08年全国一卷数学

1、2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修）一、选择题1函数的定义域为（ ）ABCD2汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图像可能是（ ）stOAstOstOstOBCD3在中，若点满足，则（ ）ABCD4设，且为正实数，则（ ）A2B1C0D5已知等差数列满足，则它的前10项的和（ ）A138B135C95D236若函数的图像与函数的图像关于直线对称，则（ ）Ae2x-1Be2xCe2x+1D e2x+27设曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ）A2BCD8为得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）A向左平移个长度单位

2、B向右平移个长度单位C向左平移个长度单位D向右平移个长度单位9设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（ ）ABCD10若直线通过点，则（ ）ABCD11已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面内的射影为的中心，则与底面所成角的正弦值等于（ ）AB CD12如图，一环形花坛分成四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ）DBCAA96B84C60D48二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上（注意：在试题卷上作答无效）1313若满足约束条件则的最大值为 14已知抛物线的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三

3、个交点为顶点的三角形面积为 15在中，若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率 16等边三角形与正方形有一公共边，二面角的余弦值为，M、N分别是AC、BC的中点，则EM、AN所成角的余弦值等于 三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（本小题满分10分）设的内角所对的边长分别为a、b、c，且（）求的值；（）求的最大值18（本小题满分12分）四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，（）证明：；（）设与平面所成的角为，求二面角的大小CDEAB19（本小题满分12分）已知函数，（）讨论函数的单调区间；（）设函数在区间内是减函数，求的取值范围20（本小题满分12分）已知5

4、只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病下面是两种化验方法：方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验（）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；（）表示依方案乙所需化验次数，求的期望21（本小题满分12分）双曲线的中心为原点，焦点在轴上，两条渐近线分别为，经过右焦点垂直于的直线分别交于两点已知成等差数列，且与同向（）求双曲线的离心率；（）设被双曲

5、线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程22（本小题满分12分）设函数数列满足，（）证明：函数在区间是增函数；（）证明：；（）设，整数证明：2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修）参考答案一、选择题1、C2、A 3、A 4、D 5、C 6、B 7、D 8、A 9.D 10.D 11.B 12.B. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上13.答案：914. 答案：2.15.答案：.16.答案：.三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.解析：（）由正弦定理得a=acosB-bcosA=()c= = =依题设得

6、,解得tanAcotB=4(II)由（I）得tanA=4tanB，故A、B都是锐角，于是tanB>0tan(A-B)=，且当tanB=时，上式取等号，因此tan(A-B)的最大值为18解：(I)作AOBC，垂足为O，连接OD，由题设知，AO底面BCDE，且O为BC中点，由知，RtOCDRtCDE，从而ODC=CED，于是CEOD，由三垂线定理知，ADCE（II）由题意，BEBC，所以BE侧面ABC，又BE侧面ABE，所以侧面ABE侧面ABC。作CFAB，垂足为F，连接FE，则CF平面ABE故CEF为CE与平面ABE所成的角，CEF=45°由CE=，得CF=又BC=2，因而ABC

7、=60°，所以ABC为等边三角形作CGAD，垂足为G，连接GE。由（I）知，CEAD，又CECG=C，故AD平面CGE，ADGE，CGE是二面角C-AD-E的平面角。CG=GE=cosCGE=所以二面角C-AD-E为arccos()解法二：（I）作AOBC，垂足为O，则AO底面BCDE，且O为BC的中点，以O为坐标原点，射线OC为x轴正向，建立如图所示的直角坐标系O-xyz.设A（0,0,t），由已知条件有C(1,0,0), D(1,0), E(-1, ,0),所以，得ADCE（II）作CFAB，垂足为F，连接FE，设F（x,0,z）则=(x-1,0,z),故CFBE，又ABBE=B

8、，所以CF平面ABE，CEF是CE与平面ABE所成的角，CEF=45°由CE=，得CF=又CB=2，所以FBC=60°，ABC为等边三角形，因此A（0，0，）作CGAD，垂足为G，连接GE，在RtACD中，求得|AG|=|AD|故G又所以的夹角等于二面角C-AD-E的平面角。由cos()=知二面角C-AD-E为arccos()（19）解：（）f´(x)=3x2+2ax+1，判别式=4(a2-3)（i）若a>或a<，则在上f´(x)>0，f(x)是增函数； 在 内f´(x)<0，f(x)是减函数； 在上f´(x)

9、>0，f(x)是增函数。（ii）若<a<，则对所有xR都有f´(x)>0，故此时f(x)在R上是增函数。（iii）若a=，则f´()=0，且对所有的x都有f´(x)>0，故当a=时，f(x)在R上是增函数。（）由（）知，只有当a>或a<时，f(x)在内是减函数。因此 且当|a|>时，由、解得a2 因此a的取值范围是2,+）。（20）解：记A1、A2分别表示依方案甲需化验1次、2次， B1、B2分别表示依方案乙需化验2次、3次， A表示依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数。依题意知A2与B2独立。（） ，。

10、P()=P(A1+A2·B2) =P(A1)+P(A2·B2) =P(A1)+P(A2)·P(B2) = =所以 P(A)=1-P()=0.72（）的可能取值为2，3. P(B1)=，P(B2)=，P(=2)=P(B1)=，P(=3)=P(B2)= ，所以E=（次）。（21）解：（）设双曲线方程为(a>0,b>0)，右焦点为F(c,0)(c>0)，则c2=a2+b2不妨设l1：bx-ay=0，l2：bx+ay=0则，。因为2+2=2，且 =2-，所以2+2=(2-)2，于是得tanAOB=。又与同向，故AOF=AOB，所以解得tanAOF=，或t

11、anAOF=-2（舍去）。因此。所以双曲线的离心率e=（）由a=2b知，双曲线的方程可化为 x2-4y2=4b2 由l1的斜率为，c=b知，直线AB的方程为 y=-2(x-b) 将代入并化简，得 15x2-32bx+84b2=0设AB与双曲线的两交点的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，则 x1+x2=，x1·x2= AB被双曲线所截得的线段长 l= 将代入，并化简得l=，而由已知l=4，故b=3，a=6所以双曲线的方程为22、解：（I）当0<x<1时f(x)=1-lnx-1=-lnx>0所以函数f(x)在区间（0,1）是增函数，（II）当0<x<

12、1时，f(x)=x-xlnx>x又由（I）有f(x)在x=1处连续知，当0<x<1时，f(x)<f(1)=1因此，当0<x<1时，0<x<f(x)<1 下面用数学归纳法证明： 0<an<an+1<1 (i)由0<a1<1, a2=f(a1)，应用式得0<a1<a2<1，即当n=1时，不等式成立(ii)假设n=k时，不等式成立，即0<ak<ak+1<1则由可得0<ak+1<f(ak+1)<1，即0<ak+1<ak+2<1故当n=k+1时，不等式也成立综合(i)(ii)证得：an<an+1<1(III)由（II）知，an逐项递增，故若存在正整数mk,