高数极限（课堂PPT）

1、结束结束.2 微积分学乃至分析数学的基本概念之一，用于描述变量在某一变化过程中的变化趋势。完完 极限的朴素思想和应用可追溯到古代，中国早在2000年前就已能算出方形、圆形、圆柱等几何图形的面积和体积，3 世纪刘徽创立的割圆术，就是用圆内接正多边形面积的极限是圆面积这一思想来近似计算圆周率的。.3第二章 极限本章学习要求：了解数列极限和函数极限的概念，在后面内容的学习中逐步加深对极限思想的理解。 掌握函数极限存在与左右极限之间的关系，了解函数极限的性质，了解极限存在的两个准则：夹逼准则和单调有界准则 。 掌握极限的四项运算法则，会用两个重要极限求极限。理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量阶

2、的比较，会用等价无穷小量求极限。 第二节第二节 函数的极限函数的极限的极限时一 )( , .xfx的极限时二 )( , .0 xfxx 的左、右极限时四 )( , .0 xfxx 函数极限的性质三 .5有时使当若 , , 0 , 0XxX , , )( ,极限存在时当则称函数成立xxf , )(limaxfx | )( |axf的极限函数时 )( , . 1xfx . )( )( xaxf或记为记为为其极限值常数 , a想想：如何从几何的角度来表示该定义？ )( |)(|axfaaxf.6的几何意义 )(limaxfxOxyay ay ayX)(xfy , )( , 即函数的图时当axfaXx

3、 . 之间和形夹在两条平行线ayay.7Oxyay ay ayXX)(xfy . , 函数的极限时我们将得到x.8有时使当若 , , 0 , 0XxX , , )( ,极限存在时当则称函数成立xxf , )(limaxfx | )( |axf的极限函数时 )( , . 2xfx . )( )( xaxf或记为记为为其极限值常数 , a . )(lim )(lim的情形类似的几何意义与axfaxfxx.9Oxyay ay ayXX)(xfy 现在从整体上来看这个图形现在从整体上来看这个图形 , , 你有什么想法你有什么想法? ? 0 |XxXxXx或Oxyay ay ayXX)(xfy 你能否由

4、此得出 一个极限的定义 和一个重要的定理. 0 |XxXxXx或 现在从整体上来看这个图形现在从整体上来看这个图形 , , 你有什么想法你有什么想法? ?.11有时使当若 , | , 0 , 0XxX , , )( ,极限存在时当则称函数成立xxf , )(limaxfx | )( |axf的极限函数时 )( , . 3xfx . )( )( xaxf或记为记为为其极限值常数 , a.12由于 | x | X 0 x X 或 x X,所以, x 按绝对值无限增大时,又包含了 x 的情形.既包含了 x +,.13 . )(lim)(lim )(limaxfxfaxfxxx及极限的三个定义即可证明

5、该定理. 0)( | XXxXxXx或由绝对值关系式:.14. 2121lim 33xxx证明：证证 , 0 , 2121 33xx要 , |21 3x即要 , 21 | 3x即 , | , 21 3有时则当故取XxX 2121 33xx成立. 由极限的定义可知:. 2121lim 33xxx例例1 1.15 . 11)( 2时的极限当讨论函数xxxf解2211 , 1 , | xxx此时也无限增大无限增大时当无限缩小, 可以小于任意小的正数 . 因而应该有 . 011lim2xx下面证明我们的猜想:要由极限的定义 , 0 , , 11 11 011 222xxx ,11 2x即要 . 11

6、, 0 , 1 2显然成立则时当xx . 11 , 11 | , 1 2成立时时当xx证 明 过 程怎么写？例例2.16则当取不妨设 , 11 , ) 10 ( 0X有时 , |Xx ,11 11 011 222xxx . 011lim :2xx故由极限的定义可知 这里想得通吗？ , )( 0 的接近程度的与是用来描述由于axf . , 某个正数它小于设故可以在一开始时就假小且它的值可以取得任意.17 . lim 不存在证明xxxxxeeee , 111limlim 22xxxxxxxxeeeeee , 111limlim 22xxxxxxxxeeeeee , limlim xxxxxxxxx

