的命令：fmin(f,x1,x2) 求函数f(x)在x1<x<x2区间取到极小值对应的x值。fmins('f',x1,x2),求二元函数在点（x1 x2）附近的极值点。例12 求函数的极值，并作图。 在MatLab的命令窗口输入如下命令序列:syms xf=2.*x.3-6.*x.2-18.*x+7; xmin=fmin('2.*x.3-6.*x.2-18.*x+7',-5,5) x=xmin; min

7、y3=subs(f) a31='-2.*x.3+6.*x.2+18.*x-7' xmax=fmin(a31,-5,5) x=xmax; maxy3=subs(f)fplot('2.*x.3-6.*x.2-18.*x+7',-5 5)grid on 执行结果：xmin =3.0000 %在x3处取极小值miny3 =-47.0000 %极小值为47xmax = -1.0000 %在x1处取极大值maxy3 =17.0000 极大值为17图15 4方程的数值求解方法fzero(f，x0) %在xx0附近求f(x)=0的近似解。例14 用MatLab函数、编程二分法、

8、切线法三种方法求方程的实根的近似值，使误差不超过。解 令,显然f(x)在内连续。因为，故f(x)在内单调递增，至多有一个实根。由，知在0,1内有唯一的实根。取a=0,b=1,0,1即是一个隔离区间。先画出函数f(x)的图形,如图17,在MatLab的命令窗口输入如下命令：f= 'x3+1.1*x2+0.9*x-1.4 'fplot(f,0,1)grid on 图17f= 'x3+1.1*x2+0.9*x-1.4 'fzero(f,1) 运行结果为：ans =0.6707 5 有关计算函数不定积分的MatLab命令int(f) 求函数f关于syms定义的符号变量的

9、不定积分；int(f,v) 求函数f关于变量v的不定积分。注：MatLab在不定积分结果中不自行添加积分常数C例15 用MatLab软件，计算下列不定积分在MatLab的命令窗口输入如下命令：syms xint('x3*exp(-x2)',x)执行结果：ans =-1/2*x2/exp(-x2)-1/2/exp(-x2)6 有关计算函数定积分的MatLab命令int(f,a,b) 求函数f关于syms定义的符号变量从a到b的定积分；int(f,v,a,b) 求函数f关于变量v从a到b的定积分。例17 用MatLab软件求下列定积分：（1）（2）在MatLab的命令窗口输入如下命

10、令序列:（1）syms x;y=log(x)*x(-0.5);int(y,1,4)运行结果:ans = 8*log(2)-4（2）syms x;y=(x*(1+x)3)(-0.5);int(y,x,0,inf)8二重积分目前,MatLab还没有求二重积分的命令,我们用定积分的int命令,结合函数图形的观察,完成对二重积分的计算.例19 计算,其中D为直线围成区域.具体步骤如下:(1) 划定积分区域:syms xy1=2*x;y2=x/2;y3=12-x;ezplot(y1,-2,12)hold onezplot(y2,-2,12) ezplot(y3,-2,12)title('积分区域

11、')结果如图20 ,三条直线相交所围区域即为积分区域. (2) 确定交点的横坐标:xa=fzero('2*x-x/2',0)xb=fzero('2*x-12+x',4) xc=fzero('12-x-x/2',8) 图20 结果为:xa = 0 xb = 4xc = 8(3)化二重积分为累次积分 .在MatLab的命令窗口输入:syms x y zz=x2/y2;dx1=int(z,y,x/2,2*x);j1=int(dx1,0,4);dx2=int(z,y,x/2,12-x);j2=int(dx2,4,8);jf=j1+j2结果为: j

12、f =132-144*log(2)9 MatLab级数求和命令: symsum(s) %s为待求和的级数的通项表达式,求出关于系统默认变量如k从0到k-1的级数有限项的和,如不能确定s的默认变量,则用findsym(s)来查.symsum(s,v) %v为求和变量,求出v由0到v-1的级数有限项的和.symsum(s,v,a,b) %求出v由a到b的级数有限项的和.例22 syms ksimple(symsum(k) 1/2*k*(k-1) simple(symsum(k,0,n-1) 1/2*n*(n-1) simple(symsum(k,0,n) 1/2*n*(n+1) simple(sy

13、msum(k2,0,n) 1/6*n*(n+1)*(2*n+1) symsum(k2,0,10) 385 symsum(k2,11,10) 0 symsum(1/k2,1,Inf) 1/6*pi210 幂级数 MatLab完成泰勒展开命令:下面f代表待展开的函数表达式,taylor(f) %求出函数f关于系统默认变量的麦克劳林型的6阶近似展开.taylor(f,n) %求出函数f关于系统默认变量的麦克劳林型的n阶近似展开.taylor(f,v) %求出函数f关于变量v的麦克劳林型的6阶近似展开.taylor(f,a) %求出函数f关于系统默认变量等于a处的麦克劳林型的6阶近似展开.taylor

