第三章_弹塑性断裂力学

1、第三章第三章 弹塑性断裂力学弹塑性断裂力学 第一节 弹塑性断裂力学概述 第二节 COD理论 第三节 J积分理论第一节第一节 弹塑性断裂力学概述弹塑性断裂力学概述 1）线弹性断裂力学的适用范围 （1）脆性材料，如玻璃、陶瓷、岩石，及高强度钢等材料。 （2）小范围屈服的金属材料，可用小范围屈服的塑性修正断裂准则来计算。 2）实际中的问题 （1）大范围屈服：对中、低强度构件，其塑性区尺寸超过了裂纹尺寸。（低温、厚截面和高应变速率下除外） （2）全面屈服：焊接件等由于局部应力和残余应力的作用，使局部地区的应力超过屈服应力。 3）弹塑性断裂力学的提出 （1）解决如何通过小试样在全面屈服条件下断裂韧度的测

2、试去确定中、低强度重型构件的平面应变断裂韧度KIC。 因为用线弹性断裂力学方法测定中、低强度钢的断裂韧度KIC ，不仅需用大型试件和大吨位的试验机，而且还由于大锻件不同部位的KIC差别很大，用大试样所测得的KIC只是一个平均值，得不出各个具体部位的KIC值。 （2）在大范围屈服条件下，确定出能定量描述裂纹尖端区域弹塑性应力、应变场强度的参量，以便既能用理论建立起这些参量与裂纹几何特征、外加载荷之间的关系，又易于通过实验来测定它们，并最后建立便于工程应用的断裂准则。第二节第二节 COD理论理论1）COD定义 1961年Wells提出COD理论。COD是英文（Crack Opening Displ

3、aement）的缩写，其意是“裂纹张开位移”。指裂纹体受载后，裂纹尖端垂直于裂纹方向上产生的张开量，就称主裂纹（尖端）张开位移，通常用表示。 但是由于裂纹尖端的钝化，很难确切地指出原裂纹尖端的位置，因而亦难确定裂纹尖端的张开位移。 目前，有人用2AB作为理解纹张开位移（从变形后的裂纹顶端测量）；有人用2CD作为裂纹张开位移（在D点测量，D为线弹性的直线与非线性的曲线的交点）；有人用2EF作为裂纹张开位移（从裂纹尖端作450线与裂纹面相交处F的分离的大小）。 裂纹张开位移的定义 2）COD判据 Wells认为；当裂纹张开位移达到材料的临界值C时，裂纹即发生失稳扩展，这就是弹塑性断裂的COD准则，

4、表示为： =C （1） C是材料弹塑性断裂的韧性指标，是一个不随试件尺寸改变的材料常数。 对于COD准则，要解决三个方面的问题：（a）找出裂纹尖端张开位移与裂纹几何尺寸、外加载荷之间的关系式，即的计算公式。（2）实验测定材料的裂纹张开位移的临界值C 。（3）COD准则的工程应用。3）Irwin小范围屈服条件下的COD 在讨论小范围屈服的塑性区修正时，曾引入有效裂纹长度 的概念，这意味着为考虑塑性区的影响假想地把原裂纹O移至O， 。这样一来当以假想的有效裂纹尖端点作为“裂尖”时，原裂纹点O发生了张开位移，这个位移就是张开位移，简称为COD，简写为 。 yaaryOOr 由平面应力条件下的位移公式

5、并代入 推演得： 当以O点为裂尖时，O点处(即 ， )，沿y方向的张开位移则为： 此即为Irwin提出的小范围屈服下的COD计算公式。式中s为材料的屈服极限，GI为裂纹扩展能量释放率。 3/ 1k22sin21cos22IKrVE（2）（3）212IysKrr2212442IysIIssKr rKGVE 4）D-B带状塑性区模型的COD Dugdale通过拉伸试验，提出裂纹尖端塑性区呈现尖劈带状特征的假设，从而得到一个类似于Barrenblett的模型。该模型称为D-B模型，这是一个对小范屈服和大范围屈服都适用的模型，可以用来处理含中心穿透裂纹的无限大薄板在均匀拉伸应力作用下的弹塑性断裂问题。

