安徽省合肥一中2015-2016学年高二上学期第一次段考数学试卷(理科)(共26页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上2015-2016学年安徽省合肥一中高二（上）第一次段考数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1如果直线a和直线b是异面直线，直线ca，那么直线b与c( )A异面B相交C平行D异面或相交2若用m，n表示两条不同的直线，用表示一个平面，则下列命题正确的是( )A若mn，n，则mB若m，n，则mnC若m，n，则mnD若m，n，则mn3利用斜二测画法画一个水平放置的平面四边形的直观图，得到的直观图是一个边长为1的正方形（如图所示），则原图形的形状是( )ABCD4一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能为长方形；正方形；圆；椭圆其中

2、正确的是( )ABCD5在空间四边形ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，且AE：EB=AF：FD=1：4，又H，G分别为BC，CD的中点，则( )ABD平面EFG，且四边形EFGH是矩形BEF平面BCD，且四边形EFGH是梯形CHG平面ABD，且四边形EFGH是菱形DEH平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形6中心角为135°的扇形，其面积为S1，其围成的圆锥的全面积为S2，则=( )ABCD7自半径为R的球面上一点M，引球的三条两两垂直的弦MA、MB、MC，则MA2+MB2+MC2等于( )AR2B2R2C4R2D8R28正四棱锥SABCD的侧棱长为，底面边长为，E为SA

3、的中点，则异面直线BE和SC所成的角为( )A30°B45°C60°D90°9棱长为2的正方体被一平面截得的几何体的三视图如图所示，那么被截去的几何体的体积是( )ABC4D310正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )AB16C9D11某几何体中的一条线段长为，在该几何体的正视图中，这条线段的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b的最大值为( )ABC4D12在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=，BC=AA1=1，点M为AB1的中点，点P为对角线AC

4、1上的动点，点Q为底面ABCD上的动点（点P、Q可以重合），则MP+PQ的最小值为( )ABCD1二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_14长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=4，AD=3，AA1=2，则AC1与BD所成角的余弦值为_15设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1、S2，体积分别为1，2，若它们的侧面积相等，且的值为_16由空间一点O出发的四条射线两两所成的角相等，则这个角的余弦值为_三、解答题（共6小题，满分70分）17已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为C1D1，B1C1的中点，ACBD=P，A1C1E

5、F=Q，求证：（1）D、B、F、E四点共面；（2）若A1C平面DBFE=R，则P、Q、R三点共线18如图所示，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别为AB、PC的中点，平面PAD平面PBC=l（1）判断BC与l的位置关系，并证明你的结论；（2）判断MN与平面PAD的位置关系，并证明你的结论19一个圆锥的底面半径为2cm，高为6cm，其中有一个高为xcm的内接圆柱（1）求圆锥的侧面积；（2）当x为何值时，圆柱的侧面积最大？并求出最大值20如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中点（1）若正方体的棱长为1，求三棱锥B1A1BE的体积；（2）在棱C1D1上是否存在一点

6、F，使B1F面A1BE？若存在，试确定点F的位置，并证明你的结论21如图所示，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，E，F分别是BC，A1D1的中点（1）求证：四边形B1EDF为菱形；（2）求A1C与DE所成的角的余弦值22如图，三棱锥ABCD中，对棱AB与CD所成角为60°，且AB=CD=，该三棱锥被一平面所截，截面为平行四边形EFGH（1）求证：CD平面EFGH；（2）E在AD的何处时，截面面积最大？并求面积的最大值；（3）求证：四边形EFGH的周长为定值2015-2016学年安徽省合肥一中高二（上）第一次段考数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分

7、）1如果直线a和直线b是异面直线，直线ca，那么直线b与c( )A异面B相交C平行D异面或相交【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【专题】空间位置关系与距离【分析】直线b和c有可能在同一平面上，也有可能不在同一平面上，如果b和c在同一平面上的话，二者的位置关系为相交；如果b和c不在同一平面上，二者的位置关系为异面【解答】解：直线a与b是异面直线，直线ca，直线b和c有可能在同一平面上，也有可能不在同一平面上，如果b和c在同一平面上的话，二者的位置关系为相交；如果b和c不在同一平面上，二者的位置关系为异面故选：D【点评】本题考查两条直线的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维

