第六章(上课) 运筹学动态规划04修改

1、(Dynamic programming)1一、多阶段决策问题一、多阶段决策问题二、动态规划的基本概念二、动态规划的基本概念三、动态规划的基本思想三、动态规划的基本思想四、动态规划递推求解方法四、动态规划递推求解方法五、动态规划的最优性原理五、动态规划的最优性原理六、动态规划问题应用举例六、动态规划问题应用举例2概述1951年Bellman提出，1957动态规划动态规划动态规划是解决多阶段决策问题的一种数学方法。动态规划思想动态规划思想：把多阶段决策问题变换为一系列互相联系的单阶段问题，然后逐个加以解决。即：把一个n 维决策问题变换为几个一维最优化问题，从而一个一个地去解决。需指出需指出：动态

2、规划是求解某类问题的一种方法，是考察问题的一种途径，而不是一种算法。必须对具体问题进行具体分析，运用动态规划的原理和方法，建立相应的模型，然后再用动态规划求解方法去求解。应用应用：最短路线、资源分配、生产调度问题3一、多阶段决策问题多阶段决策过程多阶段决策过程 一类活动过程，可以按照时间进程分为状态相互联系而又相互区别的各个阶段；每个阶段都要进行决策,目的是使整个过程的决策达到最优效果。多阶段决策问题的特点多阶段决策问题的特点（1）系统所处的状态和时刻是进行决策的重要因素，即在系统发展的不同时刻（或阶段）根据系统所处的状态，不断地做出决策；（2）目的是找到不同时刻的最优决策以及整个过程的最优策

3、略。412n状态状态1 1决策决策1 1状态状态2 2决策决策2 2状态状态3 3状态状态n n决策决策n n多阶段决策问题的典型例子：多阶段决策问题的典型例子： 1 . 1 . 生产决策问题生产决策问题：企业在生产过程中，由于：企业在生产过程中，由于需求是随时间变化的，因此企业为了获得全年的最需求是随时间变化的，因此企业为了获得全年的最佳生产效益，就要在整个生产过程中逐月或逐季度佳生产效益，就要在整个生产过程中逐月或逐季度地根据地根据库存和需求库存和需求决定决定生产计划生产计划。 2. 2. 机器负荷分配问题机器负荷分配问题：某种机器可以在高低两：某种机器可以在高低两种不同的负荷下进行生产。

4、在高负荷下进行生产时，种不同的负荷下进行生产。在高负荷下进行生产时，产品的年产量产品的年产量g和投入生产的机器数量和投入生产的机器数量u1的关系为的关系为g=g(u1)5 这时，机器的年完好率为这时，机器的年完好率为a，即如果年初完好机，即如果年初完好机器的数量为器的数量为u，到年终完好的机器就为，到年终完好的机器就为au, 0a1。 在低负荷下生产时，产品的年产量在低负荷下生产时，产品的年产量h和投入生产和投入生产的机器数量的机器数量u2的关系为的关系为 h=h(u2) 假定开始生产时完好的机器数量为假定开始生产时完好的机器数量为s s1 1。要求制。要求制定一个五年计划，在定一个五年计划，

5、在每年开始时，决定如何重新每年开始时，决定如何重新分配分配完好的完好的机器在两种不同的负荷下生产的量机器在两种不同的负荷下生产的量，使在五年内产品的总产量达到最高。使在五年内产品的总产量达到最高。 相应的机器年完好率相应的机器年完好率b b, 0 , 0 b b11k1）从第从第1 1阶段开始到第阶段开始到第n n阶段结束称为阶段结束称为全策略全策略 P P1 1, ,n n所有策略当中有最优值的策略称为所有策略当中有最优值的策略称为最优策略最优策略。17（5）状态转移方程状态转移方程：确定过程由一个状态到另一个状状态转移方程：确定过程由一个状态到另一个状态的演变过程，描述了状态转移规律。态的