6、 （1）D-B模型假设：裂纹尖端的塑性区沿裂纹线两边延伸呈尖劈带状；塑性区的材料为理想塑性状态，整个裂纹和塑性区周围仍为广大的弹性区所包围；塑性区与弹性区交界面上作用有均匀分布的屈服应力s 。 于是，可以认为模型在远场均匀拉应力作用下裂纹长度从2a延长到2c，塑性区尺寸R=c-a，当以带状塑性区尖端点c为“裂尖”点时，原裂纹（2a）的端点的张开量就是裂纹尖端张开位移。 （2）带状塑性区的大小R 假想地把塑性区挖去，在弹性区与塑性区界面上加上均匀拉应力s ，于是得到如图2b所示的裂纹长度为2c，在远场应力和界面应力s作用下的线弹性问题。 此时裂纹尖端点c的应力强度因子 应由两部分组成：一是由远场

7、均匀拉应力产生的 ，另一个是由塑性区部位的“裂纹表面”所作用的均匀应力s所产生的 ： 从而有：CIK 1IK 2IK（4） 1IKc 212cossIaKcc 1212cosCsIIIaKKKccc 由于c点是塑性区的端点，应无奇性，故其 =0，于是代入式（4）得 由于塑性区尺寸R=c-a ，将式（5）代入并化简得 若将 按级数展开，则 当 较小时，（5）（6）CIK/cossec22sscaasec12sRasec2s2415sec122 224 2sss 21sec122 2ss /s 代入式（6），得R的近似表达式为： 考虑到无限大平板有中心穿透裂纹时， ，有： 将式（8）与Irwin小

8、范围屈服下平面应力的塑性区尺寸比较 ，可见 D-B模型的塑性区尺寸稍大一些。（7）（8）222saR IaK 220.398IIssKKR2210 .3 1 8IIssKKR （3）的计算公式 经计算可得： 由式（9）可见，D-B模型不适用于全面屈服（即= s ）的情况。有限元计算表明，对小范围屈服或大范围屈服，当/s 0.6时，按式（9）所作的预测是令人满意的。 D-B模型是一个无限大板含中心穿透裂纹的平面应力模型。由于它消除了裂纹尖端点的奇异性，实质上是一个线弹性化的模型。因此，当塑性区较小时，COD参量与线弹性参量K之间存在一致性。由式（9），将函数展开为幂级数得：（9）8ln sec2

9、ssaE24811221 22sssaE 当/s 0.6，即小范围屈服时，可只取首项，故有 因为 ，所以有： 式（11）表示在小范围屈服条件下裂尖张开位移与KI、GI之间的关系。该结果与Irwin有效裂纹模型所得的结果式（3）比较，可见它们的形式相同，只是系数稍有差别。 * 适用条件：(1)针对平面应力情况下的无限大平板含中心穿透裂纹进行讨论的；(2)引入了“弹性”化假设后，使计算分析比较简单，适用于/s 0.6的情况；（3）在塑性区内假设材料为理想塑性，实际上一般金属材料存在加工硬化，硬化材料的塑性区形状可能不是窄条形的。 （11）（10）2812 2sssaEE2,IIIKKa GE22I

10、IsssKGaEE 4) 全面屈服条件下的COD 在工程结构或压力容器中，一些管道或焊接部件的高应力集中区及残余应力区中往往发生短裂纹。由于这些区域内的应力达到甚至超过材料的屈服点，故使裂纹处于塑性区包围之中，这就是所谓的全面屈服。 对于全面屈服情况，载荷的微小变化都会引起应变和COD的很大变化，故在大应变情况下，已不宜用应力作用断裂分析的依据，而需要寻求裂尖张开位移与应变e、裂纹几何和材料性能之间的关系，即引入应变这一物理量。 由含中心穿透裂纹的宽板拉伸试验，可绘出无量钢COD即 与标称应变 之间的关系曲线 。/se e/2se a 其中es是相应于材料屈服点s的屈服应变，a是裂纹尺寸，标称