8、能力的培养2若用m，n表示两条不同的直线，用表示一个平面，则下列命题正确的是( )A若mn，n，则mB若m，n，则mnC若m，n，则mnD若m，n，则mn【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【专题】空间位置关系与距离【分析】在A中，m或m；在B中，m与n平行或异面；在C中，m与n相交、平行或异面；在D中，由直线与平面垂直的性质得mn【解答】解：由m，n表示两条不同的直线，用表示一个平面，知：若mn，n，则m或m，故A错误；若m，n，则m与n平行或异面，故B错误；若m，n，则m与n相交、平行或异面，故C错误；若m，n，则由直线与平面垂直的性质得mn，故D正确故选：D【点评】本题考查命题真假的判

9、断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用3利用斜二测画法画一个水平放置的平面四边形的直观图，得到的直观图是一个边长为1的正方形（如图所示），则原图形的形状是( )ABCD【考点】斜二测法画直观图【专题】计算题；空间位置关系与距离【分析】利用斜二测画法的过程把给出的直观图还原回原图形，即找到直观图中正方形的四个顶点在原图形中对应的点，用直线段连结后得到原四边形【解答】解：还原直观图为原图形如图，故选：A【点评】本题考查了平面图形直观图的画法，解答的关键是熟记斜二测画法的要点和步骤，从而还原得到原图形4一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能

10、为长方形；正方形；圆；椭圆其中正确的是( )ABCD【考点】简单空间图形的三视图【分析】本题给出了正视图与侧视图，由所给的数据知凭据三视图的作法规则，来判断侧视图的形状，由于正视图中的长与侧视图中的长不一致，此特征即是判断俯视图开关的关键，由此标准对四个可选项依次判断即可【解答】解：由题设条件知，正视图中的长与侧视图中的长不一致，对于，俯视图是长方形是可能的，比如此几何体为一个长方体时，满足题意；对于，由于正视图中的长与侧视图中的长不一致，故俯视图不可能是正方形；对于，由于正视图中的长与侧视图中的长不一致，故俯视图不可能是圆形；对于，如果此几何体是一个椭圆柱，满足正视图中的长与侧视图中的长不一

11、致，故俯视图可能是椭圆综上知是不可能的图形故选B【点评】本题考点是简单空间图形的三视图，考查根据作三视图的规则来作出三个视图的能力，三视图的投影规则是：“主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等”三视图是高考的新增考点，不时出现在高考试题中，应予以重视5在空间四边形ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，且AE：EB=AF：FD=1：4，又H，G分别为BC，CD的中点，则( )ABD平面EFG，且四边形EFGH是矩形BEF平面BCD，且四边形EFGH是梯形CHG平面ABD，且四边形EFGH是菱形DEH平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形【考点】棱锥的结构特征【专题】空间

12、位置关系与距离【分析】由已知得EFBD由此能证明EF平面BCD由已知条件推导出HGBDHGEFEFHG从而得到四边形EFGH为梯形【解答】解：如图所示，在平面ABD内，AE：EB=AF：FD=1：4，EFBD又BD平面BCD，EF平面BCD，EF平面BCD又在平面BCD内，H，G分别是BC，CD的中点，HGBDHGEF又，EFHG在四边形EFGH中，EFHG且EFHG，四边形EFGH为梯形故选：B【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时发注意空间思维能力的培养6中心角为135°的扇形，其面积为S1，其围成的圆锥的全面积为S2，则=( )ABCD【考点】弧度制的应用【专题】计算

13、题；空间位置关系与距离【分析】设扇形半径为1，l为扇形弧长，也为圆锥底面周长，由扇形面积公式求得侧面积，再利用展开图的弧长为底面的周长，求得底面半径，进而求底面面积，从而求得表面积，最后两个结果取比即可【解答】解：设扇形半径为1，则扇形弧长为1×=，设围成圆锥的底面半径为r，则2r=，r=，扇形的面积S1=×1×=，圆锥的表面积S2=S1+r2=+=，=故选：C【点评】本题主要考查圆锥的侧面积和表面积的求法，同时，还考查了平面与空间图形的转化能力，属基础题7自半径为R的球面上一点M，引球的三条两两垂直的弦MA、MB、MC，则MA2+MB2+MC2等于( )AR2B

