初中数学中考专题复习--突破猜想规律专题

1、2011年中考复习二轮材料突破猜想规律专题一 专题诠释猜想规律的相关题目在中考中越来越被命题者所注重。这类题要求根据题目中的图形或者数字直观地发现共同特征，或者发展变化的趋势，据此去预测估计它的规律或者其他相关结论，使带有猜想性质的推断尽可能与现实情况相吻合，必要时可以进行验证或者证明，依此体现出猜想的实际意义。二 解题策略和解法精讲猜想规律型的问题难度相对较小，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。其中蕴含着“特殊一般特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程。相对而言，猜想结论型问

2、题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到。由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的持续热点。三 考点精讲考点一：猜想数式规律通常给定一些数字、代数式、等式或者不等式，然后猜想其中蕴含的规律。一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。例1（2010江苏泰州）观察等式：，按照这种规律写

3、出第n个等式： 【分析】先看等式左边，式是32-1，式是52-1，式是72-1所以第n个等式左边应是；再看等式右边，式是，式是，式是，所以第n个等式右边应是【解答】 【评注】规律性猜想题，提供的信息是一种规律，但它隐含在题目中，有待挖掘和开发，一般只要注重观察数字（式）变化规律，经归纳便可猜想出结论本题式中的平方项、1、相乘两数等差2，都给答案探究提供了蛛丝马迹。例2（2010湖南常德）如图3，一个数表有7行7列，设表示第i行第j列上的数（其中i1,2,3,.,j1,2,3,.,）.例如：第5行第3列上的数.则（1） (2) 此数表中的四个数满足【分析】（1）根据的定义规则，可知，则有（2）

4、观察数表可知，第1问中的恰是的具体形式，若将赋值于不同的行与列，我们不难发现【解答】（1）0 （2）0【评注】探索数字规律，从一维扩展到二维，是个进步。本题属于典型的开放性探究题，问题设置层次感较强，遵循了从特殊到一般的认识规律从培养学生不完全归纳能力的角度看，不失为一道训练思维的好题考点二：猜想图形规律根据一组相关图形的变化规律，从中总结通过图形的变化所反映的规律。其中，以图形为载体的数字规律最为常见。猜想这种规律，需要把图形中的有关数量关系列式表达出来，再对所列式进行对照，仿照猜想数式规律的方法得到最终结论。例1（2010重庆）有两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对

5、称中心O按逆时针方向进行旋转，每次均旋转45°，第1次旋转后得到图，第2次旋转后得到图，则第10次旋转后得到的图形与图中相同的是（）A图 B图 C图 D图【分析】规律的归纳：通过观察图形可以看到每转动4次后便可重合，即4次一个循环，10÷422，所以应和图相同【解答】B【评注】本题是规律的归纳题，解决本题的关键是读懂题意，理清题归纳出规律，然后套用题目提供的对应关系解决问题，具有一定的区分度关键是从循环转动的过程中，关注几个重要的停顿点，从而探索360度圆周与几个角度的关系。例2（2010广东汕头）如图（1），已知小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A

6、1B1C1D1；把正方形A1B1C1D1边长按原法延长一倍得到正方形A2B2C2D2（如图（2）；以此下去···，则正方形A4B4C4D4的面积为_第13题图（1）A1B1C1D1ABCDD2A2B2C2D1C1B1A1ABCD第13题图（2）图形边长面积正方形ABCD11正方形A1B1C1D15正方形A2B2C2D2525正方形A3B3C3D3125正方形A4B4C4D425625【分析】【解答】625【评注】本题系探究规律题，构图新颖，解题的方法也很多，除了分析中的方法外，还可以用下面的探究方法：图（1）中每个小直角三角形的面积都与原正方形的面积相等，这样外面

