546教学一得如何求圆锥曲线中点弦的轨迹方程

1、教学一得：如何求圆锥曲线中点弦的轨迹方程冰儿求曲线的轨迹方程时，要仔细审题，寻找和确定求解途径，分清解题步骤，逐步推演，综合陈述完整作答，但求曲线的轨迹方程是解析几何最基本、最重要的课题之一，是代数方法研究几何问题的基础，也是高考的一个热点问题。这类问题题把基础知识、方法技巧、逻辑思维能力、解题能力融为一体。有关弦中点问题，主要有以下三种类型：过定点的弦中点轨迹；平行弦的中点轨迹；过定点且被定点平分的弦。其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法等，现具体介绍以上几种弦中点轨迹方程的求法。一、求圆锥曲线过定点的动弦的轨迹方程。其求法：（1）用直线的点斜式，当斜率存在时，设它的方程为y=

2、k(x-x0)+y0代入F(x,y)=0中。由韦达定理得x1+x2=f(k)。设中点M(x,y)，则,将代入上式得G(x,y)=0。当P在圆锥曲线外部时，再由直线与圆锥曲线相交的条件>0。求中点M的坐标x,y的取值范围。最后检验斜率不存在时x=x0与圆锥曲线的弦AB中点M的坐标是否满足G(x,y)=0(2)代点相减法也称“点差法”；例1，过椭圆的左焦点作弦。求弦中点的轨迹方程。精析：由已知能得到什么，与弦中点的轨迹方程如何转化，画出草图进行分析，寻求解答。方法一：巧解：设过左焦点F（-1，0）的弦与椭圆相交于A、B两点。设A（x1,y1），B（x2,y2）,弦中点为M（x,y）,则 由-

3、整理得 4(x1+x2)(x1-x2)+5(y1+y2)(y1-y2)=0又因为x1+x2=2x. y1+y2=2y所以 8x(x1-x2)+10(y1-y2)=0当x1x2时 由题意知 由、整理得 当x1=x2时M(-1,0)满足上式。方法二：椭圆的左焦点为F（-1，0），设焦点弦所在的直线方程为y=k(x+1)代入椭圆方程并整理得 设弦的端点A(x1,y1),B(x2,y2),中点M(x,y),则 所以 将代入y=k(x+1)得；当k不存在时，弦中点为（-1，0）满足上述方程即 为所求的轨迹方程二、求圆锥曲线中斜率为定值的平行弦中点的轨迹方程；利用直线的斜截式方程：设平行弦所在的方程为y=

4、kx+m(m为参数)代入F(x,y)=0中。利用韦达定理得x1+x2=f(k,m)，设中点M(x,y),则,y =kx+m,从中消去M，可得G（x,y）=0,再由直线与圆锥曲线相交的条件>0.得M的坐标x，y的取值范围。代点相减法；例2、求的斜率为k的平行弦中点M的轨迹方程。解：设平行弦所在的直线方程为y=kx+m（m为参数）代入，整理得 当 即2km<p时，直线与抛物线相交设两个交点，弦中点则 消去m，得 又由式及x的代数式得故动点的轨迹方程为方法二：设动弦与抛物线交于两点，弦中点则 由，整理得 又点在抛物线内部，所以 即所以所求轨迹方程为注意：在使用代点相减法时，应该注意中点在

5、圆锥曲线内部的条件，否则会增解。三、长为定值的圆锥曲线动弦中点的轨迹方程 求长为定值的弦中点的轨迹方程的方法为：设中点坐标M(x0,y0),弦与圆锥曲线的两个交点为A（x1,y1）,B(x2,y2)，利用代点相减法用x0,y0表示kAB。写出直线AB的点斜式方程，代入圆锥曲线方程，用弦长公式求解。例3、定长为2()的线段AB。其两端点在抛物线上移动。求线段中点M的轨迹方程。解：设中点M(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2)，则 由得 y1-y2=(x1+x2)(x1-x2)由题意得x1x2。直线AB的方程为y-y0=2x0(x-x0)代入得 ；由弦长公式及韦达定理得 x1+x2=2

6、x0 x1x2=2x02-y0又AB=2 即AB中点的轨迹方程为四、变式训练:1、已知，求满足条件的轨迹方程；（1）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（2）过点A（2，1）的直线与椭圆相交，求直线被截得弦的中点轨迹方程；（3）求过点且被P平分的弦所在直线方程；解：（1）设斜率为2的直线方程为y=2x+b代入 整理得：9x2+8bx+2b2-2=0设平行弦的端点坐标为(x1,y1)，（x2,y2）,则 =b2-4ac=(8b)2-4×9(2b2-2)0 得-3b3 则 （2）设与椭圆的焦点为（x1,y1）(x2,y2),弦中点为（x,y）则 由-整理得 （x1+x2）(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)=0 又 由题意知 代入整理得 即(3)由（2）得 x1+x2=1 y1+y2=1 代入