构造辅助圆-巧解中考压轴题--以陕西省及山东淄博市中考数学压轴题为例(共5页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上构造辅助圆 巧解中考压轴题以2014年陕西省及山东淄博市中考数学压轴题为例柯贤华 （陕西省洋县教研室） 关于动点对定线段所张的角为定值问题，从表面上看似与圆无关，但如果我们能深入挖掘题目中的隐含条件，善于联想所学定理，巧妙地构造符合题意特征的辅助圆，再利用圆的有关性质来解决问题，往往能起到化隐为显、化难为易的解题效果，还考查了学生创造性思维，有利于培养学生分析问题的能力。这里，构造辅助圆实则成了解题的关键。为此，下面遴选2014年陕西省及山东淄博市中考数学压轴题为例，对辅助圆的构造策略与方法作一介绍，以飨读者。1 案例1及解法简析1.1 题目展示 (2014年陕西中考

2、数学第25题)问题探究（1）如图1，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，如果BC边上存在点P，使APD为等腰三角形，那么请画出满足条件的一个等腰三角形APD，并求出此时BP的长；（2）如图2，在ABC中，ABC=60°，BC=12，AD是BC边上的高，E、F分别为边AB、AC的中点当AD=6时，BC边上存在一点Q，使EQF=90°，求此时BQ的长。问题解决图1图2图3（3）有一山庄，它的平面图为如图3的五边形ABCDE，山庄保卫人员想在线段CD上选一点M安装监控装置，用来监视边AB，现只要使AMB大约为60°，就可以让监控装置的效果达到最佳。已知A=E=D=90

3、°，AB=270m，AE=400m，ED=285m，CD=340m，问在线段CD上是否存在点M，使AMB=60°？若存在，请求出符合条件的DM的长；若不存在，请说明理由。1.2 解法简析 本题第（1）问相对简单，这里分析第（2）（3）问。（2）由条件“当AD=6时，BC边上存在一点Q，使EQF=90°”，动点Q对定线段EF所张的角为直角，因此联想到“直径所对的圆周角是直角”，以EF为直径作O，易证O与BC相切，从而得到符合条件的点Q唯一，然后通过添加辅助线，借助于正方形、特殊角的三角函数值等知识即可求出BQ长；（3）要满足动点M对定线段AB所张的角AMB=60&#

4、176;，由此联想到“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”，于是可构造以AB为边的等边三角形的外接圆，该圆与线段CD的交点就是满足条件的点，然后借助于等边三角形的性质、特殊角的三角函数值等知识，就可求出符合条件的DM的长。解 （1）略解。符合条件的等腰三角形如图4所示。当AP=PD时，P在BC的中垂线上，BP=2。等腰ADP中，BP=4-；或等腰ADP中，BP=，也符合题意。综上所述，在等腰APD中，若PA=PD，则BP=2；若DP=DA,则BP=4-；若AP=AD, 则BP=。图4（2）E、F分别为边AB、AC的中点，EFBC，EF=BC=6。ADBC，AD=6，EF与BC之间的距离

5、为3。以EF为直径作O，过点O作OQBC于Q，连接EQ、FQ，如图5。OQ=3=OE。O与BC相切，切点为QEF为O的直径，EQF=90°。图5过点E作EGBC，垂足为G，EG=3=OQ，且EGOQ 。四边形EOQG是正方形GQ=3 。在RtEBG中，B=60°，EG=3，BG=。BQ=GQ+BG=3+。（3）在CD上存在符合题意的点M 。理由如下：如图6，构造等边ABG作GPAB于点P、AKBG于点K，AK与GP交于点O，以O为圆心OA长为半径画圆，则O为ABG的外接圆，作OHCD于点H在RtAOP中，AP=AB=135，OA=90，OP=45 。图6又知OH=285-=

6、150 。而90150，O与CD相交记O与CD的交点为M，连接OM、MA、MB 。则AMB=AGB=60°。在RtOHM中，HM=30。DM=400-45-30340，或DM=400-45+30340（舍去）。CD上符合题意的点M只有一个。点M就是符合要求的点。故DM=（400-45-30）m。2 案例2及解法简析2.1 题目展示(2014年山东淄博市中考数学第24题)图7 如图7，点A与点B的坐标分别是（1,0），（5,0），点P是该直角坐标系内的一个动点。（1）使APB=30°的点P有 个；（2）若点P在y轴上，且APB=30°，求满足条件的点P的坐标；（3）

