社会统计学(卢淑华),第四章

1、第四讲二项分布及其它离散型随机变量的分布第一节 二点分布1、贝努里试验指只有两个可能结果的随机试验。在现实生活中许多随机现象只有两种结果，如，男-女；出现-不出现；合格-不合格等。关注的结果-“成功”；另一结果“失败”2、n重贝努里试验如果试验在相同的条件下重复n次，并且每次的试验结果相互独立，则称n重贝努里试验。3、二点分布-一次贝努里试验的概率分布；二项分布-n次贝努里试验的概率分布；4、二点分布是二项分布的特殊情况5、二点分布 ：分布列：6、二点分布的性质1）P（=0）0P（=1） 02）P（=0）+ P（=1）=q+p=13）二点分布的期望与方差E（）=0 q+1 p=pD（）= E（

2、2） （ E）2=02 q+12 p p2= p p27、二分变量中取值0和1 只表示定类变量的编码，这种变量又称虚拟变量。变量的取值只有两类 ；x 0代码：0、1 ；1pqpR n n n n nPn nn 1 n m 1 P第二节 排列不组合一、排列1、重复排列：2、非重复排列：3、全排列mmmn!n m!nn n!例:任选5个数字，可组成多个编号？30人的班级，任意安排2人担任正副班长，有多少种排法？5种户型的住房，分给5人，有多少种分配方案？二、组合：例：家庭成员共8人，问有多少对人际关系？（2人形成一对人际关系，且与方向无关）PPCmnmmmnn!m!n m!nn 1 n m 1m!

3、第三节 二项分布一、二项分布（n：实验次数 P：A在每次实验中出现的概率）1、与二点分布的区别将同样的实验或观察，独立的重复n次例：连续投掷硬币四次2、推广：P x Cnx P x 1 Pn x3、二次分布的定义：n次实验中事件A出现次 数的概率分布。简写为：Bn, pP0 m C n p qPm n C n p qPa b Cn p q二、变量在某一取值区间的概率1）A至多出现m次的概率2）A至少出现m次的概率3）A出现次数不少于a不大于b的概率n xxxmx 0nx mn xxxbx an xxx例：教师中吸烟的比例为50%，随机抽查教师10人，求概率：1、全不吸烟2、1人吸烟3、至少2人

4、吸烟4、2-4人吸烟E x P x x C n p q三、二项分布的数学期望6、查表方法n xxx n pn nx 0 x 05、二项分布的方差等于2 2例：根据生命表，年龄为60岁的人，可望活到下年的概率P=0.95。设某单位年龄为60岁的人共有10人，问：（1）其中有9人活到下年的概率为多少（2）至少有9人活到下年的概率为多少（3）至多有9人活到下年的概率为多少P x P x P xP1x1 P2x2 1 P1 P2 1 2第四节 多项分布以三项分布作为研究对象，依此类推1 2 31 2 3n!x1! x2 ! x3!三项分布： Px1 , x2 , x3 因为：x1 x2 x3 nP1

5、P2 P3 1所以，三项分布也可写成：n x xn!x1! x2 !n x1 x2 Px1 , x2 例：1、某班有学员30名，其中兄弟民族13 名。任抽5名，求其中兄弟民族人数的概率分布。2、一批产品共20件，其中6件不合格。任抽3件，求不合格产品的概率分布。第五节 超几何分布1、适用条件：小群体研究2、例：设小组共有10名成员，7男3女。从中任抽3名，求其中男性人数的概率分布。C CC超几何分布的概念及公式设总体性质共分为两类：A类和非A类。总体总数N。A类共有m个，从中任抽n个（nN-m），则n中含有A类个数“”的概率分布为（x=0，1，）当N很大，n较小时，超几何分布近似二项分布。nN

6、xmn xN mP x 第六节 泊松分布一、公式：它是二项分布（n,p）的极限分布，只有一个参数 。 eP xx!D E E x x! e 泊松分布参数的实际内容为它是其分布的数学期望 或方差。应用：设在填写居民身份证1000张卡片中，共发现错字300个，问每张居民身份证出现错字数的概率分布如何？二、泊松分布的性质1、泊松分布为离散型随机变量分布，取值为0和一切正整数。X=0，1，2，2、泊松分布的数学期望和方差xx 0 x! 22 2 2x0 x续前3、当P0.1，甚至在n不必很大的情况下，这种近似也存在，当n10时，这种近似程度就很好了例题已知某校有5%的学生是贫困生，随机抽出50人，求下列情况的概率：1、至多2位贫困生2、至少1位贫困生解设贫困生数为X，则Xb（50，0.05），n很大，p很小，近似服从泊松分布。 =50*0.05=2.51、查累积泊松分布表，p(x2）=0.54382、p(x1)=1-p(x=0)=0.9179续泊松分布的性质4、泊松分布适合稀少事件的研究，也就是P值都很小的情况。对于事件流，如果满足以下三个条件：1）稳定性：概率规律在时间上是不变的2）独立性：在不相交的时间间隔内，发生两个以上事件是 相互独立的3）普遍性：在同一瞬间内，发生两个以上事件是不可能的。则：随机事件发生次数的