6、演变过程，描述了状态转移规律。18Tk为状态转移函数为状态转移函数),(),(),(221112211231112kkkkusususTsususTsusTs 图示如下：图示如下：状态转移方程是确定状态转移方程是确定过程由一个状态到另过程由一个状态到另一个状态的演变过程。一个状态的演变过程。如果第如果第k阶段状态变量阶段状态变量sk的值、该阶段的决策的值、该阶段的决策变量一经确定，第变量一经确定，第k+1阶段状态变量阶段状态变量sk+1的值的值也就确定。也就确定。其状态转移方程如下（一般形式）其状态转移方程如下（一般形式）12ks1u1s2u2s3skuksk+1 能用动态规划方法求解的多阶段

7、决策过程是一类能用动态规划方法求解的多阶段决策过程是一类特殊的多阶段决策过程，即特殊的多阶段决策过程，即具有无后效性具有无后效性的多阶段的多阶段决策过程。决策过程。19),(),(),(122231112kkkkusTsusTsusTs 动态规划中能动态规划中能处理的状态转移处理的状态转移方程的形式方程的形式。状态具有无后效性的多阶段决策过程的状态转移方程如下：状态具有无后效性的多阶段决策过程的状态转移方程如下： 如果某阶段状态给定后，则在这个阶段以后过程的发展不受这个阶段以如果某阶段状态给定后，则在这个阶段以后过程的发展不受这个阶段以前各段状态的影响；前各段状态的影响； 过程的过去历史只能通

8、过当前的状态去影响它未来的发展；过程的过去历史只能通过当前的状态去影响它未来的发展； 构造动态规划模型时，要充分注意是否满足无后效性的要求；构造动态规划模型时，要充分注意是否满足无后效性的要求； 如果状态变量不能满足无后效性的要求，应适当地改变状态的定义或规如果状态变量不能满足无后效性的要求，应适当地改变状态的定义或规定方法。定方法。20（6）指标函数和最优值函数用来衡量所实现过程优劣的一种数量指标，为用来衡量所实现过程优劣的一种数量指标，为指标指标函数函数。v vk k(s(sk k,u,uk k) ) 表示第表示第k k阶段位于阶段位于s sk k状态、决策为状态、决策为u uk k的指的

9、指标值。标值。 21l在不同的问题中，指标函数的含义是不同的，它在不同的问题中，指标函数的含义是不同的，它可能是距离、利润、成本、产量或资源消耗等。可能是距离、利润、成本、产量或资源消耗等。l最短路问题中最短路问题中v vk,nk,n表示第表示第k k阶段由点阶段由点s sk k到终点到终点G G的最的最短距离短距离l动态规划的指标函数应具有可分离性，并满足递动态规划的指标函数应具有可分离性，并满足递推关系式，推关系式， 函数记为：函数记为：指标函数的形式： l和和 l积积最优值函数l指标函数的最优值，称为指标函数的最优值，称为最优值函数最优值函数。表示从第。表示从第k k阶段的状态阶段的状态

10、s sk k开始到第开始到第n n阶段的终止状态的过程，阶段的终止状态的过程，采取最优策略所得到的指标函数值。记为采取最优策略所得到的指标函数值。记为l“opt” optimization, min , maxopt” optimization, min , max25),()(1,fsusVoptsnkknkkkuunk小结小结: :方程方程 : :状态转移方程状态转移方程),(1kkkkusTs概念概念 : : 阶段变量阶段变量k k状态变量状态变量s sk k决策变量决策变量u uk k允许决策集合允许决策集合D Dk k(s(sk k) )、最优策略、最优策略; ;动态规划本质上是多阶

11、段决策过程动态规划本质上是多阶段决策过程; ;要求：无后效性要求：无后效性),()(1,susVoptsfnkknkkkuunk),(,111,1nkknkkkksusVus指标指标: : ),(111,nkkkknknksususVV 效益效益),(111,nkkkknksususV可递推可递推27,*2*1nuuu解多阶段决策过程问题，求出解多阶段决策过程问题，求出 最优策略最优策略，即最优，即最优决策序列决策序列 susvoptsfnkknkkkuunk1, f1(s1) 最优目标函数值最优目标函数值),(*1*1*,1*,1nnnnususVV从从 k 到终点最优策略到终点最优策略子策

12、略的最优目标函数值子策略的最优目标函数值285()0fEk=4411()5fDDE422()2fDDE三. 动态规划的基本思想BACBDBCDEC21231231251121410610413121139658105231141311131242(,)()35()minmin8,(,)()92d C DfDf CCDd C DfD413222426()65()minmin7,5()52fDf CCDfD413332428()85()minmin12,10()102fDf CCDfDk=3BACBDBCDEC21231231251121410610413121139658105221131212

