线性代数重点知识总结

1、说明：1本总结只是把课本的重点知识总结了一下，我没有看到期末 考试题，所以考着了算是侥幸，考不着也正常。 2知识点会了不一定 做的对题，所以还要有相应的练习题。3前后内容要贯穿起来，融汇 贯通，建立自己的知识框架。第一章行列式1行列式的定义式（两种定义式）-行列式的性质-对行列式进行 行、列变换化为上下三角（求行列式的各种方法逐行相加、倒叙相减、 加行加列、递推等方法，所有方法是使行列式出现尽可能多的 0为依 据的）。2行列式的应用一一 克拉默法则（成立的前提、描述的内容、用途，简单的证明可从逆矩阵入手）。总结：期末第一章可能不再单独考，但会在求特征值 /判断正定性等 内容时顺便考察行列式的求

2、解。第二章矩阵1矩阵是一个数组按一定的顺序排列，和行列式（一个数）具有天壤 之别。2高斯消元法求线性方程组的解一 唯一解、无解、无穷解时阶梯型 的样子（与第三章解存在的条件以及解的结构联系在一起 ）3. 求逆矩阵的方法（初等变换法，I起到记录所有初等变换的作用）、 逆矩阵与伴随矩阵的关系。4. 初等矩阵和初等变换的对应关系，学会由初等变换找出与之对应的初等矩阵。5分块矩阵（运用分块矩阵有时可以很简单的解决一些复杂问题）记 得结论A可逆，则 A 十心=|A |（1-GTA-1a）第三章线性方程组第三章从向量组的角度入手，把线性方程组的系数矩阵的每一列看作 一个列向量，从而得到一个向量组假设为：匸

3、n，右边常则看作一个向量：，1）若向量1被向量组：j,2,，n表出唯一（即满足关系：r（1, >2,，n）二“宀,>2,，：* n, ： ） = n时，因为只有向量组：'i/'2/' n线性 无关才表出唯一），则只有唯一解；2）若1不能由向量组-1/-2/' ,n线性表出（即满足条件 r（lC2,i,：n）1=r（i,2,i,n,J 时）则无解；3 ）若由向量组1,2厂，表出不唯一（即满足条件 r（1, >2,，n） =r（1, >2，n, ： ） : n 时，只有 >1, >2,n 线性相关才表出 不唯一）有无穷解。1线性相

4、关、线性无关的定义、描述及判定2向量组的秩的定义及极大线性无关组的求法（化为阶梯型后同高度选一个）3. 矩阵的秩向量组的秩相对应。4. 齐次线性方程组非零解的条件（r（r,n）"：n，列向量线性相关或秩） 和解得结构（n，n）个线性无关的解的线性组合）。5非齐次线性方程组的解存在的条件（1,几）*（1厂宀）及解的结构（对应的齐次线性方程组的解+个特解）第四章向量空间和线性变换第二章高斯消元法关于如何求线性方程组的解，多用于线性方程组解 的计算；第三章线性方程组的解从向量组的角度来讨论解存在的条件 及解的结构，向量一：被向量组宀,律八s线性表出形式与 （1,，:s）X =2的解相互对应

5、；第四章是从线性变换和空间的角度来讲解线性方程组的解。1）线性变换：线性方程组的解看做原像，线性 方程组的右端项看作是线性变换的像。 线性方程组有解就说明右端项 （1）在线性变换的A的象空间里。2）内积结合线性子空间的角度考虑 线性方程组解的结构（主要是齐次线性方程组的解的结构，齐次线性 方程的系数组成的列向量组所张成的子空间和解空间互为正交补， 注：互为正交补的空间为维数加起来等于全空间的维数且相互正交的 子空间）。重要内容：坐标变换、过渡矩阵、施密特正交化方法。第五章特征值特征向量矩阵的对角化特征值和特征向量承接了第四章的线性变换的定义，一个矩阵A的特征向量，则满足条件A -£（

6、线性变换不改变向量的方向），变 化前后（：和 A）两个向量相差一个倍数，恰好就是特征值。Ann至多有n个线性无关的特征向量，这是因为线性变换的像空间的维数至 多为n维的。当A恰好有n个线性无关的特征向量时 A可对角化，即存在关系为（,°2,，J） =。注意并不I心是所有的矩阵都可以对角化的，只有含n个线性无关的特征向量的矩 阵才可以对角化。对于所有的实对称的矩阵则都可以对角化， 并且不 同特征值的特征向量相互正交，且对角化的矩阵可以为正交矩阵。重要内容：1.求特征值、特征向量 2、实对称矩阵运用正交阵 来对角化（求正交矩阵）3、特征值、特征向量的关系，例如不同特征值的特征向量的和不再

7、是特征向量， 不同特征值得特征向量线性 无关，实对称不同特征值的特征向量相互正交。第六章二次型二次型把二次齐次多项式f（XX2，,Xn）写为XTAX的形式，其中A 为实对称矩阵，则根据第五章内容实对称矩阵都相似于一个对角矩 阵，得出存在正交矩阵P使得PTAPf 注意相似与合同的区别，相 似矩阵是B二P-1AP，合同矩阵是C二QtAQ （合同矩阵要保持对称性， 所以形式上就有很大的差别）。若是存在可逆阵Q使得C二QTAQ二上， 则进行可逆的线性代换y =Qx即可把二次型化为 f（Xi,X2, ,Xn）二xTQTAQx二yT上y，即化为只含平方项的标准二次型。 化为标准二次型有三种方法：配方法、正交矩阵方法（对角元素为特 征值）、初等变换法。