7、就多了四个小直角三角形，从而新的正方形的面积就等于原正方形面积的5倍，依此类推，第四个新正方形的面积就等于本题能从不同角度来考查学生的探索能力、归纳能力及创新能力，是去年中考题中的精品考点三：猜想数值结果当在一些条件改变的前提下，结果的数值不变，或者其变化呈现出某种特征时，可以猜想在新条件下，数值仍然不变，或者仍然按照原来的特征变化，依此猜想到结果的数值。例1（2010江苏盐城）填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是（ ）02842462246844m6A38 B52 C66 D74【分析】根据图形所填数字可以看出：2×4-0=8；4×6-2=2

8、2；6×8-4=44；8×10-6=74.【解答】D【评注】本题属于探究类试题，解答此类试题时，要充分分析试题的特点，各个量之间的关系，然后得到一般的结论.例2（2010贵州贵阳，25，12分）如图12，在直角坐标系中，已知点的坐标为（1,0），将线段绕原点O沿逆时针方向旋转45，再将其延长到，使得，得到线段；又将线段绕原点O沿逆时针方向旋转45，再将其延长到，使得，得到线段，如此下去，得到线段，（图12）（1）写出点M5的坐标；（4分）（2）求的周长；（4分）（3）我们规定：把点（0,1,2,3）的横坐标，纵坐标都取绝对值后得到的新坐标称之为点的“绝对坐标”根据图中点的分

9、布规律，请你猜想点的“绝对坐标”，并写出来（4分） 【分析】（1）求M5的坐标可先计算M1、M2、M3 的值，观察这些点的坐标特征来求得；（2）求的周长可分别计算OM5、M5M6、OM6的值从而可求得周长；（3）需分类讨论求得。【解答】（1）M5（4，4）（2）由规律可知，,， 的周长是（3）解法一：由题意知，旋转8次之后回到轴的正半轴，在这8次旋转中，点分别落在坐标象限的分角线上或轴或轴上，但各点“绝对坐标”的横、纵坐标均为非负数，因此，点的“绝对坐标”可分三类情况：令旋转次数为 当点M在x轴上时: M0（），M4（），M8（），M12（）,，即：点的“绝对坐标”为（）。 当点M在y轴上时:

10、 M2，M6，M10，M14,，即：点的“绝对坐标”为。 当点M在各象限的分角线上时：M1，M3，M5，M7,，即：的“绝对坐标”为。解法二：由题意知，旋转8次之后回到轴的正半轴，在这8次旋转中，点分别落在坐标象限的分角线上或轴或轴上，但各点“绝对坐标”的横、纵坐标均为非负数，因此，各点的“绝对坐标”可分三种情况：当时（其中=0，1，2，3，），点在轴上，则（）当时（其中=1，2，3，），点在轴上，点（）当=1，2，3，时，点在各象限的分角线上，则点（）【评注】本题是一道运动型问题，解答这类问题时，一般要借助几何图形的三大变换（平移、旋转、翻折）来解决，要求对几何元素的运动过程有一个完整、清晰

11、的认识，不管点动、线动还是形动，要善于借助动态思维的观点来分析，不被“动”所迷惑，从特殊情形入手，变中求不变，动中求静，抓住静的瞬间，以静制动，把动态的问题转化为静态的问题来解决，从而找到“动”与“静”的联系，揭示问题的本质，发现运动中的各个变量之间互相依存的函数关系，从而找到解决问题的突破口，也就找到了解决这类问题的途径.考点四：猜想数量关系数量关系的表现形式多种多样，这些关系不一定就是我们目前所学习的函数关系式。在猜想这种问题时，通常也是根据题目给出的关系式进行类比，仿照猜想数式规律的方法解答。例1（2010山东威海）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0）

12、，点D的坐标为（0，2）延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1按这样的规律进行下去，第2010个正方形的面积为 （ ）A B C DOABCDA1B1C1A2C2B2xy【分析】由题意知，OA1，OD2,DA,ABAD,利用互余关系证得DOAABA1,BA1，A1B1A1C,同理A2B2 A1B1，一般地AnBn，第2010个正方形的面积为，故选D【解答】D【评注】本题是正方形面积的规律探究题，实质就是正方形边长的规律探究本题可先应用了勾股定理及相似三角形知识求出几种特殊正方形的边长，然后归纳出一般正方形的边长规律，最后得出正方形的

