留数的理论及应用

1、留数的理论及应用摘要：留数定理是复积分和复级数理论相结合的产物，需要正确理解孤立奇点的概念与孤立奇点的分类和函数在孤立奇点的留数概念掌握留数的计算法，特别是极点处留数的求法，实际中会用留数求一些实积分留数是复变函数论中重要的概念之一，它与解析函数在孤立奇点处的洛朗展开式、柯西复合闭路定理等都有密切的联系现在研究的留数理论就是柯西积分理论的继续，中间插入的泰勒级数和洛朗级数是研究解析函数的有力工具留数在复变函数论本身及实际应用中都是很重要的，它和计算周线积分的问题有密切关系此外应用留数理论，我们已有条件去解决“大范围”的积分计算问题，还可以考察区域内函数的零点分布状况关键词：留数理论；泰勒级数；

2、积分Residue Theory and Its Application Abstract：Residue theorem is a complex series points and complex product of the combination of theory，the need to correctly understand the concept of an isolated singular point with the isolation of the classification and function in the isolated singular point of

3、 the concept of residueHave left the number of calculations，especially Department to stay the number of poles for law，in practiceWill remain a few point for some of itTo stay the number of complex function theory，one important concept，it is analytic function in the isolated singular point Laurent ex

4、pansions，Cauchys theorem，such as closed-circuit complex are closely linkedResearch now is to stay a few theories Cauchy integral theory is the continuation of the middle insert Taylor series and Laurents series is to study a powerful tool for analytic functionsStay a few in the complex function theo

5、ry and practical application in itself is very important and calculation of weeks of its line integral is closely related to the problemIn addition the application of residue theory，we have the conditions to solve the”ide range”he integral calculation can also visit the region function against distr

6、ibutionKey word：Cauchy integral theory；Theory of Taylor；Series to stay a few points引言对留数理论的学习不仅是前面知识的延伸，更为对原函数不易直接求得的定积分和反常积分的求法提供了一个较为方便的方法1.留数的定义定义1设函数以有限点为孤立奇点，即在点的某去心邻域内解析，则称积分为在点的留数(residue)，记为定义2 设为函数的一个孤立奇点，即在去心邻域内解析，则称为在点的留数，记为，这里是指顺时针方向(这个方向很自然地可以看作是绕无穷远点的正向)2.留数的定理定理1 (柯西留数定理) 在周线或复周线所范围的区

7、域内，除外解析，在闭域上除外连续，则(“大范围”积分) 定理2设为的阶极点，其中在点解析，则这里符号代表，且有推论3设为的一阶极点，则推论4设为的二阶极点，则定理5设为的一阶极点(只要及在点解析，且)，则定理6如果函数在扩充平面上只有有限个孤立奇点(包括无穷远点在内)，设为，则在各点的留数总和为零定理7设为有理分式，其中与为互质多项式，且符合条件：(1) ；(2)在实轴上，于是有定理8设，其中及是互质多项式，且符合条件：(1) 的次数比的次数高，(2)在实轴上，(3) ，则有定理9设是一条周线，符合条件：(1) 在的内部是亚纯的；(2) 在上解析且不为零则有，式中与分别表示在内部的零点与极点的

8、个数(一个阶零点算作个零点，而一个阶极点算作个极点)定理10(儒歇定理)设是一条周线，函数及满足条件：(1)它们在的内部均解析，且连续到；(2)在上，则函数与在的内部有同样多(几阶算作几个)的零点，即3.留数的引理引理1设沿圆弧 (，充分大)上连续，且于上一致成立(即与中的无关)，则引理2(若尔当引理)设函数沿半圆周 (，充分大)上连续，且在上一致成立，则引理3(1)设为的阶零点，则必为函数的一阶极点，并且；(2)设为的阶极点，则必为函数的一阶极点，并且4.留数的计算例1计算积分解显然，被积函数在圆周的内部只有一阶极点及二阶级点由推论3，；由推论4，；故由留数定理得例2 计算积分 (为正整数)

9、解只以为一阶极点，由定理5得于是，由留数定理得例3计算积分解只以为三阶极点由定理2得，故由留数定理得例4计算积分解在单位圆周的内部，函数只有一个本质奇点在该点的去心邻域内由洛朗展式，于是故由留数定理得例5计算积分解被积函数一共由七个奇点：以及前六个奇点均含在内部要计算内部六个奇点的留数和是十分麻烦的，所以应用上述定理及留数定理得由下式可知在处的洛朗展式中这一项的系数，因此，故另外，也可应用公式先看，它以为一阶极点所以例6计算积分解命，则当时，这样就有，且在圆内，只以为一阶极点，在上无奇点，以公式有，所以，由留数定理得例7计算积分解命，则，其中为实系数二次方程的两个相异实根由根与系数的关系，且显

10、然，故必于是，被积函数在上无奇点在单位圆内只有一个二阶级点和一个一阶极点由公式及得，由留数定理得例8计算积分，为正整数解因为积分号下的函数为的偶函数，故，命，则设，则在圆周内部，积分号下函数仅有一个一阶极点，于是，故由留数定理，于是知，所以例9 设，计算积分解因，它一共有四个一阶极点，且符合定理7的条件而(这里用到了)在上半平面内只有两个极点及，于是5.留数的应用例10设，试验证辐角原理解在平面上解析，在上无零点，且在的内部只有一阶零点及二阶零点所以，一方面由；另一方面，当沿正方向绕一周时，有，于是，例11 设次多项式在虚轴上没有零点，试证明它的零点全在左半平面内的充要条件是即当点自下而上沿虚轴从点走向点的过程中，绕原点转了圈解令周线是右半圆周以及虚轴上从到的有向线段所构成于是的零点全在左半平面的充要条件为对任意均成立，由即知此条件可写成 （1）但我们有，其中，在时沿一致趋于零由此知 另一方面又有这样一来，（1）就是我们所要证明的例12试证：当时，方程在单位圆内有个根证在单位圆周上，有，即有