314　空间向量的正交分解及其坐标表示

1、3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示【选题明细表】 知识点、方法题号空间向量基本定理的概念1,2用基底表示向量4,6,9,10,11空间向量的坐标表示3,5,7,8【基础巩固】1.有以下三个命题:三个非零向量a,b,c不能构成空间的一个基底,则a,b,c共面;若两个非零向量a,b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底,则a,b共线;若a,b是两个不共线向量,而c=a+b(,R且0),则a,b,c能构成空间的一个基底.其中真命题的个数是(C)(A)0(B)1(C)2(D)3解析:正确,中,由平面向量的基本定理可知a,b,c共面,故为假命题.选C.2.设p:a,b,c是三个非零向量;q:a,b

2、,c为空间的一个基底,则p是q的(B)(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件解析:当非零向量a,b,c不共面时,a,b,c可以当基底,否则不能当基底.当a,b,c为基底时,一定有a,b,c为非零向量.因此p/ q,qp.故选B.3.在空间直角坐标系Oxyz中,下列说法正确的是(D)(A)向量的坐标与点B的坐标相同(B)向量的坐标与点A的坐标相同(C)向量与向量的坐标相同(D)向量与向量-的坐标相同解析:因为A点不一定为坐标原点,所以A不正确;同理B,C都不正确;由于=-,所以D正确.4.(2019武汉检测)长方体ABCD-A1B1C1D1中,AC与B

3、D的交点为M.设=a,=b,=c,则下列向量中与相等的向量是(A)(A)-a+b+c(B)a+b+c(C)a-b+c(D)-a-b+c解析:=+=+=+(+)=+(+)=c+(-a+b)=-a+b+c.故选A.5.三棱锥P-ABC中,ABC为直角,PB平面ABC,AB=BC=PB=1,M为PC的中点,N为AC的中点,以,为基底,则的坐标为解析:=-=(+)-(+)=-,即=(,0,-).答案:(,0,-)6.已知四面体ABCD,=a,=b,=c,点M在棱DA上,=3,N为BC中点,则=.解析:如图所示,连接DN,则=+=-+(+)=-a+b+c.答案:-a+b+c7.已知ABCD-A1B1C1

4、D1是棱长为2的正方体,E,F分别为BB1和DC的中点,建立如图所示的空间直角坐标系,试写出,的坐标.解:设x,y,z轴的单位向量分别为e1,e2,e3,其方向与各轴的正方向相同,则=+=2e1+2e2+2e3,所以=(2,2,2).因为=+=2e1+2e2+e3,所以=(2,2,1).因为=e2,所以=(0,1,0).【能力提升】8.以棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB,AD,AA1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则平面AA1B1B对角线交点的坐标为(B)(A)(0,)(B)(,0,)(C)(,0)(D)(,)解析:如图,由题意知平面AA1B1B对角线交点

5、的横坐标为AB的中点值,竖坐标为AA1的中点值,纵坐标为0,所以平面AA1B1B对角线交点的坐标为(,0,).故选B.9.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为AC和BD的交点,若=a,=b,=c,则=.解析:=-=(+)-(+)=-+-=-a+b-c.答案:-a+b-c10.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在B1B和D1D上,且BE=BB1,DF=DD1.(1)证明:A,E,C1,F四点共面;(2)若=x+y+z,求x+y+z的值.(1)证明:因为=+=+=(+)+(+)=(+)+(+)=+,所以A,E,C1,F四点共面.(2)解:因为=-=+-(+)=+-=-+,所以x=-1,y=1,z=,所以x+y+z=.【探究创新】11.如图,在平行六面体ABCD-ABCD中,E,F,G分别是AD,DD,DC的中点,请选择恰当的基底向量证明:(1)EGAC;(2)平