13、面积规律使问题得以解决例2（2010浙江嘉兴）如图，已知O的半径为1，PQ是O的直径，n个相同的正三角形沿PQ排成一列，所有正三角形都关于PQ对称，其中第一个A1B1C1的顶点A1与点P重合，第二个A2B2C2的顶点A2是B1C1与PQ的交点，最后一个AnBnCn的顶点Bn、Cn在圆上（1）如图1，当n1时，求正三角形的边长a1；（2）如图2，当n2时，求正三角形的边长a2；（3）如题图，求正三角形的边长an （用含n的代数式表示） 【分析】(1)连接三角形一个顶点与圆心，结合垂径定理作出直角三角形，由勾股定理构建方程从而求出正三角形的边长；(2)依然连接第二个三角形的顶点与圆心，构建直角三角

14、形由勾股定理列出方程求出三角形的边长；(3)依然连接第n个三角形的顶点与圆心，构建直角三角形由勾股定理列出方程求出三角形的边长【解答】（1）设PQ与B1C1交于点D，连结OB1，则OD，在RtOB1D中，即，解得 （2）设PQ与B2C2交于点E，连结OB2，则OE，在中，即，解得（3）设PQ与BnCn交于点F，连结OBn，则，在中，即，解得 【评注】本题综合考查圆的基本性质和勾股定理等知识点，解决本题的关健是通过作出辅助线，利用垂径定理构建直角三角形，并分别把直角三角形的三边表示出来，由勾股定理得出方程求出边长考点五：猜想变化情况随着数字或图形的变化，它原先的一些性质有的不会改变，有的则发生了

15、变化，而且这种变化是有一定规律的。比如，在几何图形按特定要求变化后，只要本质不变，通常的规律是“位置关系不改变，乘除乘方不改变，减变加法加变减，正号负号要互换”。这种规律可以作为猜想的一个参考依据。例1（2010浙江嵊州）已知：在四边形ABCD中，ADBC，BACD，点E、F分别在BC、CD上，且AEFACD，试探究AE与EF之间的数量关系。（1）如图1，若ABBCAC，则AE与EF之间的数量关系是什么；（2）如图2，若ABBC，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出猜想，并加以证明；（3）如图3，若ABkBC，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出猜想不用证明。【分析】在（1）中由ABB

16、CAC，所以ABC为等边三角形，又因为ADBC，BACD，所以可以得到四边形ABCD为菱形，所以四条边相等，连接AF证明三角形全等即可证明AE=EF；（2）可以过点E作EHAB，可证AEHFEC【解答】（1）AEEF （2）猜想：（1）中结论没有发生变化，即仍然为AEEF（过点E作EHAB，可证AEHFEC）（3）猜想：（1）中的结论发生变化，为AEkEF 【评注】本题属于难度比较大的问题，需要添加辅助线构造全等三角形，证明三角形全等例2（2010江西）课题：两个重叠的正多边型，其中一个绕某一顶点旋转所形成的有关问题。实验与论证 设旋转角A1A0B1=（< A1A0A2）, 3，4，5，

17、6，所表示的角如图所示。（1） 用含的式子表示角的度数：3=_4=_5=_（2）图1图4中，连接A0H时，在不添加其他辅助线的情况下，是否存在与直线A0H垂直且被它平分的线段？若存在，请选择期中的一个图给出证明；若不存在，请说明理由；归纳与猜想：设正n边形A0A1A2An1与正n边形A0B1B2Bn1重合（其中，A1与B1重合），现将正n边形A0B1B2Bn1绕顶点A0逆时针旋转（）（3）设n与上述“3，4，”的意义一样，请直接写出n的度数；（4）试猜想在正n边形的情形下，是否存在与直线A0H垂直且被它平分的线段？若存在，请将这条线段用相应的顶点字母表示出来（不要求证明）；若不存在，请说明理由