11、应变e是指一标长下的平均应变，通常两个标点取在通过裂纹中心而与裂纹垂直的线上。 由图可以看出，实验数据构成一个较宽的分散带。实际应用时，为偏于安全，曾提出如下经验设计曲线作为裂纹容限和合理选材的计算依据。 Wells（12） Burdekin （13） JWES2805标准： 或 （14）211sssseeeeeeee 公式sssseeeeeeee 公式3.5ea0.5see 1984年，我国压力容器缺陷评定规范编制组制定了压力容器缺陷评定规范（CVDA）： 下图画出了几种设计曲线的比较图形。由图可见，CVDA曲线在0 e/es 0.5范围内与Burdekn曲线相同；在0

12、 e/es 1.5范围内比Burdekn曲线偏于保守，有较高的安全裕度；而在1.5 e/es 8.76范围内则比JWES2805设计曲线偏于保守，但比其余的设计曲线可有较小的安全裕度。211112sssseeeeeeee （15） 5）COD准则的工程应用 COD准则主要用于韧性较好的中、低强度钢，特别是压力容器和管道。考虑到压力容器壁中的“鼓胀效应”及容器多为表面裂纹和深埋裂纹，故将平板穿透裂纹的断裂力学公式用于压力容器和管道时，还需进行一些修正。 （a） “鼓胀效应” 压力容器曲面上的穿透裂纹，由于器壁受有内压力，将使裂纹向外鼓胀，而在裂纹端部产生附加弯矩。附加弯矩的附加应力与原工作应力迭

13、加，使有效作用增大，故按平板公式进行计算时，应在工作应力中引入鼓胀系数M，用M代替 。 M系数与裂纹长度2a、容器半径R和壁厚t有关： （16） 其中 为1.61（圆筒轴向裂纹）；0.32（圆筒径向裂纹）；1.93（球形容器裂纹）。 （b）裂纹长度修正 压力容器上的表面裂纹或深埋裂纹应换算为等效穿透裂纹。 非贯穿裂纹： KI= (a*)1/2 = ( a*)21/2 ，其中为裂纹形状因子。 无限大板中心穿透裂纹：KI=（a*）1/2 按等效原则，令非贯穿裂纹的等于无限大板中心穿透裂纹的，则等效穿透裂纹长度为：a*= 2 a （17）21aMRt （c）材料加工硬化修正 考虑材料的加工硬化修正，

14、可用流变应力f代替屈服点，对于s =200400MPa的低碳钢，一般取： f =0.5（ s + b） (18) 式中b为材料的抗拉强度。 综上所述修正，D-B模型的计算公式（10）变为： (19) 6）临界的实验测定 裂纹张开位移COD的临界值c是COD准则的一个重要参量。它和KIC一样，是材料韧性好坏的量度，可以通过试验测定。8*()lnsec2ffaME COD试验方法适用于线弹性断裂力学失败的延性断裂情况，可以认为是KIC试验的延伸。因此，试验的许多具体方法沿用了KIC试验的有关规定。譬如利用同样的夹式引伸仪和载荷传感器来获得载荷-位移曲线。但由于COD试验又具有本身的一些特点。 (1

15、) 试样尺寸 实践表明， c可以用小型三点弯曲试样在全面屈服下通过间接方法测出。 由于COD不要求试样满足平面应变的条件，因此，规定试样的厚度B一般等于被测材料的厚度（即所谓全厚度），宽度W及裂纹长度a有如下规定: W=B， a=(0.250.35)W W=1.2B， a=(0.350.45)W W=2B， a=(0.450.55)W S=4W (2) 的表达式 由实验直接准确地测量出裂纹尖端张开位移是困难的，目前均利用三点弯曲试样的变形几何关系，由测得的裂纹嘴的张开位移V去推算求出裂纹尖端的张开位移 。为此必须建立与V之间关系式。 三点弯曲试样受力弯曲时，滑移线场理论分析表明，裂纹尖端塑性变

16、形引起的滑移线对称平分缺口夹角2的平面，试样的变形可视为绕某中心的刚体转动。该中心点（图中的C点）到裂纹尖端的距离为r（W-a），r为转动因子。利用相似三角形的比例关系容易写出： 故（20） 式中，z为刃口的厚度。 对弹塑性情况， 可由弹性的e和塑性的p两部分组成，即：r WaVzar War Wa Vzar Wa 式中， e为对应于载荷P的裂纹尖端弹性张开位移，其计算公式参见式（20）为： p是韧带塑性变形所产生的裂纹尖端性张开位移，由式（29）有： 将式（22）、（24）代入式（21）得平面应变状态下的计算公式：（21） eP（平面应力） （22） （平面应变） （23） （24） 2Ie

