分离变量法求解偏微分方程

1、精选ppt第十章 分离变量法n第一节 有界弦的自由振动n第二节 有限长杆上的热传导n第三节 特殊区域上的位势方程n第四节 高维定解问题的分离变量法n第五节 对非齐次边界条件和非齐次方程的处理精选ppt第一节 有界弦的自由振动22222,(0, ),0( ,0)( ),( ,0)( ),0, (0, )( , )0,0tuuaxl ttxu xx u xxxlutu l tt物理解释： 一根长为 l 的弦，两端固定，给定初始位移和速度，在没有强迫外力作用下的振动精选pptn求解的基本步骤第一步：求满足齐次方程和齐次边界条件的变量分离形式的解( , )( ) ( )u x tX x T t本征值问

2、题( )( )0(0)( )0XxX xXX lX(x)：2( )( )0TtaT tT(t)：精选ppt第二步：求本征值 和本征函数 X(x)，以及 T(t)的表达式T(t)的表达式( )cossin1,2,3,nnnananT tAtBtlln本征值和本征函数2,( )sin,1,2,3,nnnlnXxxln精选ppt第三步：利用初始条件求得定解问题的解1( , )cossinsinnnnanannu x tAtBtxlll利用初始条件得02( )sinlnnAdll 02( )sinlnnBdanl 精选pptn驻波( , )cossinsinsinsinnnnnnanannux tAt

3、BtxlllnanNxtll其中22,arctannnnnnnANABB振 幅频 率初相位sinnnnaNxlnanln振动元素，本征振动驻波oln = 4精选pptn其它边界条件的混合问题22222,(0, ),0( ,0)( ),( ,0)( ),0, (0, )( , )0,0txxuuaxl ttxu xx u xxxlutu l tt( )( )0(0)( )0XxX xXX l2,( )cos,0,1,2,3,nnnlnXxxln两端自由的边界条件精选ppt22222,(0, ),0( ,0)( ),( ,0)( ),0, (0, )( , )0,0txuuaxl ttxu xx

4、u xxxlutu l tt( )( )0(0)( )0XxX xXX l21212,( )cos,0,1,2,3,nnnlnXxxln左端点自由、右端点固定的边界条件精选ppt22222,(0, ),0( ,0)( ),( ,0)( ),0, (0, )( , )0,0txuuaxl ttxu xx u xxxlutu l tt( )( )0(0)( )0XxX xXX l21212,( )sin,0,1,2,3,nnnlnXxxln左端点固定、右端点自有的边界条件精选ppt第三类边界条件的混合问题的求解中遇到的困难22222,(0, ),0( ,0)( ),( ,0)( ),0, (0,

5、)(0, )( , )0,0txuuaxl ttxu xx u xxxlututu l tt( )( )0(0)(0)( )0XxX xXXX ltanll精选pptn举例-弦的敲击22222,(0, ),0( ,0)0,( ,0)(),0, ,0(0, )( , )0,0tuuaxl ttxu xu xxcxlclutu l tt121( , )sinsinsinnn cannu x ttxanlll对不同的 c ，有界弦的自由振动精选ppt当 c=0.2l 时，有界弦的自由振动精选ppt当 c=0.5l 时，有界弦的自由振动精选pptn再例-弦的拨动2222211,(0, ),0( ,0)

6、,( ,0)0,0, , 0()(0, )( , )0,0dtl duuaxl ttxxu xu xxldllxutu l tt222121( , )sincossin()nln dannu x ttxd ldnlll对不同的 d ，有界弦的自由振动精选ppt当 d=0.5l 时，有界弦的自由振动精选ppt当 d=0.3l 时，有界弦的自由振动精选ppt第二节 有限长杆上的热传导222,(0, ),0( ,0)( ),0, (0, )( , )0,0 xuuaxl ttxu xxxlutu l tt物理解释： 一根长为 l 的均匀细杆，其右端保持绝热，左端保持零度，给定杆内的初始的温度分布，在