18、【分析】（1）要求的度数，应从旋转中有关角度的变与不变上突破；（）结合图形比较容易得到被垂直平分的线段，在证明时要充分利用背景中正多边形及旋转中的角度；（）要探究的度数，要注意区分正偶数边形及正奇数边形两种情形去思考与求解度数的表达式；（）要探究正边形中被垂直平分的线段，也应注意区分正偶数边形及正奇数边形两种情形去思考与突破；【解答】解：（）（）答案不唯一，选图，图中有直线垂直平分证明：与是全等的等边三角形，点在线段的垂直平分线上，所以直线垂直平分（）当为奇数时，当为偶数时，（）存在，当为奇数时，直线垂直平分当为偶数时，直线垂直平分 【评注】本题是以旋转操作为背景的课题学习题，尤其是在这道题中

19、，先探讨简单情景下存在的某个结论，然后进一步推广到一般情况下，原来结论是否成立，本题题型新颖是个不可多得的好题，有利于培养学生的思维能力，但难度较大，具有明显的区分度四真题演练1. （2010年山东济宁中考题）观察下面的变形规律： 1； ；解答下面的问题：（1）若n为正整数，请你猜想 ；（2）证明你猜想的结论；（3）求和： 2.（2010年山东日照中考题）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如： 他们研究过图1中的1，3，6，10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16，这样的数为正方形数下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）A15

20、B25 C55 D12253. （2010年浙江杭州中考题）给出下列命题：命题1 点(1,1)是直线y x与双曲线y 的一个交点;命题2 点(2,4)是直线y 2x与双曲线y 的一个交点;命题3 点(3,9)是直线y 3x与双曲线y 的一个交点; （1）请观察上面命题，猜想出命题(是正整数);（2）证明你猜想的命题n是正确的4. （2010年浙江绍兴中考题） (1) 如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,AE,BF交于点O,AOF90°.求证：BECF.第23题图1(2) 如图2,在正方形ABCD中,点E,H,F,G分别在边AB,BC,CD,DA上,EF,GH交于

21、点O,FOH90°, EF4.求GH的长.(3) 已知点E,H,F,G分别在矩形ABCD的边AB,BC,CD,DA上，EF,GH交于点O,FOH90°,EF4. 直接写出下列两题的答案：如图3,矩形ABCD由2个全等的正方形组成,求GH的长； 如图4,矩形ABCD由n个全等的正方形组成,求GH的长(用n的代数式表示).第23题图4第23题图3【答案】1. （1）；（2）证明：；（3）原式1 2.由于正方形数是平方数，所以既是三角形数又是正方形数的数必定是个平方数，可排除选项A、C，再分析出25不是三角形数（第n个三角形数可表示为n(n+1)，n为正整数），所以选择D。3.

22、(1)命题n；点(n , n2) 是直线y = nx与双曲线y =的一个交点(是正整数) (2)把 代入y = nx，左边= n2，右边= n·n = n2，左边=右边，点(n，n2)在直线上同理可证：点(n，n2)在双曲线上，第23题图1点(n，n2)是直线y = nx与双曲线y = 的一个交点，命题正确4. (1) 证明：如图1， 四边形ABCD为正方形， AB=BC,ABC=BCD=90°， EAB+AEB=90°. EOB=AOF90°, FBC+AEB=90°， EAB=FBC， ABEBCF ， BE=CF 第23题图2ONM(2)