13、12321121333( ,)()12 8( )min( ,)()min 14 720,( ,)()10 12d B Cf Cf Bd B Cf CBCd B Cf C313233()8()7()12f Cf Cf Ck=2BACBDBCDEC212312312511214106104131211396581052BACBDBCDEC21231231251121410610413121139658105231223221336()68()min 10()min 10714,4()4 12f CfBf CBCf C312332323313()138()min 12()min 12719,11()

14、11 12f CfBf CBCf C313233()8()7()12f Cf Cf C211222232()220( )min 5()min 5 1419,1()1 19fBf AfBABfB212223()20()14()19fBfBfB211ABCDEk=1最优路径为最优路径为最短距离为最短距离为19最优解（标号法）最优解（标号法）BACBDBCDEC212312312511214106104131211396581052052871220141819动态规划的基本方程K阶段与阶段与k+1阶段递推关系阶段递推关系边界条件边界条件动态规划基本思想： 2、在多阶段决策过程中，动态规划方法是既把

15、当、在多阶段决策过程中，动态规划方法是既把当前一段和未来一段分开，又把当前效益和未来效前一段和未来一段分开，又把当前效益和未来效益结合起来考虑的一种最优化方法。因此，每段益结合起来考虑的一种最优化方法。因此，每段决策的选取是从全局来考虑的，与该段的最优选决策的选取是从全局来考虑的，与该段的最优选择答案一般是不同的。择答案一般是不同的。 3、在求整个问题的最优策略时，由于初始状态是、在求整个问题的最优策略时，由于初始状态是已知的，而每段的决策都是该段状态的函数，故已知的，而每段的决策都是该段状态的函数，故最优策略所经过的各段状态便可逐段变换得到，最优策略所经过的各段状态便可逐段变换得到，从而确定

16、了最优路线。从而确定了最优路线。37四、动态规划递推求解方法建立动态规划模型步骤建立动态规划模型步骤静态规划与动态规划的关系静态规划与动态规划的关系求解方法求解方法逆推解法逆推解法顺推解法顺推解法381 1、划分阶段、划分阶段k k划分阶段是运用动态规划求解多阶段决策问题的第划分阶段是运用动态规划求解多阶段决策问题的第一步，在确定多阶段特性后，按时间或空间先后顺一步，在确定多阶段特性后，按时间或空间先后顺序，将过程划分为若干相互联系的阶段。对于静态序，将过程划分为若干相互联系的阶段。对于静态问题要人为地赋予问题要人为地赋予“时间时间”概念，以便划分阶段。概念，以便划分阶段。 2 2、正确选择状

17、态变量、正确选择状态变量s sk k选择变量既要能确切描述过程演变又要满足选择变量既要能确切描述过程演变又要满足无后效无后效性性，而且各阶段状态变量的取值能够确定。一般地，而且各阶段状态变量的取值能够确定。一般地，状态变量的选择是从过程演变的特点中寻找。状态变量的选择是从过程演变的特点中寻找。 建立动态规划模型的步骤 393 3、确定决策变量、确定决策变量u uk k(s(sk k) )及允许决策集合及允许决策集合D Dk k(s(sk k) )通常选择所求解问题的关键变量作为决策变量，同通常选择所求解问题的关键变量作为决策变量，同时要给出决策变量的取值范围，即确定允许决策集时要给出决策变量的

18、取值范围，即确定允许决策集合。合。 4 4、确定状态转移方程、确定状态转移方程根据根据k k阶段状态变量和决策变量，写出阶段状态变量和决策变量，写出k+1k+1阶段状态阶段状态变量，状态转移方程应当具有递推关系。变量，状态转移方程应当具有递推关系。 s sk+1k+1=T=Tk k(s(sk k,u,uk k) T) Tk k 函数关系函数关系405 5、确定阶段指标函数和最优指标函数，建立动态规划、确定阶段指标函数和最优指标函数，建立动态规划基本方程基本方程 阶段指标函数是指第阶段指标函数是指第k 阶段的收益，最优指标函数是阶段的收益，最优指标函数是指从第指从第k 阶段状态出发到第阶段状态出

