不定积分解题中的若干技巧何志卿1

1、不定积分解题中的若干技巧何志卿（井冈山大学 数学系 江西 吉安 343009）指导老师 王丹华【摘 要】：给出了不定积分的三种常用求解方法，结合实例，讨论了这三种求解方法在求解不定积分时的若干技巧，对掌握求解不定积分的方法有一定的借鉴意义。【关键词】：不定积分；求解；技巧1 问题的提出数学分析是数学系大学生必修的基础理论课，其任务是使学生掌握逻辑思维方法和提高学生使用数学手段分析解决问题的能力，为后续的专业课提供数学工具和解决问题的手段。不定积分是积分学的基础，更关键的是，对不定积分理解的深浅、掌握的好坏，不仅直接关系到数学分析课程本身，而且还会影响相关课程的学习和掌握，对学习定积分、线积分、

2、面积分、重积分和有限元等知识都有重要意义。我们知道，在求一些函数的导数时，无论给定函数的表达式有多么复杂，我们总可以按照求导法则，按部就班地求出其导数。也许正是因为求导过程比较简捷明了，从而决定了它的逆过程即求不定积分的过程似乎变得复杂而烦琐，没有一个统一的法则可以遵循。但恰恰由于这种复杂性，也预示着不定积分解题中的技巧是灵活多变的，技巧性也是较强的。对不定积分求解方法进行归类处理，不仅使求解不定积分的方法条理清楚，而且有助于提高对不定积分概念的理解，激发学习兴趣，对学好微积分具有一定的参考价值。为此，本文正是对常规的不定积分求解方法进行了一些归纳探讨。2 不定积分求解的归类处理解不定积分的常

3、规方法有三种，即直接积分法（凑微分法）、换元法（第一、第二换元法）和分部积分法。这三种方法规定了不定积分方法的大方向，是进行不定积分运算的总原则。不定积分解题的灵活性和技巧性较强，积分方法种类繁多，但各种方法都是在这三种常规方法的基础之上进行改进和拓展而得。因此，熟练掌握常规的三种方法是求解不定积分的基础。三种方法的详细介绍及其论证可以参考文献，下文笔者仅对解不定积分的三种常规方法在具体运用中的若干技巧进行探讨。2.1 不定积分的直接积分法直接积分法通常也可以称之为凑微分法。直接积分法是建立在不定积分基本积分公式和不定积分线性运算法则（）之上的，求解不定积分的一般思路是：先将被积函数转化为若干

4、简单函数的和，然后应用不定积分的线性运算法则和不定积分基本积分公式来求解，这样做就是为了把复杂的不定积分化为简单的不定积分，把未知的不定积分化为已知的不定积分。例题 1 求下列不定积分： ； .解 分析：对于例题1中的，只要对要求的不定积分进行变形，直到可以简单地利用基本积分公式。 从上面两道例题看，用直接积分法求解不定积分，除了必须牢记基本积分公式，还要熟练掌握中学数学中的一些常用公式。在实际解题中要注意灵活运用基本积分公式，充分运用化归的思想方法。2.2 不定积分的换元积分法换元积分法分为第一换元积分法、第二换元积分法，第一换元积分法和第二换元积分法在数学形式上互成逆反，在实际使用时则以新

5、得的积分比原来的积分更易“积分”作为选择方式的原则。例题 2 求不定积分：.解 分析：对于例题2，理论上可以用直接积分法来求解，但其计算过程显然是非常繁琐的。这里采用换元积分法，计算过程就变得相对简单得多。因为,所以令得另外，要记住在结果中把原变量换回去。例题 3 求不定积分：解 分析：对于例题3，若采用第二换元积分法，新得出的积分，比原来的积分显然更易“积出”，而若采用第一换元积分法则过程相对复杂。令， .解题时应该选择更适合、更简单、更明确的方法，不要拘泥于某种方法。2.3 不定积分的分部积分法分部积分法适用的情形是被积函数是两类完全不同类型函数的乘积。在以往的学习中，笔者总结出了两种类型

6、的分部积分法：“降幂”分部积分法和“升幂”分部积分法。解不定积分时，通常以新得的积分比原来的积分更易“积分”作为选择方式的原则。“降幂”分部积分法 一般地，对于形如、的不定积分（其中是一个关于的次多项式），作如下处理：“令，再把被积函数中出现的指数函数、三角函数选为分部积分公式中的，进行分部积分，这样就能使多项式因式的次数逐渐降低。”这里不妨称之为“降幂”分部积分法。例题 4 求下列不定积分：； .解 令 . .“升幂”分部积分法一般地，对于形如、的不定积分（其中是一个关于的次多项式，为正整数），作如下处理：“令，为被积函数中的另一超越函数因子，进行分部积分，这样做后，在新的积分中，升幂为次的

7、多项式，就变为无理根式或有理分式。”这里不妨称之为“升幂”分部积分法。例题 5 求下列不定积分： ; 解 3 结 论由于积分的灵活性，求解不定积分切不可拘泥于某种解题方法，在任何时候积分的三个基本方法都是适用的，特别是直接积分法提供了简捷明快的直观方法，譬如：对于就需要直接积分而不能再用换元法或分步积分法（否则会变得更困难），而例题2中采用换元积分法就使计算过程变得相对简单。有时候一道题目可以采用这三种方法中的多种方法求解，有时候一道题目要同时运用多种方法求解。譬如：例题 6 求不定积分：.解 方法1 .方法1中采用了直接积分法. 方法2 .方法2中综合采用了直接积分法和换元积分法，这里换元的

8、过程：“”是一种非常实用的换元技巧. 方法3 .方法3中采用了分部积分法.不管采用何种方法，运用何种解题技巧，都是希望能更简单、更准确地求出所要求的不定积分，笔者在此所探讨的技巧，就是要充分体现化繁为简、化未知为已知的化归思想方法。熟练掌握这三种积分方法，带着化繁为简的数学思想灵活地运用，还能衍生出各类积分方法。参 考 文 献：1 孙立卓,孙辉.谈不定积分运算中的一些灵活性J.高等数学研究,2002,(5):4.2 华东师范大学数学系.数学分析M.北京:高等教育出版社,1992,.3 吉米多维奇.数学分析习题集题解Z.济南:山东大学出版社,1999, .4 化归思想方法在求不定积分中的运用J.

9、枣庄师范专科学校学报1996年03期Indefinite integral problem-solving skills in a number ofHeZhiqing(Jinggangshan University, Department of Mathematics, Jiangxi, Ji'an 343009)Instructor WangDanhuaAbstract: Gives the indefinite integral to solve the three commonly used methods, with examples, discuss the solution of these three time in the indefinite integral to sol