14、2R2C4R2D8R2【考点】球内接多面体【专题】计算题【分析】由题意知，此四点组成的三个线段恰好是长方体同一个顶点出发的三条棱，体对角线就外接球球的直径【解答】解：由题意，MA、MB、MC两两互相垂直，故三个线段是一个长方体共顶点的三条棱，此长方体的体对角线恰好是外接球的直径，A、B、C、M是半径为R的球面上的四点，球的直径是2R，AB2+AC2+AD2=4R2故选C【点评】本题考查球内接多面体，解题的关键是能理解出球的内接长方体的体对角线就是直径，考查计算能力8正四棱锥SABCD的侧棱长为，底面边长为，E为SA的中点，则异面直线BE和SC所成的角为( )A30°B45°

15、C60°D90°【考点】异面直线及其所成的角【专题】计算题【分析】接底面正方形ABCD对角线AC、BD，取底面ABCD对角线AC的中点F，连接EF，BD，说明EF与BE的成角是BE与SC的成角，通过在BFE中根据余弦定理，BF2=EF2+BE22EFBEcosBEF，求出cosBEF解得异面直线BE与SC所成角的大小【解答】解：连接底面正方形ABCD对角线AC、BD，取底面ABCD对角线AC的中点F，连接EF，BD，EF是三角形ASC的中位线，EFSC，且EF=SC，则EF与BE的成角是BE与SC的成角，BF=，AB=，EF=，三角形SAB是等腰三角形，从S作SGAB，co

16、sA=，根据余弦定理，BE2=AE2+AB22AEABcosA=2，BE=，在BFE中根据余弦定理，BF2=EF2+BE22EFBEcosBEF，cosBEF=，BEF=60°；异面直线BE与SC所成角的大小60° 故选C【点评】本题考查异面直线及其所成的角，考查计算能力，是基础题9棱长为2的正方体被一平面截得的几何体的三视图如图所示，那么被截去的几何体的体积是( )ABC4D3【考点】由三视图求面积、体积【专题】计算题；空间位置关系与距离【分析】三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，该几何体为正方体沿体对角线截成【解答】解：该几何

17、体为正方体沿体对角线截成，其分成两部分的几何体的体积相等，而正方体的体积V=23=8，故被截去的几何体的体积是=4，故选C【点评】三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，本题考查了学生的空间想象力，识图能力及计算能力10正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )AB16C9D【考点】球内接多面体；球的体积和表面积【专题】计算题；空间位置关系与距离【分析】正四棱锥PABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记为O，求出PO1，OO1，解出球的半径，求出球的表面积【解答】解：设球的半径为R，则棱锥的高为4，底面边长为2

18、，R2=（4R）2+（）2，R=，球的表面积为4（）2=故选：A【点评】本题考查球的表面积，球的内接几何体问题，考查计算能力，是基础题11某几何体中的一条线段长为，在该几何体的正视图中，这条线段的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b的最大值为( )ABC4D【考点】简单空间图形的三视图【专题】计算题；压轴题【分析】设棱长最长的线段是长方体的对角线，由题意所成长方体的三度，求出三度与面对角线的关系，利用基本不等式即可求出a+b的最大值【解答】解：结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算如图设长方体的长宽高分别为m，n，k，由题意得，n=1

19、，所以（a21）+（b21）=6a2+b2=8，（a+b）2=a2+2ab+b2=8+2ab8+a2+b2=16a+b4当且仅当a=b=2时取等号故选C【点评】本题是基础题，考查长方体的对角线与三视图的关系，长方体的三度与面对角线的关系，基本不等式在求最值中的应用，考查空间想象能力，计算能力，常考题型12在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=，BC=AA1=1，点M为AB1的中点，点P为对角线AC1上的动点，点Q为底面ABCD上的动点（点P、Q可以重合），则MP+PQ的最小值为( )ABCD1【考点】点、线、面间的距离计算；多面体和旋转体表面上的最短距离问题【专题】空间位置关系与距离【分析