7、xeeeeeeee由于 . lim 不存在故xxxxxeeee例例2 2证证.18 . arctan lim 不存在证明xx22yxyarctanx由图容易看出：分析 , 2arctanlimxx , 2arctanlimxx . arctan lim 不存在由定理可知：xx 需要证明之处 请同学们 自己证一下.例例2.19的极限时二 )( , .0 xfxx x x0 时函数的极限, 是描述当 x 无限接近 x0 时, 函数 f (x)的变化趋势.20 . 112)( , 0 xxfx时当 f ( x ) 在点 x0= 0 处有定义.11)( , 1 3xxxfx时当 函数 f ( x )

8、在点 x0= 1 处没有定义. . 312 xx例例3.21无限只考虑有无定义在必考虑 , )( 0 xxxxf的变化函数时即接近 )( , ) ,(U , 00 xfxxx是否成立。趋势，即不等式 |)(| axf我们不这类极限过程时在讨论 , 0 xx .22的极限函数时 )( , . 10 xfxx , | 0 , 0 , 00时当若xx |)(|axf , )( , 0时的极限当为函数则称成立xxxfa . )( )( )(lim 00 xxaxfaxfxx或记为 : , 需要考察的是就是说 , , 0去心邻域时的落在点当轴上在xxx ) )( ( , 是否落在点对应点轴上在xfyyy

9、 . 邻域内的a.23Oxyay ay ay0 x()(xfy xy(),(U0 xx) ,U(ay0 x0 x的几何解释 )(lim0axfxxP.24 . lim 00 xxxx证明证证 , 0 |0 xx . lim , 00 xxxx故成立例例4 ,|0,0时则当取xx.25 . 82)4(2lim 22xxx证明证 , 0 , )8(2)4(2 2xx要 | )2(|2 |2|2|8)2(2| xxx只要 , | )2(| 0 , 2 有时则当故取x , )8(2)4(2 2xx . 82)4(2lim 22xxx即2x例例5.26证 . 311lim 31xxx证明 , 0 , 3

10、11 3xx要 , | 1|2| |2| |31| 22xxxxxx只要？如何处理它如何处理它例例6.27 这里 | x + 2 | 没有直接的有界性可利用, 但又必须设法去掉它. 因为 x 1, 所以, 从某时候开始 x 应充分地接近 1 .( )0 x211 11+ 14|2|x1 1取分析分析结论1 | 1| 0 x.28证 . 311lim 31xxx证明 , 0 , 311 3xx要 , | 1|2| |2| |31| 22xxxxxx只要 , | 1|4| 1|2| 311 3xxxxx于是 , | 1| 0 , 4 , 1 min 有时则当取x . 311 3xx证毕 , ) 1

11、 , 1 (U , 1 , 1 1此时必有时当令xx , 4 |2| x例例6.291) 与 和 x0 有关, 即 = ( , x0). 一般说来, 值越小, 相应的 值也越小. 2) 不等式 | f (x)a | 0 , 同 时也要对 x x0 以任何方式进行都成立.3) 函数 f (x) 以 a 为极限, 但函数 f (x) 本身可以 不取其极限值 a.30y = a y = a y = axOyx0 x0 x0 + )(xfy 曲线只能从该矩形的左右两边穿过极限的几何意义函数时 )( , . 20 xfxx .31在以后的叙述中, 如果函数 f ( x ) 极限的某种性质与运算对任何一种

12、极限过程均成立 , 则将使表示对任意一种极限过程的函数用符号)(limxf极限. 函数极限的性质与数列极限的性质类似, 我们只列举出来, 其证明过程请同学们自己看书.322.有界性定理 若 lim f ( x ) 存在, 则函数 f ( x ) 在该极限过程中必有界.1.唯一性定理 若 lim f ( x ) 存在, 则极限值必唯一.3.保号性定理 极限值的正负与函数值正负的关系 函数值的正负与极限值正负的关系.33 极限值的正负与函数值正负的关系 ),0( 0 ,)(lim 0aaaxfxx若。有)0)( 0)( xfxf ),0( 0 ,)(lim aaaxfx若,0 0X则 ,D | 0