17、ssKGE22210.52IIessKKEEPPr Wa Vzar Wa 式中，转动因子r在韧带屈服后，一般取为0.45，也可由实验标定。Vp为位移的塑性分量。KI为对应于载荷P的应力强度因子：（34） 22PIePsr Wa VKEzar Wa1 2IPaKfWBW27.51 3.000.5sec22aaaaftgWWWW其中 （3）临界点的确定 实验得到的P-V曲线大致分为三类： （a）第一类PV曲线：位移V随载荷P增大而增大，直到发生失稳断裂（图a），发生断裂前没有明显的亚临界扩展，快速失稳断裂点即为临界点，此时，最大载荷Pmax即为临界载荷Pc，相应的临界位移为Vc。将Pc及Vc的塑性

18、分量Vcp代入式（34）就可算出临界值c 。 （b）第二类PV曲线：试验过程中， PV曲线由于裂纹“突进”而出现平台，之后又逐渐上升，直至断裂（图b）。这时取“突进”点作为临界点，由“突进”点的载荷Pc和Vc位移的塑性分量计算c值。 （c）第三类PV曲线：载荷通过最高点后连续下降而位移不断增大，或载荷达到最大值后一直保持恒定而出现相当长的平台（图c）。这两种情况都由于裂纹产生亚临界扩展，而不能从PV图直接判定临界点。 由于临界点应该是启裂点，需要借助电位法、电阻法、声发射法或氧化发蓝等方法来确定启裂点，然后，由启裂点所对应的载荷Pi及Vi和位移的塑性分量Vp来计算c值。 * 电位法： 在试样两

19、端加一恒值稳定电流I，并在裂纹两侧焊上电位测头。试验时，用夹式引伸仪测量试样施力点位移。同时测量裂纹两侧电位E的变化，用X-Y函数记录仪自动测绘E-曲线，当裂纹扩展时，电位差迅速增大，故根据E曲线的突变，可确定启裂点。 *电阻法：测定启裂点的原理与电位法相似，只是它测量的是裂纹两侧电阻R的变化。 * 声发射法：试样裂纹启裂时发出的声发射信号经探头感受后，由前置放大器再经声发射测度仪主体放大和选样，将声发射率S输入X-Y记录仪，同时输入施力点位移信号，从而可绘出S-曲线。因声发射率峰值较多，一般采用声发射法与电位法联合确定启裂点。用电位法确定启裂点 * 氧化发蓝法：可用来确定加载到P曲线不同位置

20、时裂纹的扩展量，从而确定启裂点。当加载到P曲线上某点处卸载取下试样，在空气介质中加热氧化到呈蓝色，然后冷却。压断试样后，断口如上图所示。由于预制疲劳裂纹的表面光滑，氧化膜颜色较浅，而试验中，裂纹扩展的表面比较粗糙，氧化膜颜色较深，故通过金相显微镜观察很容易测出裂纹的扩展量。当观察到的裂纹扩展量似乎为零或由不同的扩展量外推到零点对应于启裂点。第三节第三节 J积分理论积分理论 COD参量的测定方法简单，但用它所得到的一些经验公式能有效地解决工程实际问题，在中、低强度钢焊接结构和压力容器断裂分析中得到广泛的应用，但它不是一个直接而严密的裂纹尖端弹塑性应力应变场的表征参量。 因此，Rice于1968年

21、提出了J积分的概念。 J积分是一个定义明确，理论严密的应力应变场，又容易通过实验来测定。 J积分的概念已用于发电工业，特别是核动力装置中材料的断裂准则。 （1）J积分的回路积分定义及其守恒性 (a) J积分的回路积分定义 对二维问题，Rice提出J积分的回路积分由下述表达式来定义： 式中，为围绕裂纹尖端任一反时针回路，起始端位于裂纹下表面，末端终于裂纹上表面；W为回路上任一点（x，y）的应变能密度 ； Ti为回路上任一点（x，y）处的应力分量；ui为回路上任一点（x，y）处的位移分量；ds为回路上的弧元。 J积分是一个与积分回路无关的常数，即具有守恒性，即J积分像线弹性问题中的K因子一样，反映