19、发到第n 阶段末所获得收益的最优阶段末所获得收益的最优值，最后写出动态规划基本方程。值，最后写出动态规划基本方程。f k (sk ) = Opt Vk (sk ,uk ) + f k+1 (s k+1) fn+1 (s n+1 ) = 0 Opt 最优化（最优化（max,min）41 以上五步是建立动态规划数学模型的一般步骤。以上五步是建立动态规划数学模型的一般步骤。由于动态规划模型与线性规划模型不同，动态规由于动态规划模型与线性规划模型不同，动态规划模型没有统一的模式，建模时必须根据具体问划模型没有统一的模式，建模时必须根据具体问题具体分析，只有通过不断实践总结，才能较好题具体分析，只有通过

20、不断实践总结，才能较好掌握建模方法与技巧。掌握建模方法与技巧。 f1(s1) 是整个问题的最优策略，最优值。是整个问题的最优策略，最优值。f k(sk) 表示从第表示从第k阶段（状态阶段（状态sk）到终点的）到终点的最优最优指标值指标值。（距离、利润、成本等。（距离、利润、成本等） 42静态规划与动态规划的关系43静态规划静态规划（与时间无关）（与时间无关）动态规划动态规划时间时间逆推解法与顺推解法应用条件：应用条件：当初始状态给定时，用逆推比较方便当初始状态给定时，用逆推比较方便当终止状态给定时，用顺推比较方便当终止状态给定时，用顺推比较方便44逆序解法基本方程45思考：顺序解法基本方程思考

21、：顺序解法基本方程顺序解法基本方程重新定义：重新定义：递推关系：递推关系：边界条件：边界条件：五、动态规划最优性（最优化）原理和最优性定理47 最优性原理：作为整个过程的最优策略具有这样的性最优性原理：作为整个过程的最优策略具有这样的性质：无论过去的状态和决策如何，相对于前面的决策质：无论过去的状态和决策如何，相对于前面的决策所形成的状态而言，余下的决策序列必然构成最优子所形成的状态而言，余下的决策序列必然构成最优子策略。策略。”也就是说，一个最优策略的子策略也是最优也就是说，一个最优策略的子策略也是最优的。的。 CABDEFGHJI3682371572643当前当前过去过去未来未来返回返回4

22、8最优性定理若一个问题有最优策略，则该问题的最优值若一个问题有最优策略，则该问题的最优值函数可用动态规划的基本方程来表示函数可用动态规划的基本方程来表示六、动态规划优缺点 （1）能够得到全局最优解）能够得到全局最优解 （2）可以得到一族最优解）可以得到一族最优解 （3）能够利用经验提高求解效率）能够利用经验提高求解效率49（1）没有统一的）没有统一的标准模型标准模型，也没有，也没有构造模型的通构造模型的通用方法用方法，甚至没有判断一个问题能否构造动态规，甚至没有判断一个问题能否构造动态规划模型的具体准则划模型的具体准则（2）求解时存在）求解时存在维数灾难维数灾难缺点：缺点：优点：优点：七、动态

23、规划问题应用举例最短路径问题资源分配问题生产计划问题50例一、从例一、从A 地到地到D 地要铺设一条煤气管道地要铺设一条煤气管道,其中需经过其中需经过两级中间站，两点之间的连线上的数字表示距离，如两级中间站，两点之间的连线上的数字表示距离，如图所示。问应该选择什么路线，使总距离最短？图所示。问应该选择什么路线，使总距离最短？ AB1B2C1C2C3D24333321114（一）最短路径问题（一）最短路径问题51 解：整个计算过程分三个阶段，从最后一个阶段开始。解：整个计算过程分三个阶段，从最后一个阶段开始。 第三阶段（第三阶段（C D）：）： C 有三条路线到终点有三条路线到终点D 。 AB1

