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文档简介
1、习题二1化下列矩阵为Smith标准型：（1）;（2）;（3）;(4).解：（1）对矩阵作初等变换，则该矩阵为Smith标准型为；（2）矩阵的各阶行列式因子为,从而不变因子为故该矩阵的Smith标准型为；（3）对矩阵作初等变换故该矩阵的Smith标准型为;(4)对矩阵作初等变换在最后的形式中，可求得行列式因子,于是不变因子为故该矩阵的Smith标准形为.2.求下列矩阵的不变因子：（1）；（2）；（3）；（4）.解：（1）该矩阵的右上角的2阶子式为1，故而，所以该矩阵的不变因子为;（2）当时，由于，故不变因子为，当时，由于，且该矩阵中右上角的3阶子式为且，则，故，所以该矩阵的不变因子为;（3）该矩
2、阵的右上角的3阶子式为，故而，所以该矩阵的不变因子为 ;（4）该矩阵的行列式因子为,所以该矩阵的不变因子为.3求下列矩阵的初等因子：（1）；（2）.解：(1)该矩阵的行列式因子为，故初等因子为；(2) 该矩阵的行列式因子为，故不变因子为因此，初等因子为.4求下列矩阵的Jordan标准形：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.解：（1）设该矩阵为，则，故的初等因子为，则的Jordan标准形为；（2）设该矩阵为，则，故的初等因子为，从而的Jordan标准形为；（3）设该矩阵为，则,故的初等因子为从而的Jordan标准形为;（4）设该矩阵为，则,故的初等因子为，从而的Jordan标准形为;
3、（5）设该矩阵为，则,故的初等因子为，从而的Jordan标准形为;（6）设该矩阵为，则，该矩阵的各阶行列式因子为，则不变因子为，故初等因子为，则的Jordan标准形为.5设矩阵，求.解：矩阵的特征多项式为，故的特征值为,.属于特征值的特征向量为,属于的特征向量为.设,则.,故.6.设矩阵，求的Jordan标准形，并求相似变换矩阵，使得.解:(1) 求的Jordan标准形.,故其初等因子为，故的Jordan标准形.(2)求相似变换矩阵.考虑方程组即解之,得.其通解为=,其中为任意常数.考虑方程组,故当时,方程组有解.取,解此方程组,得.则相似变换矩阵.7.设矩阵，试计算.解: 矩阵的特征多项式为,由于,其中.且,故=.8.证明：任意可逆矩阵的逆矩阵可以表示为的多项式.证明:设矩阵的特征多项式为,则,即,因为可逆,故,则9.设矩阵，试计算.解: 矩阵的特征多项式为,则,而,故.10.已知3阶矩阵的三个特征值为1，1，2，试将表示为的二次式.解: 矩阵的特征多项式为,则设,由得解之，得,因此.11.求下列矩阵的最小多项式：（1）；（2）；（3）阶单位阵；（4）阶方阵，其元素均为1；（5）.解:(1) 设,则,故该矩阵的最小多项式为.(2) 设,则,故该矩阵有三个不同的特征值,因此其最小多项式为(3) 阶
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