解析几何知识点更新

1、三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 2 : 1。三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。外心到三顶点的距离相等三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心。三角形的三条内角平分线交于一点。该点即为三角形的内心。内心到三角形三边距离相等。y y k(x x )斜截式：y kx b ；yy1xx1两点式：1-y2y1X2为0 ,( a , B不全为0)。直线与圆1 直线方程：点

2、斜式：截距式：x 2 i ；a b一般式：Ax By C2 两条直线的位置关系：直线方程平行的充要条件垂直的充要条件备注l1 : y k1x b l2: y k2x b2k1 k2,b1 b2k1 k21l1,l2有斜率l1 : A1xB1y C10A1B2a2 B1,且A1A2B1B20不可写成12 : A2x B2 y C20B1C2 B2C1 (验证分式3 几个公式：设 A (Xi,yi)、B(x2,y2)、C (x3,y3) "ABC 的重心 G :( X_X_x3_y3_y3 );3'3点 P (xo,yo)到直线 Ax+By+C=O 的距离：d AXo一By

3、76;一C v'A2 B2两条平行线 Ax+By+C i=°与Ax+By+C 2=0的距离是d Cl C2 . Q A B24.圆的方程：标准方程：(x a)2 (y b)2 r2x2 y2r2。一般方程：x2 y2 Dx Ey F 0( D2 E2 4F 0)注：Ax2+Bxy+Cy 2+Dx+Ey+F=0 表示圆 A=C 工 0 且 B=0 且 D2+E2 4AF>0 ;5点、直线与圆的位置关系：(主要掌握几何法)点与圆的位置关系：(d表示点到圆心的距离)dR点在圆上；dR 点在圆内；d R点在圆外。直线与圆的位置关系：(d表示圆心到直线的距离)dR相切；dR相交；

4、d R相离。圆与圆的位置关系：(d表示圆心距，R, r表示两圆半径，且 R r)dRr相离；dRr外切；R r d R r 相交；dRr内切；0dRr 内含。6.与圆有关的结论：过圆x2+y2=r2上的点M(xo,yo)的切线方程为：xox+yoy=r2；过圆(x_ af+(y_ b)2=r2 上的点 M(x o,yo)的切线方程为：(xo- a)(x- a)+(yo- b)(y- b)=r2； 以 A(x i, y2)、B(x2,y2)为直径的圆的方程：(x xi)(x X2)+(y yi)(y y2)=O。圆锥曲线方程知识点一、曲线和方程1 曲线与方程：在直角坐标系中，如果曲线C和方程f(

5、x,y)=o的实数解建立了如下的关系：1) 曲线C上的点的坐标都是；2) 方程f(x,y)=O的解为坐标的点都。则称方程f(x,y)=O为曲线C的方程，曲线C叫做方程f(x,y)=O的曲线。2,求轨迹方程练习：1。已知线段AB的长为1O,动点P到A、B两点的距离的平方和为 122，则动点P的轨迹方程为X22. 设P为双曲线y2= 1上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M4的轨迹方程是二、椭圆1 .定义：| PF1 | _ | PF2 | = 2a _| F1F2 | = 2c若2a = 2c，则轨迹为 ； 2a < 2c，则轨迹为 2.几何性质：焦点的位置焦点在x轴上焦点在y

6、轴上图形标准方程a、b、c的关系范围对称性焦占八'、八、顶点轴长离心率准线方程3.些结论:（1）椭圆的一般方程：mx2 ny2 1 （m、n为不相等的正数）(2)2 2xy22am bm1与2 2笃占 1有相同的焦点。ab(3)1 PF1 |的最大值为a+ c,最小值为a -c。练习:21。给定椭圆x2y1 ,则其焦点坐标为和;焦距为;长轴36100长为, 短轴长为; 离心率为; 准线 方程为和；若其上一点P到焦点Fi的距离为6，则P到另一焦点F2的距离为 ；若AB为过焦点F1的弦，贝U ABF2的周长为2. 椭圆5x2 ky25的一个焦点是（0, 2）,那么k 3. 写出下列椭圆的标

7、准方程： b 1,c. 15，焦点在x轴上：;3 长轴长为 20,;离心率为 3 : 3 52,25 两焦点坐标分别为（0, -2 ）,（ 0, 2）,并且椭圆经过点 经过点（-2 , 3）且与椭圆9x2 4y2 36有共同焦点： 经过两点AJ3, 2,B 2J3,1 ： 三、双曲线1 定义:PFi | _ | PF2 |_ = 2a _| F1F2 | = 2c若2a = 2c，则轨迹为 ; 2a > 2c，则轨迹为 若无绝对值符号，则轨迹为 。2.几何性质:焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程a、b、c的关系范围对称性焦占八'、八、顶点轴长离心率准线方程渐近线方程3