7、没有热源的情况下杆在任意时刻的温度分布精选pptn求解的基本步骤第一步：求满足齐次方程和齐次边界条件的变量分离形式的解( , )( ) ( )u x tX x T t( )( )0(0)( )0XxX xXX l本征值问题X(x)：2( )( )0T taT tT(t)：精选ppt第二步：求本征值 和本征函数 X(x)，以及 T(t)的表达式T(t)的表达式222122()( )exp0,1,2,3,nnanT tAtln本征值和本征函数21212,( )sin,0,1,2,3,nnnlnXxxln精选ppt第三步：利用初始条件求得定解问题的解222112220()()( , )expsinn

8、nannu x tAtxll利用初始条件得120()2( )sinlnnAdll 精选pptn举例2220,(0, ),0( ,0),0, (0, )( , )0,0 xuuaxl ttxuu xxxllutu l tt22211022222102()()2( 1)( , )expsin()nnannuu x ttxnll精选ppt当 u0=1 时，杆内温度随时间的变化精选ppt第三节 特殊区域上的位势方程n矩形域上的边值问题22220,( , )(0, ) (0, )( ,0)0, ( , ),0, (0, )( , )0,0, uux yabxyu xu x bUxauyu a yyb 散

9、热片的横截面为一矩形0,a0,b，它的一边 y=b 处于较高的温度，其它三边保持零度。求横截面上的稳恒的温度分布精选ppt021sinh4121( , )sin2121sinhnnynau x yUxnnaba参数选取1121abU精选pptn圆域内的边值问题22222222220,( , ),xyauuxyaxyuf x y 一个半径为a的薄圆盘，上下两面绝热，圆周边缘的温度分布为已知函数 f (x,y)，求稳恒状态时圆盘内的温度分布精选pptcossinxryr222110,0, 02( , )( ),( , )( ,2 ),(0, )uurrarrrru afu ru ru有限值,ora

10、+2隐含着的周期边值条件和原点约束条件精选ppt第一步：求满足齐次方程、周期边值条件和原点约束条件的变量分离形式的解( , )( ) ( )u rR r0( )(2 ) 20(0)r RrRRR有限值()： R(r)：周期本征值问题欧拉方程精选ppt第二步：求解周期本征值问题和欧拉方程0( )(2 ) 2( )cossin0,1,2,nnnnnanbnn20(0)r RrRRR有限值( ),0,1,2,nnnR rc rn精选ppt第三步：利用边界条件01( , )cossinnnnnu raanbnr20020201( )21( )cos1( )sinnnnnaf t dtaf tntdta

11、bf tntdta利用边界条件精选ppt20122222011( , )( )cos()2( )12cos()nnru rf tntdtaf tardtarart解的约化-Poisson积分公式精选pptn举例-观察法22222222220,xyauuxyaxyAuxa( , )Au x yxa精选ppt第四节 高维定解问题的分离变量法n球域内Laplace方程的边值问题n球域内波动方程的初边混合问题n球域内热传导方程的初边混合问题精选pptn球域内Laplace方程的边值问题222222222222220,( , , )xyzauuuxyzaxyzuf x y zcoscoscos sins

12、inxryrzr球面坐标变换0020ra精选ppt222222200,111sin0,sinsin( , )( , , )( , ,2 ),r aruuurrrrrrufuu ru ru 有限值,有限值,隐含着的周期边值条件和球内约束条件精选ppt第一步：求满足方程、周期边界条件和球内约束条件的变量分离的解 , ,( ) ( )u rR r 2(1)0(0)ddRrl lRdrdrR有限值R(r)：220,sinsin(1)sin0ddl lmdd 有限值()：()：20( )(2 )m 精选ppt2(1)0(0)ddRrl lRdrdrR有限值R(r)：()：20( )(2 )m 11( )

13、llllR rArBr( )llR rAr( )cossin0,1,2,mmCmDmm欧拉方程第二步：求R(r)，()和()的具体表达式精选ppt220,sinsin(1)sin0ddl lmdd 有限值()：2221(1)2(1)01xmxyxyl lyxy有限值()= (cos-1x)=y(x) ：缔合勒让德方程( )(cos )(cos )0,1,2,0,1,2,mlyPlml精选ppt00( , , )cossin(cos )llmlmlmllmu rrCmDmP 第三步：利用边界条件求解200(21)()!( , )(cos )cossin2()!mlmllmllmCfPmd da