24、B2C1C2C3D24333321114DC1C2C3显然有显然有 f3 (C1 ) = 1 ； f3(C2 ) = 3 ； f3 (C3 ) = 4 52基本方程逆序解法基本方程逆序解法 d( B1,C1 ) + f3 (C1 ) 3+1 f2 ( B1 ) = min d( B1,C2 ) + f3 (C2 ) = min 3+3 d( B1,C3 ) + f3 (C3 ) 1+4 4 = min 6 = 4 5第二阶段（第二阶段（B C）：）： B 到到C 有六条路线。有六条路线。AB1B2C1C2C3D24333321114DC1C2C3B1B2(最短路线为最短路线为B1C1 D)53

25、 d( B2,C1 ) + f3 (C1 ) 2+1 f2 ( B2 ) = min d( B2,C2 ) + f3 (C2 ) = min 3+3 d( B2,C3 ) + f3 (C3 ) 1+4 3 = min 6 = 3 5AB1B2C1C2C3D24333321114DC1C2C3B1B2(最短路线为最短路线为B2C1 D)54第一阶段（第一阶段（ A B ）：）： A 到到B 有二条路线。有二条路线。 f1(A)1 = d(A, B1 ) f2 ( B1 ) 246 f1 (A)2 = d(A, B2 ) f2 ( B2 ) 437 f1 (A) = min = min6,7=6d

26、(A, B1 ) f2 ( B1 )d(A, B2 ) f2 ( B2 )(最短路线为最短路线为AB1C1 D)AB1B2C1C2C3D24333321114DC1C2C3B1B2A55AB1B2C1C2C3D24333321114DC1C2C3B1B2A最短路线为最短路线为 AB1C1 D 路长为路长为 656顺序解法57AB1B2C1C2C3D24333321114Dijkstra（狄克斯拉）标号法从起点vs开始，逐步给每个结点vj标号dj，vi，其中dj为起点vs到vj的最短距离，vi为该最短路线上的前一节点。58AB1B2C1C2C3D24333321114例题：59ABDFHCEG4

27、566536813576求求A到到H的最短路径的最短路径?资源分配问题就是将一定数量的一种或若干种资资源分配问题就是将一定数量的一种或若干种资源（原材料、资金、设备等）合理分配给若干使用者，源（原材料、资金、设备等）合理分配给若干使用者，使得资源分配后总结果最优。一种资源的分配问题称使得资源分配后总结果最优。一种资源的分配问题称为一维资源分配问题，两种资源的分配问题称为二维为一维资源分配问题，两种资源的分配问题称为二维资源分配问题。资源分配问题。 （二）资源分配问题（二）资源分配问题60假设有一种资源，数量为假设有一种资源，数量为a a，将其分配给，将其分配给n n个使用者，个使用者，分配给第

28、分配给第i个使用者数量个使用者数量xi时，相应的收益为时，相应的收益为gi（xi），），问如何分配使得总收入最大？这就是一维资源分配问题，问如何分配使得总收入最大？这就是一维资源分配问题，该问题的数学模型为：该问题的数学模型为：这是一个静态规划问题，应用动态规划方法求解时这是一个静态规划问题，应用动态规划方法求解时人为赋予时间概念，将其看作是一个多阶段决策问题。人为赋予时间概念，将其看作是一个多阶段决策问题。 nixaxxxxgxgxgzinnn, 2 , 1 0 )()()( max21221161按变量个数划分阶段，按变量个数划分阶段，k=1，2，n；设决策变量设决策变量uk=xk，表示分

29、配给第表示分配给第k个使用者的资源数量；个使用者的资源数量；设状态变量为设状态变量为sk，表示分配给第表示分配给第k个至第个至第n个使用者的总个使用者的总资源数量；资源数量；状态转移方程：状态转移方程：sk+1=skxk，其中其中s1=a；允许决策集合：允许决策集合：Dk（sk）=xk| |0 xksk阶段指标函数：阶段指标函数：vk（sk，uk）=gk（xk）表示分配给第表示分配给第k个使用者数量个使用者数量xk时的收益；时的收益；62最优指标函数最优指标函数fk（sk）表示以数量表示以数量sk的资源分配给第的资源分配给第k个个至第至第n个使用者所得到的最大收益，则动态规划基本方个使用者所得