13、时且当fxXx。有)0)( 0)( xfxf 该定理也称为第一保号性定理 , )(U 0 x则 , )(U 0时当fDxx.34极限值正负与函数值正负关系的推论 ),( ,)(lim 0cacaaxfxx若 , )(U 0 x则 , )(U 0时当fDxx。有)( )( cxfcxf ),( ,)(lim cacaaxfx若,0 0X则 ,D | 0时且当fxXx。有)( )( cxfcxf.35 函数值的正负与极限值正负的关系 ),(U ),0)( , 0)( 0 xxxfxf若 , )(lim 0axfxx且。则必有)0( 0 aa 该定理也称为第二保号性定理 , 0| ),0)( , 0

14、)( rxxfxf若。则必有)0( 0 aa , )(lim axfx且.36第二保号性定理成立.运用反证法, 设 f ( x ) 0 ( f ( x ) 0 ) 时,有 a 0 ), 则由第一保号性定理将推出 f ( x ) 0) 的矛盾, 该矛盾就证明了.37注意:当 f ( x ) 0 ( f ( x ) 0 ) 时,按照第二保号性定理也只能得到a 0 ( a 0 ) 结论. . 01lim , 01)( ,1 :xxxfxx而时例如.38考虑两个问题.39Oxyay ay ay0 x()(xfy (0 x0 x的几何解释 )(lim0axfxx(.40y = a y = a y = a

15、xOyx0 x0 + )(xfy 函数在 x0 的左边可以无定义想想这种情形下, 函数有极限吗 ? 如何描述这种情形？.41想想这种情形下, 函数有极限吗 ?y = a y = a y = axOyx0 x0 )(xfy 函数在 x0 的右边可无定义 如何描述这种情形？.42, 0 , 0 , 00时当若xx |)(| axf记为右极限 ,时的当为则称成立 )( ,0 xxxfa )(lim0axfxx .)0( 0axf也可记为, )( )( 0 xxaxf或右极限函数的左 时,四、0 xx .43, 0 , 0 , 00时当若xx |)(| axf记为左极限 ,时的当为则称成立 )( ,0

16、 xxxfa )(lim0axfxx .)0( 0axf也可记为, )( )( 0 xxaxf或.44(1) 左、右极限均存在, 且相等；(2) 左、右极限均存在, 但不相等；(3) 左、右极限中至少有一个不存在.找找例题！ 函数在点 x0 处的左、右极限可能出现以下三种情况之一：.45111211)( 2xxxxxxf求)(lim1xfx)(lim1xfxy = f (x)xOy1121在 x = 1 处的左、右极限.1lim21xx0) 1(lim1xx解例例7.46y = a y = a y = axOyx0 x0 + y = a y = a y = aOyx0 x0 )(xfy 对此有

17、什么想法没有？.47axfxx)(lim0axfxfxxxx)(lim)(lim00 利用 0| x x0| x x00 或0 x x0 和极限的定义, 即可证得.48。求设 )(lim ,1, 11, 1)( 12xfxxxxxfx2) 1(lim)(lim 211xxfxx2) 1(lim)(lim11xxfxx2)(lim 1xfx解例例8.49 . |lim 0 xxx求|lim 0 xxx|lim0 xxx)(lim)(lim00 xfxfxx . |lim 0不存在xxxxxx0lim11lim0 xxxx0lim1) 1(lim0 x解例例9.50例例10 . | | )(|li

18、m ,)(lim :00axfaxfxxxx则若证明证证, 0 , 0 , ,)(lim 0所以因为axfxx , | 0 0有时当xx |)(|axf | | | )(| |axf , 得故由极限的定义 . | | )(|lim 0axfxx ?立该命题的逆命题是否成情形也成立。的 对x.51思考与练习思考与练习1. 若极限)(lim0 xfxx存在,)()(lim00 xfxfxx2. 设函数)(xf且)(lim1xfx存在, 则. a是否一定有1, 121,2xxxxa？.52三、极限定义及定理小结三、极限定义及定理小结.53 极限定义一览表目标不等式过 程 描 述度 量 极限形式axnnlimaxfx)(limaxfx)(limaxfx)(limaxfxx)(lim0axfxx)(lim0axfxx)(lim00000000时当 , 0NnN时当 | , 0XxX时当 , 0XxX时当 , 0XxX时当 |0 , 00 xx时当 0 , 00 xx时当 0,