14、(f,n,v,a) %求出函数f关于变量v等于a处的麦克劳林型的n阶近似展开.例23 求函数在x=1处的3阶泰勒展式.syms xtaylor(exp(x),x,4,1)执行后得到:ans = exp(1)+exp(1)*(x-1)+1/2*exp(1)*(x-1)2+1/6*exp(1)*(x-1)311常微分方程在MatLab中的表达方式为:符号D表示对变量的求导,Dy表示对变量y求一阶导数, Dny表示对变量求n阶导数.dsolve(diff_equation) % diff_equation为待求解的常微分方程,自变量为t,得方程的通解dsolve(diff_equation,var)

15、 % diff_equation为待求解的常微分方程,自变量为vardsolve(diff_equation,cond1, cond2,var) %带初始条件的常微分方程例27 解常微分方程syms x diff_equ='D2y+y=x*cos(2*x)'y=dsolve(diff_equ, 'x')解得结果为:y =(1/2*cos(x)+1/2*x*sin(x)+1/18*cos(3*x)+1/6*x*sin(3*x)*sin(x)+(-1/18*sin(3*x)+1/6*x*cos(3*x)+1/2*sin(x)-1/2*x*cos(x)*cos(x)+

16、C1*sin(x)+C2*cos(x)例28 求常微分方程满足的特解.syms x diff_equ='D3y D2y=x'y=dsolve(diff_equ, 'y(1)=8', 'Dy(1)=7', 'D2y(1)=4','x')解得结果为:y =-1/2*x2-1/6*x3+1/6+5/2*x+6/exp(1)*exp(x)4.9 上机实验内容1 用描点法列出数列从第1项到第1000项,观察数列的极限,若,N可以取多少?2作图观察当时,的极限,若,取多少,使当时,?3 用MatLab软件求极限,并理论上推导计

17、算.4 用MatLab软件求下列函数的导数：（1）已知求（2）已知，求（3）已知,求5 已知函数,按要求完成下面的任务：（1）用MatLab软件求函数的一阶，二阶导函数（2）画出函数y及其一阶、二阶导函数曲线，观察单调区间，凹凸区间以及极值点，拐点（3）用作图观察法找出函数的四个零点，四个极值点和四个拐点，与其相应的理论值比较。（要求结果保留三位小数）6 使用MatLab软件求下列积分：（1） (2) (3)（4）7 使用MatLab软件求二重积分：,其中D是由圆周及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域.8 用下面不同方法近似的值,并和准确值比较.方法1利用和近似的值.方法2 利用方法3 利用方

18、法4 利用方法5 利用方法6利用9 求解微分方程4.10 上机操作步骤1在MatLab的命令窗口输入如下命令序列:clfsubplot(1,2,1)hold ongrid onn=1:1000;m=1./n.*cos(n*pi/2);plot(n,m,'k.')观察数列的散点图22,当n趋于无穷大时,数列趋于 subplot(1,2,2)hold ongrid onn=500:10000;m=1./n.*cos(n*pi/2);plot(n,m,'k.')fplot('0.001',500,10000)fplot('-0.001'

19、,500,10000)axis(500,10000,-0.005,0.005)观察图23,当时,可以取N= ,当n>N时有.图22 图232 在MatLab的命令窗口输入如下命令序列:clfsubplot(1,2,1)hold ongrid onfplot('x.*x',1,3)观察函数图24, 当时,的极限是 subplot(1,2,2)hold ongrid onfplot('x.*x',1.9,2.1)fplot('4.001', 1.9,2.1)fplot('3.999', 1.9,2.1)axis(1.9997,2

20、.0005,3.9989,4.0011) % 调整显示图形的范围是该实验的重点观察图25,当时, 取 ,使当时,?图24 图253 在MatLab的命令窗口输入:syms xlimit(2.x-log(2.x)-1)./(1-cos(x),x,0)运行结果为ans = 理论上用洛必达法则计算该极限:= 4 在MatLab的命令窗口输入如下命令序列:（1）syms xy=sqrt(x+2)*(3-x)4/(x+1)5diff(y,x) 求一阶导数运行结果 x=1;eval(y) 求导数在x1处的值运行结果 = （2）syms xy=exp(x)*cos(x)diff(y,x,4) 求运行结果 =

21、 （3）已知,求在MatLab的命令窗口输入如下命令序列:syms x y zz=log(x+y2)*xydiff(z,x) 运行结果 diff(z,x,2) 运行结果 diff(diff(z,x),y)运行结果 5 （1）作函数f(x)的曲线，求f(x)的零点。在MatLab的命令窗口输入如下命令序列:syms xy=x2*sin(x2-x-2);d1=diff(y,x) % 求一阶导数d2=diff(d1,x) % 求二阶导数 subplot(1,3,1)hold on grid on ezplot(y,-2 2) %作函数f(x)的曲线title('f(x)')下面用作图