7、当点P在y轴上移动时，APB是否有最大值？若有，求点P的坐标，并说明此时APB最大的理由；若没有，也请说明理由。2.2 解法简析（1）动点P对定线段AB所张的角APB=30°，只需点P在过点A、点B的圆上，且弧AB所对的圆心角为60°即可，显然符合条件的点P有无数个；（2）根据（1）中的分析可知，当点P在y轴的正半轴上时，点P是（1）中的圆与y轴的交点，借助于垂径定理、等边三角形的性质、勾股定理等知识即可求出符合条件的点P的坐标；当点P在y轴的负半轴上时，同理可求出符合条件的点P的坐标。（3）由结论“在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角大于同弧所对的圆外角”知，要使APB最大，

8、只需构造过点A、点B且与y轴相切的圆，切点就是使得APB最大的点P，然后结合切线的性质、三角形外角的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识即可解决问题。解 （1）如图8，以AB为边，在第一象限内作等边三角形ABC以点C为圆心，AC为半径作C，交y轴于点P1、P2 。在优弧AP1B上任取一点P，则APB=ACB=×60°=30° 。使APB=30°的点P有无数个 。故答案为：无数 。（2）当点P在y轴的正半轴上时，过点C作CGAB，垂足为G，如图8 。点A（1,0），点B（5,0），OA=1，OB=5 。图8AB=4 。点C为圆心，CGAB，AG=BG=A

9、B=2 。OG=OA+AG=3 。ABC是等边三角形，AC=BC=AB=4 。CG=2。点C的坐标为（3,2）。过点C作CDy轴，垂足为D，连接CP2 。点C的坐标为（3,2），CD=3，OD=2 。P1、P2是C与y轴的交点，AP1B=AP2B=30°。CP2=CA=4，CD=3，DP2=。点C为圆心，CDP1P2，P1D=P2D= 。P2（0, 2-）,P1（0, 2+）。当点P在y轴的负半轴上时，同理可得：P3（0, -2-），P4（0,- 2+）。综上所述：满足条件的点P的坐标有：（0, 2-）、（0, 2+）、（0, -2-）、（0,- 2+）。（3）当过点A、B的E与y轴

10、相切于点P时，APB最大。当点P在y轴的正半轴上时，连接EA，作EHx轴，垂足为H，如图9。E与y轴相切于点P，PEOP。EHAB，OPOH，图9EPO=POH=EHO=90°。四边形OPEH是矩形。OP=EH，PE=OH=3。EA=3。EHA=90°，AH=2，EA=3，EH=。OP=。P（0,）。当点P在y轴的负半轴上时，同理可得：P（0,-）。理由：.若点P在y轴的正半轴上，在y轴的正半轴上任取一点M（不与点P重合），连接MA，MB，交E于点N，连接NA，如图9所示。ANB是AMN的外角，ANBAMB。APB=ANB，APBAMB。.若点P在y轴的负半轴上，同理可证得

11、：APBAMB。综上所述：当点P在y轴上移动时，APB有最大值，此时点P的坐标为（0,）和（0,-）。3 解题感悟这两道中考压轴题考查知识点多，代数与几何等知识相互渗透，综合性非常强，难度大，涉及分类、转化、数形结合、数学建模等常用的数学思想，考查了学生创造性思维及操作、探究、分析问题等能力，可谓知识与能力齐驱，基本数学思想和基本活动经验联动，回归到了课标（2011版）对学生获得“四基”能力的目标要求，关注了学生的学习过程，能有效引领教师平时的数学教学。关于动点对定线段所张的角为定值一类问题，当所张角是直角时，利用“直径所对的圆周角是直角”构造圆直角（或垂直）与直径有着密切关系，要善于把它们联系起来处理问题，即要见直角（或垂直）想直径，又要遇直径思垂直；当所张