8、. 些结论：(1)双曲线的一般方程：mx2 ny2 1 ( m、n同号)(2)a22y_b22 2(0)与务/1有相同的渐近线。a b(3) | PFi |无最大值，最小值为c -a2 2练习：1。已知双曲线方程为 x 1，则其焦点在轴上，焦点坐标为F<!,F212 16顶点坐标为 ，渐近线方程为 ，准线方程为 ，离心率为;若点P为该双曲线上任意一点，且PF1 10，贝V PF2 。2已知双曲线方程为 4x2 y24 , MN过左焦点F1，且MN4 , M N同在左支上，贝y MNF2的周长为。3.求适合下列条件的双曲线的标准方程：77 焦点在y轴上，焦距为16,渐近线方程为y -X3

9、焦点为（0, -6），（ 0，6），且经过点（2，-5） 经过点 .2,3 ,232 2 以椭圆-1的焦点为顶点，顶点为焦点85 与双曲线9x2 16y2 144有共同渐近线且过点 4.3,3 一个焦点为F, 6,0）的等轴双曲线24. F1,F2是双曲线 y2 1的两个焦点，点P在双曲线上且满足F1PF2 90，贝U F1PF2的4面积是四、抛物线1. 定义：与定点和定直线的距离 的点的轨迹。2. 几何性质：焦点的位置焦点在X轴上焦点在y轴上图形标准方程范围对称性焦占八'、八、离心率I PF | =准线方程练习：1求满足条件的抛物线的标准方程:准线为y 3过点(-3，2)焦点在直线x

10、 2y 40上焦点为F (-1 , 0)22和椭圆乞 y1有公共准线2516焦点在y轴上，抛物线上一点 M(m, 3)到焦点的距离为52已知抛物线的方程为 X2 4y 0，焦点为F,则焦点F坐标为，准线方程为，对称轴为，焦点到准线的距离为 若AB为过焦点的弦，贝y AB的最小值为 若A B在准线上的射影分别为 A,B,则 A1FB1已知M( -1 , -3 ), P为抛物线上一动点，则PMPF的最小值为，此时P点的坐标为五:2ab;.椭圆中的结论：内接矩形最大面积P, Q为椭圆上任意两点，且OP0Q,则一咯|OP|12|OQ|椭圆焦点三角形：< I >. SPF1F2Fi PF2)

11、<n > .点M是PRF2内心,PM交F1F2于点N ,则型| MN |当点P与椭圆短轴顶点重合时F1PF2最大;4.双曲线中的结论:2双曲线2a共渐进线y2 2y 1 (a>0,b>0)的渐近线：babx2bx的双曲线标准方程为务aa2y_2b2y_b2(为参数,丰0)；双曲线焦点三角形：<I >. SPffb2cot,(1 2 2F1PF2);2x <n >. p是双曲线笃a22y牙=1(a>0, b>0)的左(右)支上一点,bF1、F2分别为左、右焦点,则厶PF1F2的内切圆的圆心横坐标为a,(a);双曲线为等轴双曲线e ,2渐

12、近线为y渐近线互相垂直;5.抛物线中的结论：抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦AB性质:2< I > . X1X2=_ ; y1y2 = p2;41 1 2< n >.| AF | |BF | p<m >以ab为直径的圆与准线相切;<W > .以AF (或BF)为直径的圆与 y轴相切;2< V > . S AOB2si n抛物线y2=2px(p>0)内接直角三角形 OAB的性质:2 2< I >. X1X2 4P , y1 y2 4P ;< 口 > Iab 恒过定点(2p,0);22p)；<

13、rn >. A, B中点轨迹方程：y p(x<W >. OM AB，贝U M轨迹方程为:(x p)222p ; < V > . (S AOB ) min 4 p 。抛物线y2=2px(p>0)，对称轴上一定点A(a,0)，则:< I >.当0 a p时，顶点到点 A距离最小，最小值为A距离最小，最小值为 2ap p2。<n> .当a p时，抛物线上有关于x轴对称的两点到点六、圆锥曲线的统一定义：平面内到定点F和定直线l的距离之为常数e的点的轨迹.当0 e 1时，轨迹为; 当e 1时，轨迹为当e 1时，轨迹为；当e 0时，轨迹为七、直线与圆锥曲线1 位置关系(1) 联立方程组关于x (或y )的一元二次方程“ ”0 ； 0 ； 0 (2) 特殊情况：若直线与双曲线的渐近线 ，则直线与双曲线 但只有一个交点；若直线与抛物线的对称轴 ，则直线与抛物线但只有一.个.交.点.；2 弦长公式：| AB | =练习：1。已知直线y (a 1)x 1与曲线y2 ax恰有一个公共点，求实数 a的取值范围。x2 y22.已知斜率为2的直线经过椭圆1的右焦点F1，与椭圆相交于 A、B两点，求