30、到的最大收益，则动态规划基本方程为：程为：由后向前逐段递推，由后向前逐段递推，f1（a）即为所求问题的最大收益即为所求问题的最大收益。0)(1 , )()(max)(11110nnkkkksxkksfnksfxgsfkk63按变量个数划分阶段，按变量个数划分阶段，k=1，2，n；设决策变量设决策变量uk=xk，表示分配给第表示分配给第k个使用者的资源数量；个使用者的资源数量；设状态变量为设状态变量为sk，表示分配给第表示分配给第k个至第个至第n个使用者的总个使用者的总资源数量；资源数量；状态转移方程：状态转移方程：sk+1=skxk，其中其中s1=a；允许决策集合：允许决策集合：Dk（sk）=

31、xk| |0 xksk阶段指标函数：阶段指标函数：vk（sk，uk）=gk（xk）表示分配给第表示分配给第k个使用者数量个使用者数量xk时的收益；时的收益；最优指标函数最优指标函数fk（sk）表示以数量表示以数量sk的资源分配给第的资源分配给第k个个至第至第n个使用者所得到的最大收益，则动态规划基本方个使用者所得到的最大收益，则动态规划基本方程为：程为：由后向前逐段递推，由后向前逐段递推，f1（a）即为所求问题的最大收益即为所求问题的最大收益。0)(1 , )()(max)(11110nnkkkksxkksfnksfxgsfkk64例二、某公司打算在例二、某公司打算在3 3个不同的地区设置个不

32、同的地区设置4 4个销售点，根据个销售点，根据市场部门估计，在不同地区设置不同数量的销售点每月可市场部门估计，在不同地区设置不同数量的销售点每月可得到的利润如表得到的利润如表6-46-4所示。试问在各地区如何设置销售点所示。试问在各地区如何设置销售点可使每月总利润最大。可使每月总利润最大。表表6-46-4 65解解 如前所述，建立动态规划数学模型：如前所述，建立动态规划数学模型：将问题分为将问题分为3 3个阶段，个阶段，k=1，2，3；决策变量决策变量xk表示分配给第表示分配给第k个地区的销售点数；个地区的销售点数；状态变量为状态变量为sk表示分配给第表示分配给第k个至第个至第3个地区的销售点

33、总个地区的销售点总数；数；状态转移方程：状态转移方程：sk+1=skxk，其中其中s1=4；允许决策集合：允许决策集合：Dk（sk）=xk| |0 xksk阶段指标函数：阶段指标函数：gk（xk）表示表示xk个销售点分配给第个销售点分配给第k个地区所获得的利润；个地区所获得的利润；最优指标函数最优指标函数fk（sk）表示将数量为表示将数量为sk的销售点分的销售点分配给第配给第k个至第个至第3个地区所得到的最大利润，动态规划个地区所得到的最大利润，动态规划基本方程为：基本方程为： 0)(1 , 2 , 3 )()(max)(4410sfkxsfxgsfkkkkksxkkkk66k=3时，时，数值

34、计算如下表数值计算如下表6-56-5表表6-5 6-5 )(max)(333333xgsfsx 67k=2k=2时，时，计算结果见下表计算结果见下表7-67-6表表7-67-6 )()(max)(2232202222xsfxgsfsx68表表66k=1k=1时，时，k=1k=1时，只有时，只有s s1 1=4=4的情况。的情况。计算结果如表计算结果如表7-77-7所示。所示。所以所以最优解最优解为：为：x x1 1* *=2=2，x x2 2* *=1=1，x x3 3* *=1=1，f f1 1(4)=47(4)=47，即在第即在第1 1个个地区设置地区设置2 2个销售点，第个销售点，第2

35、2个个地区设置地区设置1 1个销售点，第个销售点，第3 3个个地区设置地区设置1 1个销售点，每月可获利润个销售点，每月可获利润4747。表表6-76-7 )()(max)(1121101111xsfxgsfsx)4()(max)(121140111xfxgsfx69例三、机器负荷问题例三、机器负荷问题某工厂有某工厂有100100台机器，拟分四期使用，每一期都可在高、低台机器，拟分四期使用，每一期都可在高、低两种不同负荷下进行生产。若把两种不同负荷下进行生产。若把x x台机器投入高负荷下进行生产，台机器投入高负荷下进行生产，则在本期结束时将有则在本期结束时将有1/3x1/3x台机器损坏报废；余