14、lm 200(21)()!( , )(cos )sinsin2()!mlmllllmDfPmd da lm 2,01,0mmm精选pptn举例20,sincossinr aurau 002222( , , )cossin(cos )sincos sin113sinsin2(cos )sin266llmlmlmllmu aaAmBmPP 22221( , , )(cos )sin26u rr Pa 半径为a的球形内部没有电荷，球面上的电势为sin2cossin ，求球形区域内部的电势分布精选pptn附记：球函数, ,( ) ( , )u rR r Y 2(1)0(0)ddRrl lRdrdrR有

15、限值R(r)：2220,11sin(1)0sinsin( , )( ,2 )YYl lYYYY 有限值Y(,)：,(cos )cossin,0,1,2,0,1,mmllmmYPCmDmlml 球函数球方程精选pptn球域内波动方程的初边混合问题2222222222222222222220222200,0( , , ),( , , ),0,0tttxyzauuuuaxyza ttxyzux y zxyzaux y zxyzaut精选ppt第一步：首先将时间变量与空间变量分离开来，即求形如 , , , ,u x y z tv x y z T t 022 tTaktTT(t)：2222200 xyz

16、avk vv v(x,y,z)：其中 k 是待定常数精选ppt第二步：求解T(t) 0,0,sincoskDtCtTkkatDkatCtT第三步：求解v(x,y,z) 2222222200,111sin0sinsin0( , , )( , ,2 )r arvvvrk vrrrrrvvv rv rv 有限值有限值精选ppt求如下形式的解 ,YrRrv222(1)0( )0(0)ddRrk rl lRdrdrR aR有限值R(r) ：2220,11sin(1)0sinsin( , )( ,2 )YYl lYYYY 有限值Y(,)：球函数,mlY 球Bessel方程球Bessel函数122nlnAJ

17、k rk r精选ppt第四步：利用初始条件求解1200( , , , )(cos )(cossin)1cossinmllmlmnlmnnnnnlnu rtPAmBmJk rCak tDak tk r 精选pptn球域内热传导方程的初边混合问题222222222222222222200,0( , , ),0,0txyzauuuuaxyza ttxyzux y zxyzaut120022( , , , )(cos )(cossin)1expmllmnlmnnlmnnlnu rtPAmBmJk ra k tk r 精选pptn附注对于其它特殊区域上的定解问题我们同样可以利用分离变量法进行求解例如：半

18、球内或外、圆柱上的Laplace方程的边值问题半球内或外、圆柱上的波动方程和热传导的初边混合问题等精选ppt第五节 对非齐次边界条件和非齐次方程的处理n对非齐次边界条件的处理n叠加原理n对非齐次方程的处理精选pptn对非齐次边界条件的处理2222212( , ),(0, ),0( ,0)( ),( ,0)( ),0, ,(0, )( ),( , )( ),0tuuaf x txl ttxu xxu xxxlutg tu l tg tt将非齐次边界条件化为齐次边界条件( , )( , )( , )u x tv x tw x t精选ppt2111( , )( )( )( )w x tg tg tx

19、g tl其中w可以取22122211( , )( )()( )w x tg t lxg t xll或精选pptn叠加原理22222( , ),(0, ),0( ,0)( ),( ,0)( ),0, ,(0, )0,( , )0,0tuuaf x txl ttxu xxu xxxlutu l tt22222( , )( ,0)0,( ,0)0(0, )0,( , )0tuuaf x ttxu xu xutu l t22222( ,0)( ),( ,0)( )(0, )0,( , )0tuuatxu xxu xxutu l t精选pptn对非齐次方程的处理22222( , ),(0, ),0( ,0)0,( ,0)0,0, ,(0, )0,( , )0,0tuuaf x txl ttxu xu xxlutu l tt冲量定理法Fourier级数法精选pptnFourier级数法22222( , ),(0, ),0( ,0)( ),( ,0)( ),0, ,(0, )0,( , )0,0tuuaf x txl ttxu xxu xxxlutu l tt满足齐次边界条件正交完备系( )sin,1,2,3,nnXxxln精选ppt预设1( , )( )sinnnnu x tT txl0101012( , )( )sin,( )