22、了裂纹尖端的某种力学特性或应力应变场强度。211,2iiuJWdxTdsix（1） ijijWd（b）J积分的守恒性 设分别有两个积分回路和，J积分的守恒性就意味着有下列恒等式： 如果取任一闭合回路c，它由、以及裂纹自由表面组成（即回路ABDECA），又注意到在裂纹面BD和CA上，Ti=0和dxz=0，以及DEC与的方向相反，闭合回路内无裂纹或小孔，则式（2）恒等式可改写为：（2） （3） 22iiiirriiuuWdxTdsWdxTdsxx2221110iiiiiiCuuuWdxTdsWdxTdsWdxTdsxxx 设n1，n2为弧元ds的外法线 的方向余弦，即： 上微弧元的三角形体元的力的

23、平衡条件 ： * 式（3）左端第二项积分为： 利用格林公式：（5） （4） （6） n12cos/nadxds11sin/nadxds 111 12122121222TnnTnn12n dsdx21n dsdx12121111211 112212122211121211 11221212221111iiccccuuuTdsTdsTdsxxxuunndsnndsxxuuuundxndxxxxx（7） 121212cAQPPdxQdxdx dxxx 将式（7）的围线积分化为面积分，整理后得： 平面问题不计体力时，有平衡微分方程： 又 ，代入式（8），则其右端积分号内的前两项为零，于是：（8） （9

24、） 1121112222112112122221122112112221222121211iicAuuuTdsxxxxxxxuuuudx dxx xx xxx 11121212221200 xxxx1221 小应变条件下的几何关系为： 代入式（10）得：（10） （11） （12） 22222121112212212221121211112111121111211221211+112212iiicAAuuuuuTdsdx dxxx xx xxxuuuuxxxxxxuuxxx 2222121221211212jiijAjiuudx dxxxxuudx dxxxx 1212jiijjiuudx d

25、xxx1211ijiiijcAuTdsdx dxxx *式（3）左端的第一项积分，同样应用Green积分变换则可得： 式中，应变能密度 ，在全量理论单调加载下： 于是式（13）变为： 式（12）与式（15）相等，即证明了在满足不计体力式（9），小应变式（11）以及单调加载式（14）条件时，J积分的路径无关性得到了严格的证明，即J积分的回路积分具有守恒性。（14） （13） （15） 2121211ijcAAijWWWdxdx dxdx dxxxijijWdijijW2121ijijcAWdxdx dxx （2） J积分与裂纹尖端的应力应变场 在线弹性情况下，裂纹尖端区域应力应变的渐近表达式为：

26、 式中， ， 分别应力分量和应变分量的角因子。由式（16）可见，裂纹尖端区域的应力应变场由KI唯一确定，在裂纹尖端应力、应变都具有 的奇异性，KI正是这种奇异性强弱的反映。 在弹塑性情况下，Rice、Rosengren、Hutchinson对幂硬化材料根据塑性全量理论，证明了J积分决定着裂尖弹塑性应力应变场的强度，也具有奇导性，是描述裂尖弹塑性应力应变场的有效参量。应力应变的渐近表达式为： （16） ,2,2IijijIijijKrrKrr ij ij1/r 式中，A为材料有关的常数，N是材料的幂硬指数，In是N的函数（ ），当0N1时，其误差小于2%， 与 为角因子，是和N的无量纲函数。 可

27、以看出式（17）与（16）在形式上十分一致，其中J与KI相当。这表明在弹塑性状态下，可以用J作为参量建立断裂准则： 其中， JIC是平面应变条件下J积分的临界值。由于J积分的守恒性只在简单加载条件下才能成立，不允许有卸载，因此，不允许裂纹发生亚临界扩展，断裂准则为启裂准则。（17） 1111,NNNNijijnNNNNijijnJrArNAIJrArNAI10.3 0.134.8nINN,ijr,ijr（18） ICJJ * HRR奇异性 取裂纹尖端为圆心，半径为r的圆周作为积分回路，则 ， ， ，代入式（1）得： 由于J积分的守恒性（J=常量），上式在不同的r值下均能成立。故r 0，上式左边