36、下的机器全部投入台机器损坏报废；余下的机器全部投入低负荷下进行生产，则在期末有低负荷下进行生产，则在期末有1/101/10的机器报废。如果高负荷下的机器报废。如果高负荷下生产时每台机器可获利润为生产时每台机器可获利润为1010，低负荷下生产时每台机器可获利，低负荷下生产时每台机器可获利润为润为7 7，问怎样分配机器使四期的总利润最大？，问怎样分配机器使四期的总利润最大？解解 将问题按周期分为将问题按周期分为4 4个阶段，个阶段，k=1，2，3，4；状态变量状态变量sk表示第表示第k阶段初完好的机器数，阶段初完好的机器数，s1=100，0sk100；决策变量决策变量xk表示第表示第k阶段投入高负

37、荷下生产的机器数，阶段投入高负荷下生产的机器数，则则skxk表示第表示第k阶段投入低负荷下生产的机器数；阶段投入低负荷下生产的机器数；允许决策集合：允许决策集合：Dk（sk）=xk| |0 xksk状态转移方程：状态转移方程：sk+1=Tk（sk，xk），），即第即第k+1阶段初拥有的完好机阶段初拥有的完好机器数器数sk+1为：为： )(109321kkkkxsxs70阶段指标函数：阶段指标函数：vk（sk，xk）=10 xk+7（skxk）表示第表示第k阶阶段所获得的利润；段所获得的利润；最优指标函数最优指标函数f fk k（s sk k）表示从第表示从第k k阶段初完好机器数为阶段初完好机

38、器数为s sk k至至第第四阶段的最大利润，动态规划基本方程为：四阶段的最大利润，动态规划基本方程为：0)(1 , 2 , 3 , 4 )(),(max)(55110sfksfxsvsfkkkkksxkkkk444044404410)73 (max)( 710max)(4444ssxxsxsfsxsx71x x4 4* *= =s s4 4 k=4 k=4时，时， k=3k=3时，时，333033333304333044333033350 )1632(max )(1093210)(710max 10)(710max )()(710max)(33333333ssxxsxxsxsxsxsfxsxs

39、fsxsxsxsx72 x x3 3* *= =s s3 3k=2时，时， x2*=0 k=1时，时， x1*=022202222220322203322202222 )9822(max )(10932350)(710max 350)(710max )()(710max)(22222222sxsxsxxsxsxsxsfxsxsfsxsxsxsx1110111111021110221110115134 )15325134(max )(1093222)(710max 22)(710max )()(710max)(11111111sxsxsxxsxsxsxsfxsxsfsxsxsxsx73因为因为s

40、1=100，所以，所以f1（100）=2680，逆向追踪得：，逆向追踪得：s1=100，x1*=0 x2*=0 x3*=s3=81 x4*=s4=54即，第即，第1，2期把全部完好机器投入低负荷下生产，第期把全部完好机器投入低负荷下生产，第3，4期把全部完好机器投入高负荷下生产所得利润最大。期把全部完好机器投入高负荷下生产所得利润最大。 90)(10932*11*12xsxs81)(10932*22*23xsxs54)(10932*33*34xsxs74（三）生产计划问题（三）生产计划问题 在企业生产经营活动中，经常会遇到如何合理在企业生产经营活动中，经常会遇到如何合理安排生产、库存及销售计划

41、，使总效益最高的问题，安排生产、库存及销售计划，使总效益最高的问题，这一类问题统称为生产计划问题。这一类问题统称为生产计划问题。 75例例4、（库存（库存销售问题）销售问题） 设某公司计划在设某公司计划在1至至4月份从事某种商品经营。已知仓月份从事某种商品经营。已知仓库最多可存储库最多可存储600件这种商品，已知件这种商品，已知1月初存货月初存货200件，根件，根据预测知据预测知1至至4月份各月的单位购货成本及销售价格如表月份各月的单位购货成本及销售价格如表6-13所示，每月只能销售本月初的库存，当月进货供以后各所示，每月只能销售本月初的库存，当月进货供以后各月销售，问如何安排进货量和销售量，使该公司四个月获月销售，问如何安排进货量和销售量，使该公司四个月获得利润最大（假设四月底库存为零）。得利润最大（假设四月底库存为零）。表表6-13 76解 按月份划分阶段