23、 如图2,过点A作AM/GH交BC于M，过点B作BN/EF交CD于N,AM与BN交于点O/，则四边形AMHG和四边形BNFE均为平行四边形， EF=BN,GH=AM， FOH90°, AM/GH，EF/BN, NO/A=90°,故由(1)得, ABMBCN， AM=BN， GH=EF=4 (3) 8 4n。第二部分 练习部分1. （2010年广东中山中考题）阅读下列材料：，由以上三个等式相加，可得读完以上材料，请你计算下列各题：（1）（写出过程）；（2）= ；（3）= 2. （2010年山东淄博中考题）如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第一次输出的结果为

24、24，第二次输出的结果为12，则第2010次输出的结果为输出输入xx3x为偶数x为奇数(第11题)（A）6（B）3（C）（D）3. （2010年山东青岛中考题）如图1，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第6个图案需要 枚棋子，摆第n个图案需要 枚棋子图14.（2010年贵州铜仁中考题）如图，小红作出了边长为1的第1个正A1B1C1，算出了正A1B1C1的面积，然后分别取A1B1C1三边的中点A2，B2，C2，作出了第2个正A2B2C2，算出了正A2B2C2的面积，用同样的方法，作出了第3个正A3B3C

25、3，算出了正A3B3C3的面积，由此可得，第8个正A8B8C8的面积是（ ）A B C D5. (2010年广西百色中考题) 如图，在直角坐标系中，射线OA与x轴正半轴重合，以O为旋转中心，将OA逆时针旋转:OAOA1OA2OAn，旋转角AOA12°， A1OA24°， A2OA38°， 要求下一个旋转角(不超过360°)是前一个旋转角的2倍.当旋转角大于360°时，又从2°开始旋转，即A8OA92°， A9OA104°， 周而复始.则当OAn与轴正半轴重合时，n的最小值为 （ ） （提示：2+22+23+24+2

26、5+26+2728510）A16B24C27 D32 (第14题)6. （2010年四川内江中考题）阅读理解：我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中,任意两点P(x1，y1)、Q(x2，y2)的对称中心的坐标为（，）.观察应用：（1）如图，在平面直角坐标系中，若点P1(0，1)、P2(2，3)的对称中心是点A，则点A的坐标为；（2）另取两点B(1.6，2.1)、C(1，0).有一电子青蛙从点P1处开始依次关于点A、B、C作循环对称跳动，即第一次跳到点P1关于点A的对称点P2处，接着跳到点P2关于点B的对称点P3处，第三次再跳到点P3关于点C的对称点P4处，第四次

27、再跳到点P4关于点A的对称点P5处，则P3、P8的坐标分别为，;拓展延伸： （2） 求出点P2012的坐标，并直接写出在x轴上与点P2012、点C构成等腰三角形的点的坐标.xyOCP2BP17.（2010年湖北恩施中考题） (1)计算:如图10,直径为的三等圆O、O、O两两外切，切点分别为A、B、C ，求OA的长（用含的代数式表示）. 图10（2）探索:若干个直径为的圆圈分别按如图10所示的方案一和如图10所示的方案二的方式排放，探索并求出这两种方案中层圆圈的高度和（用含、的代数式表示）.（3）应用:现有长方体集装箱，其内空长为5米，宽为3.1米，高为3.1米.用这样的集装箱装运长为5米，底面

28、直径（横截面的外圆直径）为0.1米的圆柱形钢管，你认为采用（2）中的哪种方案在该集装箱中装运钢管数最多？并求出一个这样的集装箱最多能装运多少根钢管？（1.73）【答案】1. （1）=+=440（2）（3）=+=12602.根据如图所示的运算程序，分情况列出算式，当x为偶数时，结果为；当x为奇数时，结果为，若开始输入的x值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12，第三次输出的结果为6，第四次输出的结果为3，第五次输出的结果为3，以后每次输出的结果都是3所以选择B。3.图案是一圈一圈的。可以根据每圈中棋子的个数得出规律。第1个图案需要716枚棋子，第2个图案需要191612枚棋子，第3个图案需要37161218枚棋子，由此规律可得第6个图案需要16123×（61）枚