20、】画出图形，利用折叠与展开法则同一个平面，转化折线段为直线段距离最小，转化求解MP+PQ的最小值【解答】解：由题意，要求MP+PQ的最小值，就是P到底面ABCD的距离的最小值与MP的最小值之和，Q是P在底面上的射影距离最小，展开三角形ACC1与三角形AB1C1，在同一个平面上，如图，易知B1AC1=C1AC=30°，AM=，可知MQAC时，MP+PQ的最小，最小值为：=故选：C【点评】本题考查最小值的求解，考查空间想象能力以及学生的计算能力，难度比较大二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为38+2【考点】由三视图求面积、体积

21、【分析】根据三视图分析出组合体是由一个圆柱和一个长方体构成算出两个几何体的表面积，再减去2倍的圆柱的下底面积即得【解答】解：根据三视图可得长方体的长宽高分别为4，3，1圆柱的半径为1，高为1则长方体表面积=2x（4x3+4x1+3x1）=38圆柱的表面积=2×1×1+2××12=4所以组合体的表面积=38+42=38+2故答案为38+2【点评】本题考查了通过三视图求出圆柱和长方体的表面积，属于基础题14长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=4，AD=3，AA1=2，则AC1与BD所成角的余弦值为【考点】异面直线及其所成的角【专题】空间角【分析】连结AC

22、、BD，交于点O，则O是AC的中点，取CC1的中点O，连结OP，由三角形中位线定理得OPAC1，从而BOP是AC1与BD所成角（或所成角的补角），由此利用余弦能求出AC1与BD所成角的余弦值【解答】解：连结AC、BD，交于点O，则O是AC的中点，取CC1的中点O，连结OP，由三角形中位线定理得OPAC1，BOP是AC1与BD所成角（或所成角的补角），长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=4，AD=3，AA1=2，OB=OC=，PC=，OP=，BP=，cosBOP=AC1与BD所成角的余弦值为故答案为：【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意余弦定理的合理

23、运用15设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1、S2，体积分别为1，2，若它们的侧面积相等，且的值为【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【专题】空间位置关系与距离【分析】设两个圆柱的底面半径分别为R，r，高分别为H，h，由=，得=，由它们的侧面积相等，得=，由此能求出【解答】解：设两个圆柱的底面半径分别为R，r，高分别为H，h，=，=，它们的侧面积相等，=1，=，=（）2×=故答案为：【点评】本题考查两个圆柱的体积的比值的求法，是中档题，解题时要注意圆柱的体积和侧面积计算公式的合理运用16由空间一点O出发的四条射线两两所成的角相等，则这个角的余弦值为【考点】异

24、面直线及其所成的角【专题】空间角【分析】构造正四面体ABCD中，中心O到各顶点连线所夹的角相等，则AOD就为所求的角，由此能求出这个角的余弦值【解答】解：如图，正四面体ABCD中，中心O到各顶点连线所夹的角相等，则AOD就为所求的角，设正四面体ABCD的棱长为a，作AE面BCD，垂足为E，作BFCD，交CD于F，则OAE，EAF，连结AF，则BF=，BE=，AE=，设OA=OB=r，则OE=，则，解得r=，cosAOD=这个角的余弦值为故答案为：【点评】本题考查角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法、余弦定理的合理运用三、解答题（共6小题，满分70分）17已知正方体ABCDA

25、1B1C1D1中，E、F分别为C1D1，B1C1的中点，ACBD=P，A1C1EF=Q，求证：（1）D、B、F、E四点共面；（2）若A1C平面DBFE=R，则P、Q、R三点共线【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】（1）由已知得EFD1B1，BB1DD1、BB1=DD1，从而BB1D1D是平行四边形，从而EFDB，由此能证明D、B、F、E共面（2）由已知得EF是平面AA1C1C和平面DBFE的交线，R是EF是平面AA1C1C和平面DBFE的一个公共点，由此能证明P、Q、R三点共线【解答】证明：（1）E、F分别为C1D1，B1C1的中点，EF是B1C1D1的中位线，EFD1B1，ABCD

