正态分布及参考值范围

1、051015202530353.74.14.54.95.35.7人数00.20.40.60.811.23.544.555.56概率密度0501001502002503003503.74.14.54.95.35.7人数观察人数不断观察人数不断增加，组段不增加，组段不断细分，直条断细分，直条不断变窄不断变窄顶端逐渐接近一顶端逐渐接近一条光滑的曲线条光滑的曲线红细胞数（红细胞数（10101212/L/L） 红细胞数（红细胞数（10101212/L/L） 红细胞数（红细胞数（10101212/L/L） 某地某地140140名正常名正常成年男子红细成年男子红细胞数（胞数（10101212/L/L） 频数

2、分布图频数分布图中间高，两边低，左右对称，呈钟形中间高，两边低，左右对称，呈钟形正态分布曲线正态分布曲线中间高中间高两边低两边低两边低两边低左右对称左右对称呈钟形呈钟形正态分布曲线正态分布曲线X的取值是连续的的取值是连续的X正态分布的数学函数表达式正态分布的数学函数表达式 x,-e21f(x)222)-(x则称则称X X服从正态分布，记作服从正态分布，记作XNXN（ ， 2 2）。）。如果随机变量如果随机变量X X的概率密度函数满足的概率密度函数满足 为总为总体均数体均数 2 2 为总为总体方差体方差X X（1 1）正态分布曲线位于直角坐标系上方，呈钟）正态分布曲线位于直角坐标系上方，呈钟形，

3、中间高，两边低，以形，中间高，两边低，以x=x=为中心，左右完全为中心，左右完全对称，两端以对称，两端以x x轴为轴为渐近线渐近线。（2 2）在）在x=x=处，处，f(x)f(x)有最大值有最大值 x x越远离越远离， f(x)f(x)值越小。在值越小。在 处有拐点。处有拐点。 正态分布的特征正态分布的特征（3 3）正态分布有两个参数：位置参数正态分布有两个参数：位置参数均数均数和形态参数（又叫变异度参数）和形态参数（又叫变异度参数）标准差标准差。正态分布曲线只与这两个参数有关。正态分布曲线只与这两个参数有关。位置参数位置参数均数均数 决定正态分布曲线在横轴上决定正态分布曲线在横轴上的集中位置

4、。固定形态参数的集中位置。固定形态参数，改变，改变的值，曲线沿的值，曲线沿 x x轴平轴平行移动，曲线形状不变。行移动，曲线形状不变。正态分布位置变换示意图00.20.40.60.811.23.544.555.566.57=4.75=5.95形态参数形态参数标准差标准差 决定正态分布曲线的形状。决定正态分布曲线的形状。固定位置参数固定位置参数 ，值变小值变小，曲线变，曲线变“瘦高瘦高”（陡峭），（陡峭）， 值变大，曲线变值变大，曲线变“矮胖矮胖”（平坦），曲线位置不变平坦），曲线位置不变 。 正态分布形态变换示意图00.20.40.60.80123456789 10 11 12 13 14=0

5、.5=1=2正态分布的特征正态分布的特征（4 4）正态分布曲线下的面积规律：）正态分布曲线下的面积规律：概率分布函数：概率分布函数：x2)-(x-dxe21(x)22F 服从正态分布的随机变量在一区间上曲线下服从正态分布的随机变量在一区间上曲线下的面积与该随机变量在同一区间内取值的概的面积与该随机变量在同一区间内取值的概率相等。率相等。正态分布的特征正态分布的特征+1.96+1.962.58+2.5868.27%95%99% x x轴与正轴与正态分布曲线态分布曲线所夹面积恒所夹面积恒等于等于1 1或或100%100%正态分布是一正态分布是一个分布簇。曲个分布簇。曲线与线与和和两个两个参数有关，

6、对参数有关，对应于不同的参应于不同的参数数和和会产生会产生不同位置不同不同位置不同形状的正态分形状的正态分布曲线。布曲线。区间区间 的面的面积为积为68.27%68.27%，区间区间 1.961.96的的面积为面积为95%95%，区，区间间 2.582.58的面的面积为积为99%99%。100%为了更方便用为了更方便用统一的统计量统一的统计量表，将其转化表，将其转化为为标准正态分标准正态分布布（standard standard normal normal distribution)distribution)由上式可得出：由上式可得出：）（96. 1标准正态分布标准正态分布-2.58 -1.9

7、6 -1 0 1 1.96 2.582.58 1.96 + +1.96 +2.58 标化过程标化过程 u u变换变换 -xuxN（ ，2）uNuN（0 0，1 1）平移过程：平移过程：使均数使均数 变为变为0 0 “x”“x” ）（ ）（100%68.27%95%99%改变形状：改变形状：使标准差由使标准差由 变为变为11“x“x/ /”ux95. 0)96. 1()96. 1 ()96. 196. 1(uP6827. 0) 1() 1 () 11(uP99. 0)58. 2()58. 2()58. 258. 2(uP标准正态分布表标准正态分布表标准正态分布曲线下的面积可以通过查标准正标准正态

8、分布曲线下的面积可以通过查标准正态分布表得到态分布表得到-2.58 -1.96 -1 0 1 1.96 2.5899%95%68.27%某地某地108108名正常成年女子的血清总蛋白（名正常成年女子的血清总蛋白（g/Lg/L）含量如）含量如下表，试估计该地正常女子血清总蛋白下表，试估计该地正常女子血清总蛋白68.0g/L68.0g/L、78.0g/L78.0g/L、和、和 78.0g/L78.0g/L所占正常女子总人数的百分所占正常女子总人数的百分比。比。表表 某地某地108名正常成年女子的血清总蛋白（名正常成年女子的血清总蛋白（g/L）含量）含量67.3 75.4 73.1 70.9 75.

9、1 72.6 78.2 68.8 73.8 71.5 66.5 75.170.7 68.9 73.3 72.3 76.5 74.3 75.9 75.4 67.2 71.8 76.2 70.6。64.1 75.1 76.3 77.8 65.2 75.0 72.7 78.8 71.1 71.8 72.9 76.171.2 75.2 72.9 79.5 73.9 75.2 73.1 79.5 81.8 74.5 81.6 74.5解：解：（1 1）计算均数、标准差。）计算均数、标准差。）（LgS/9 .31108108/0 .79820 .5915242）（LgX/9 .731080 .798273

10、.968.078.00.06550.85310.14690-1.511.05（2 2）进行）进行u u转换转换。此例样本量较。此例样本量较大，可用大，可用 代替代替 ，S S代替代替 计算计算。 X9 . 39 .730 .68u9 . 39 .730 .78uxu（3 3）查附表）查附表1 1标准正态分布表标准正态分布表，（，（u u）值）值，u0)u0)，计算，计算曲线下面积。曲线下面积。（-1.51-1.51）=0.0655=0.0655，故，故P P（X68.0X68.0）=0.0655=0.0655（-1.05-1.05）=0.1469=0.1469，故，故P P（X78.0X78.0）=1-0.1469=0.8531=1-0.1469=0.8531 P P（X78.0X78.0）=0.1468=0.1468（4 4）下结论。该地正常女子血清总蛋白含