28、有1/ r的奇异性，因而右边也必须有这种奇异性。但在右边被积函数的所有项都是 的齐次型，因而应具有下述特性： 因此，我们有理由取 和 的奇异性主项为：（21） （19） （20） 2sinxr2cosdxrd dsrd1cosiiuJWrdTrdx 1cosiiuJWdTdrx ijij 1ijijr 当r 0 时， ijijpqijijrr 代入式（20），比较r的幂次后得： 对幂硬化材料有下述应力应变关系： 式中， 为等效应力， 为等效塑性应变，A为材料常数，N为硬化指数。将式（21）代入式（23），并比较r的幂次有： 联立求解式（23）、（24）得： 这就有明应力具有 ，应变具有 的奇异

29、性。 当材料服从用下表示的纯幂乘应力-应变关系时：（24） （25） （22） （23） 1pqNpApNq111NpqNN1NNr11Nr00()n 式中， 和 分别表示材料的屈服应变和屈服应力，n为材料的幂硬指数（n=1/N），为材料的幂硬系数。则式（17）可写成更一般的形式：（26） 00110201020,nijijnnnijijnEJnI rEJnI110120,nnniinEJurunEI （3） J积分与能量释放率G的关系 对于线弹体，J积分守恒成立的几个前提条件（不计体力，小应变，单调加载）都是自然具备的。用J积分描述的应力应变奇异性（HRR奇异性），当n=1（即线弹性体）时也

30、均反映为 。因此，J积分理论可以用来分析线弹性平面裂纹问题。 由J积分的回路分定义式（1），线弹性平面应变条件下，应变能密度： 将I型裂纹尖端区域的应力分量代入并化简后得：（27） 1/r22211221122121112222ijijWE 2221cos12sin222IKWrE * 若取裂纹尖端为中心，r为半径的圆周作为积分回路，并考虑式（27），则可求出式（1）的第一项积分为： * 由（5）式 及I型裂纹的位移表达式：2211 2cos4IKWdxWrdE （28） 1112131cossincoscos2222IKTr212223cossincossin2 22IKTr21cos12s

31、in222IKruG22sin22cos222IKruG 代入到式（1）的第二项积分，并应用坐标变换的微分关系： ，经化简后得： 将式（28）及式（29）代入式（1）可得： 平面应力状态下E=E。 式（30）表示在线弹性状态下，J积分与应力强度因子KI以及裂纹扩展能量释放率GI之间的关系。可见，在线弹性状态下， J=JIC仍然适用，而且与K准则，G准则完全等效。 （29） （30） 1sincosxrr21121111324IiiiKuuuTdsTTrdxxxE 2221IIIKJKGEE （4） J积分与COD的关系 （a）小范围屈服 在平面应力条件下，Irwin提出的小范围屈服下的COD计

32、算公式为： 由（30）式： 于是得： （b）D-B带状塑性区模型 D-B模型是一个弹性化的模型，带状塑性区为广大弹性区所包围，满足了积分守恒的诸条件。 （32） （31） 244IIssKGE 2IIKJGE4sJ 或4sJ 若取带状塑性区边界ABD作为积分回路，由于路径AB和BD均平行于x1轴，故dx2=0，而ds=dx1。作用于路径上的Ti ，在AB上为T2 =s，在BD上为T2 =-s 。路径上的位移分量ui，只有方向x2的v，代入式（1）得： 如果考虑材料在塑性区内的加工硬化，其中的流变应力 比s要大，再考虑裂纹前缘并非处于理想的平面应力状态，一般应对应（33）加以修正（33） （34

33、） 2222121111|()()iiABBDBDsAsBsABDBsADsuuuJWdxTdsTdxTdxxxx 12ffsbsJk 式中，k称为COD减小因子，其值与试样塑性变形的程度以及裂纹前缘的应力状态有关，一般取k = 1.12.0。 (c) 按HRR奇异场解导出J与的关系 Rice建议用下图所示两条从裂纹顶端发射的45线定义与裂纹表面交点处的张开位移定义为t。 由式（26）的HRR解，取u1=ux，u2=uy ，令=有: 由变形后的情况及t的定义: 将式（35）代入式（36），并记 ； （35） （36） 110120110120,nnnxxnnnnyynEJurunEIEJuru