22、观察法求函数f（x）的各零点：观察图26，可知函数f(x)在区间-2,2上有4个零点，分别为-1，0，2，还有一个零点位于区间-2,1上，下面通过不断缩小零点的取值范围，在区间-2,1上求函数f（x）的零点，输入命令序列：axis(-2,-1.5,-0.1,0.1) 见图27axis(-1.9,-1.8,-0.01,0.01) %见图28 axis(-1.85,-1.8,-0.001,0.001) %见图29axis(-1.84,-1.82,-0.001,0.001) %见图30axis(-1.825,-1.82,-0.001,0.001) %见图31axis(-1.823,-1.821,-0

23、.001,0.001) %见图32axis(-1.822,-1.8215,-0.001,0.001) %见图33axis(-1.8218,-1.8216,-0.0001,0.0001) %见图34图26图27图28用作图法得零点的近似值为： 图29 图30 图31 图32 图33 图34 方法2在区间-2,-2上用求根公式求零点，在命令窗口输入如下命令：f1=char(y);fzero(f1,-2)运行结果得近似零点为 fzero(f1,-1)运行结果 fzero(f1,0)运行结果 fzero(f1,2)运行结果 比较作图法和求根公式法，结论是 。（2）作函数一阶导数的曲线，求驻点。在Mat

24、Lab的命令窗口输入如下命令序列:subplot(1,3,2)hold on grid on ezplot(d1,-2,2)title ('一阶导数f(x)')观察图36，可知一阶导数在区间-2,2有4个零点，近似值为-1.5,-0.8,0,1.5,下面用求根公式计算较精确的零点值，输入命令：f2=char(d1);x=fzero(f2,-1.5)eval(y)运行结果，记该零点为x1 ，f(x1)= x=fzero(f2,-0.8)eval(y)运行结果，记该零点为x2 ，f(x2)= x=fzero(f2,0) eval(y)运行结果，记该零点为x3 ，f(x3)= x=f

25、zero(f2,1.5) eval(y)运行结果，记该零点为x4 ，f(x4)= 根据函数单调性与一阶导数的关系，可得函数f(x)的单增区间为 ，单减区间为 。根据函数图形，可判别函数的极大值点为 ，极小值点为 。图35 图36 图37（3）作函数二阶导数的曲线，求拐点。在MatLab的命令窗口输入如下命令序列:subplot(1,3,3)hold on grid on ezplot(d2,-2,2) title ('二阶导数f(x) ')观察图37，可知二阶导数在区间-2,2有4个零点，近似值为-1.9,-1.3,0.5,1.2,下面用求根公式计算较精确的零点值，输入命令：f

26、3=char(d2);x=fzero(f3,-1.9)eval(y)运行结果，记该零点为x5 ，f(x5)= x=fzero(f3,-1.3)eval(y)运行结果，记该零点为x6 ，f(x6)= x=fzero(f3,0.5) eval(y)运行结果，记该零点为x7 ，f(x7)= x=fzero(f3,1.2) eval(y)运行结果，记该零点为x8 ，f(x8)= 根据函数凹凸性与二阶导数的关系，可得函数f(x)的凹区间为 ，凸区间为 。根据函数图形37，可判别函数的拐点为 。6 使用MatLab软件求下列积分：（1） (2) (3)在MatLab的命令窗口输入如下命令序列:（1）sym

27、s x;y=x*cos(x)*(sin(x)(-3);int(y)运行结果:ans = (2) syms x;y=x*exp(x)*(exp(x)1)(-2);int(y)运行结果:ans = （3）syms x;y= exp(2*x)*cos(x);int(y,0,pi/2)运行结果:ans = (4) quad('exp(-x.2)',0,1)运行结果:ans = 7,其中D是由圆周及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域.具体步骤如下:(1)划定积分区域: ezplot('x2+y2-1',0,1,0,1) 结果如图38,D为积分区域. (2)化二重积分为累次

28、积分 . 图38在MatLab的命令窗口输入如下命令 syms x y zz=x2+y2;dx1=int(z,y,0,sqrt(1-x2);jf=int(dx1,0,1);结果为:jf = 8用MatLab创建函数pii.m文件实现方法i对进行近似, n代表展开阶数,function zhi=pi1(n)syms x s tt=atan(x);s=taylor(t,n);x=1;zhi=4*eval(s);function zhi=pi2(n)syms x tt=1/(2*x-1)2;zhi=symsum(t,1,n);function zhi=pi3(n)syms x tt=(-1)(x-1)/x2;zhi=sqrt(