26、A1B1C1D1是正方体，BB1DD1、BB1=DD1，BB1D1D是平行四边形，DBDB1，EFD1B1，EFDB，D、B、F、E共面（2）ACBD=P，A1C1EF=Q，EF是平面AA1C1C和平面DBFE的交线，A1C交平面DBFE于R点，R是EF是平面AA1C1C和平面DBFE的一个公共点，PQ是AA1C1C与平面DBFE的交线，R是平面AA1C1C与平面DBFE的交点，两相交平面的所有公共点都在这两平面的交线上，P、Q、R三点共线【点评】本题考查四点共面的证明，考查三点共线的证明，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养18如图所示，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别为

27、AB、PC的中点，平面PAD平面PBC=l（1）判断BC与l的位置关系，并证明你的结论；（2）判断MN与平面PAD的位置关系，并证明你的结论【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系【专题】空间位置关系与距离【分析】（1）由ADBC，可得BC平面PAD，再利用线面平行的性质可得BCl；（2）取CD的中点Q，连接MQ、NQ，可证平面MNQ平面PAD，再由面面平行的性质得线面平行【解答】解：（1）结论：BCl证明：ADBC，BC平面PAD，AD平面PAD，BC平面PAD又BC平面PBC，平面PAD平面PBC=l，BCl（2）结论：MN平面PAD证明：取CD的中点Q，连结

28、NQ，MQ，则NQPD，MQAD，又NQMQ=Q，PDAD=D，平面MNQ平面PAD又MN平面MNQ，MN平面PAD【点评】本题考查了线面平行的判定与性质，考查了面面平行的判定与性质，体现了线线、线面、面面平行关系的相互转化，要熟记相关定理的条件19一个圆锥的底面半径为2cm，高为6cm，其中有一个高为xcm的内接圆柱（1）求圆锥的侧面积；（2）当x为何值时，圆柱的侧面积最大？并求出最大值【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【专题】计算题；数形结合；函数思想；立体几何【分析】（1）求出圆锥的母线长，利用侧面积公式求解即可（2）由（1）由题意作出几何体的轴截面，根据轴截面和比例关系列出方程，求出圆

29、柱的底面半径，再表示出圆柱的侧面积；根据基本不等式求出侧面面积的最大值【解答】解：（1）母线长为：=（cm），所以圆锥的侧面积S=rl=4（cm2）（2）设所求的圆柱的底面半径为r，它的轴截面如图：由图得，=，即r=2S圆柱侧=2rx=2（2）x=4xx2=6当且仅当x=3时取等号，当圆柱的高为3cm时，它的侧面积最大为6cm2【点评】本题的考点是简单组合体的面积问题，关键是作出轴截面，求出长度之间的关系式，表示出面积后利用函数的思想求出最值，考查了数形结合思想和函数思想20如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中点（1）若正方体的棱长为1，求三棱锥B1A1BE的体积；（

30、2）在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F面A1BE？若存在，试确定点F的位置，并证明你的结论【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的性质【专题】综合题；转化思想；综合法；立体几何【分析】（1）利用等体积转换，即可求三棱锥B1A1BE的体积；（2）设AB1A1B=O，取C1D1中点F，连接OE、EB、B1F根据三角形中位线定理，得EFC1D且EF=C1D，平行四边形AB1C1D中，有B1OC1D且B1O=C1D，从而得到EFB1O且EF=B1O，四边形B1OEF为平行四边形，B1FOE，所以B1F平面A1BE，即存在C1D1中点F，使B1F平面A1BE【解答】解：（1）=（2）当点F为

31、C1D1中点时，可使B1F平面A1BE证明如下：C1D1D中，EF是中位线，EFC1D且EF=C1D，设AB1A1B=O，则平行四边形AB1C1D中，B1OC1D且B1O=C1D，EFB1O且EF=B1O，四边形B1OEF为平行四边形，B1FOEB1F平面A1BE，OE平面A1BE，B1F平面A1BE【点评】本题在正方体中，证明面面垂直并且探索线面平行的存在性，着重考查了正方体的性质、线面平行的判定，以及线面垂直、面面垂直的判定与性质、考查三棱锥B1A1BE的体积等知识，属于中档题21如图所示，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，E，F分别是BC，A1D1的中点（1）求证：四边形B1EDF为菱形；（2）求A1C与DE所成的角的余弦值【考点】异面直线及其所成的角；棱柱的结构特征【专题】计算题；证明题；转化思想【分析】（1）要证四边形B