电磁场的矢势和标势

1、 本章所研究的问题是电磁波的辐射。方本章所研究的问题是电磁波的辐射。方法和稳恒场情况一样，当考虑由电荷、电法和稳恒场情况一样，当考虑由电荷、电流分布激发电磁场的问题时，引入势的概流分布激发电磁场的问题时，引入势的概念来描述电磁场比较方便。念来描述电磁场比较方便。本章首先把势的概念推广到一般变化电本章首先把势的概念推广到一般变化电磁场情况，然后通过势来解辐射问题。磁场情况，然后通过势来解辐射问题。 为简单起见，讨论真空中的电磁场：为简单起见，讨论真空中的电磁场： 0 tDjHBtBED , A. , 00HBED针对磁场针对磁场引入引入 的物理意义可由下式看出：的物理意义可由下式看出：即在任一时

2、刻，矢量即在任一时刻，矢量 沿任一闭合回路沿任一闭合回路L的线积的线积分等于该时刻通过以分等于该时刻通过以L为边线的曲面为边线的曲面S的磁通量。的磁通量。 0 BABLSsdBl dAAA对于电场对于电场 不能像静电场那样直接引入电势。由不能像静电场那样直接引入电势。由Faraday电磁感应定律可得：电磁感应定律可得： EtAAttBE)(0tAEtAE即即 tAEtAEAB 当当 与时间无关，即与时间无关，即 时时,且且这时这时 就直接归结为电势；就直接归结为电势；A0tAE 绝对不要把绝对不要把 中的标势中的标势与电势与电势 混为一谈。因为在非稳恒情混为一谈。因为在非稳恒情况下，况下， 不

3、再是保守力场，不存在势能的概念，不再是保守力场，不存在势能的概念，这就是说现在的这就是说现在的 ，在数值上不等于把单位正电，在数值上不等于把单位正电荷从空间一点移到无穷远处电场力所做的功。为荷从空间一点移到无穷远处电场力所做的功。为了区别于静电场的电势，把这里的了区别于静电场的电势，把这里的 称为标势称为标势（Scalar potential)。 在时变场中，磁场和电场是相互作用着的在时变场中，磁场和电场是相互作用着的整体，必须把矢势整体，必须把矢势 和标势和标势 作为一个整体来作为一个整体来描述电磁场。描述电磁场。tAE)(EEA 虽然虽然 和和 ，以及，以及 和和 是描述电磁场的两是描述电

4、磁场的两种等价的方式，但由于种等价的方式，但由于 、 和和 、 之间是微之间是微分方程的关系，所以它们之间的关系不是一一对分方程的关系，所以它们之间的关系不是一一对应的，这是因为矢势应的，这是因为矢势 可以加上一个任意标量函可以加上一个任意标量函数的梯度，结果不影响数的梯度，结果不影响 ，而这个任意标量函数，而这个任意标量函数的梯度在的梯度在 中对中对 要发生影响，但要发生影响，但将将 中的中的 与此融合也作相应的与此融合也作相应的变换，则仍可使变换，则仍可使 保持不变。保持不变。EBAEBAABtAEEtAEE 设设 为任意的标量函数，即为任意的标量函数，即 ，作下，作下述变换式：述变换式：

5、于是我们得到了一组新的于是我们得到了一组新的 ，很容易证明：，很容易证明：),(txtAAA . A由此可见，由此可见， 和和 描述同一电磁场。描述同一电磁场。EtAttAtAtttABAAAA)()()()()()() . (A) . (A 库仑规范条件为库仑规范条件为 ，即规定，即规定 是一个是一个有旋无源场（横场）。这个规范的特点是有旋无源场（横场）。这个规范的特点是 的纵的纵场部分完全由场部分完全由 描述（即描述（即 具有无旋性具有无旋性)，横，横场部分由场部分由 描述（即描述（即 具有无源性）。由具有无源性）。由可见，可见， 项对应库仑场项对应库仑场 ， 对应着感应对应着感应0 AA

6、EAtAtAE库EtA场场 。 洛仑兹规范条件为洛仑兹规范条件为 ，即规，即规定定 是一个有旋有源场（即是一个有旋有源场（即 包含横场和纵场两包含横场和纵场两部分），这个规范的特点是把势的基本方程化为部分），这个规范的特点是把势的基本方程化为特别简单的对称形式。特别简单的对称形式。感E012tCAAA 从从Maxwells equations及及出发推导矢势出发推导矢势 和标势和标势 所满足的方程所满足的方程，得到：，得到：00B=H DEAEBAt A02022222)1(1AtjtcAtAcA 上述方程化为上述方程化为此时，标势所满足的方程与静电场相同。此时，标势所满足的方程与静电场相同。

7、 )0( AjtctAcA02222202)(11012tcA上述方程化为上述方程化为这就是所谓这就是所谓。jtAcAtc022220222211 试求单色平面电磁波的势试求单色平面电磁波的势 单色平面电磁波在没有电荷，电流分布的自单色平面电磁波在没有电荷，电流分布的自由空间中传播，因而势方程（达朗贝尔方程在由空间中传播，因而势方程（达朗贝尔方程在Lorentz规范条件下）变为波动方程：规范条件下）变为波动方程：其解的形式为：其解的形式为：010122222222tAcAtc由由Lorentz规范条件规范条件 ，即得，即得这表明，只要给定了这表明，只要给定了 ，就可以确定单色平面电，就可以确定

8、单色平面电磁波，这是因为：磁波，这是因为：012tcAAkcicAk i220)(1A)(0)(0txkitxkieAAe)()()(2222AkkciAkAkkciAiAkck iAik itAE横纵横纵横Ak iAk iAk iAAk iAk iAB)(0 0（对于单色平面波而言）（对于单色平面波而言）如果取如果取 ，即只取，即只取 具有横向分量，那么具有横向分量，那么有有从而得到：从而得到：因此有：因此有：BncBkc2横AAA0横AkAk02Akc其中：其中：如果采用库仑规范条件，势方程在自由空间中变如果采用库仑规范条件，势方程在自由空间中变为为横横AiAitAtAEAk iAk iA

9、B)0( Ak0110222222tctAcA当全空间没有电荷分布时，库仑场的标势当全空间没有电荷分布时，库仑场的标势 ，则只有则只有其解的形式为其解的形式为由库仑规范条件得到由库仑规范条件得到即保证了即保证了 只有横向分量，即只有横向分量，即 ，从而得到，从而得到0012222tAcA)(0txkieAA0Ak iAA横AA通过例子可看到：通过例子可看到： 库仑规范的优点是：它的标势库仑规范的优点是：它的标势 描述库仑作描述库仑作用，可直接由电荷分布用，可直接由电荷分布 求出，它的矢势求出，它的矢势 只有只有横向分量，恰好足够描述辐射电磁波的两种独立横向分量，恰好足够描述辐射电磁波的两种独立偏振。偏振。 洛仑兹规范的优点是：它的标势洛仑兹规范的优点是：它的标势 和矢势和矢势 构成的势方程具有对称性。它的矢势构成的势方程具有对称性。它的矢势 的纵向部的纵向部) 0