34、nEIxyruu ,xxunun ,yyunun 110120nnnxynEJrrununEI 求得: 将上述r代入式（35）的uy中，其中 得: 上式中: 式（38）、（39）适用于平面应力与平面应变两种情况，但其相应的dn值不同。 （38） （39） （37） 11020nnnnxynEJrununEI 111110120nnnnxynEJrununEI02tynJud 11001,2nnnnyxynddnunununEEI (5) J积分的形变功率定义 由式（30），在线弹性范围内， J=GI，即: 式中，为单位厚度试样的位能；U为单位厚度试样的应变能。式（40）表明积分与试样加载过程中

35、具有的位能变化率有关，这直接把积分与外加载荷及施力点位移联系起来。 Rice经过繁琐的分析指出，对于非线性弹性体二维试样，式（40）仍然成立。（40） ()()()IPUUJGaaa 但应用于弹塑性体时必须注意两个问题： （a）塑性变性是不可逆的，裂纹扩展将意味着局部卸载，故 不能理解为裂纹扩展的能量释放率，而是具相同几何外形，在相同外载和边界约束下，具有裂纹长度为a和a+da的两个试样单位厚度的位能差率。 （b）必须限于单调加载和小应变条件。 其证明如下： 对弹性（线性或非线性）二维物体，其单位厚度的总位能: aJ 12iiiicDcUTu dsWdx dxTu ds （41） 式中，U是单

36、位厚度应变能，W是应变能密度，C是物体的边界，D是物体的面积。 下图的两个二维弹性体，它们的差别只是裂纹长度相差a。为便于分析，先研究带圆弧切口的二维弹性体，显然，当切口圆弧半径趋于零时，弹性体就成为二维裂纹体了。 由图可见，物体图b比物体图a少了块长度为D的阴影面，相应的切口顶端边界 记为t 。于是a、b两物体单位厚度应变能之差为: U= Ub-Ua 其中 ，D为物体b的面积， 为物体a中任意一点的应变能密度。 , 为物体b中任一点的应变能密度， 为物体b中相应于物体a中同一点处应变分量的增量，于是:A QB12aijDDUWdx dxijW12bijijDUWdx dxijijWij 因为

37、D = x2*a ，又a很小，可以认为D在中W沿x1方向无变化，从而从（42）右端的第二项可表示为: 为证明(40)式,取 将(43)式代入(42),再代入(44)中得:12121212ijijijDDDijijijijDDUWdx dxWdx dxWWdx dxWdx dx（42） （43） （44） 212202txijijDijWdx dxaWdxaWdx 0limaUUaa （45） 122tDUWdx dxWdxaa 上式右端的第二项积分，因为在t上，Ti =0，故可改写为: 式（45）右端的第一项积分，因为弹性体有 ，由式（12），并且da沿dx1方向，故有: 将式（47）、（46

38、）代入式（45）得:（46） （47） 221ttiiuWdxWdxTdsJx ijijW1212ijiijiDDCuWdx dxdx dxTdsaaaiiCuUJTdsaa iiCiiCuUJTdsaaUTu dsaa (a) 恒载荷情况 两个裂纹长相差da的物体下端作用有恒力P。裂纹长为a的物体其施力点位移为1，而裂纹长为a+da的物体则有位移2 。单调加载过程中画出P曲线如图a所示。外力功W=P ，应变能 ，即P 曲线下的面积；位能 ，U*为P 曲线与纵轴所围成的面积，称为余能。因此，裂纹长度a和a+da的两条P 曲线所围成的面积OABO就应该反映它们的位能差率，于是有：（48） 0UPdUPU 00PPPPPUJdadPdPaaaaa (b) 恒位移情况 裂纹体在外力作用下产生位移后，固定两端形成恒位移条件。由于裂纹长度不同， a和a+da的两物体产生相同的位移所需要的力也不同，分别为P1和P2 。此时外力功为W=0，故位能等于应变能U 。两物体的位能差率仍由面积OABO所决定。从而有： 当物体的厚度B1时，有：