范里安-微观经济学现代观点(第七版)-4效用(含习题解答)-东南大学-曹乾

1、Chapter 4: UtilityIn termediate Microec on omics:A Modern Approach （7 Edition）Hal R. Varia n（University of California at Berkeley）第4章:效用（含习题答案）中级微观经济学：现代方法（第 7版）范里安著（加州大学伯克利）曹乾译（东南大学 caoqianseu）简短说明：翻译此书的原因是教学的需要，当然也因为对现行中文版教材的不满，我在美国流浪期间翻译了此书的大部分。仅供教学和学习参考。4效用在维多利亚时代，哲学家和经济学家轻率地把“效用”作为衡量一个人总体福利（wel

2、l-being ）的指标。他们用效用数值衡量一个人的幸福程度。在这种思想下，自然可认 为消费者做出选择的目的是最大化他们的效用，即，使他们尽可能地幸福。问题在于这些古典经济学家从未真正地阐述过怎样衡量效用。我们应该如何量化不同选择下的效用“数额” ？某人的效用与另外一人的效用相同吗？额外一颗糖块的效用是额外一 根胡萝卜效用的两倍，这句话到底是什么意思？效用是人们希望最大化的“东西”，这里的“东西”是指什么？因为这些概念上的问题，现代经济学家已经抛弃了上述老套的观点，即他们不再把效用看成幸福的衡量指标。取而代之的是，他们用 消费者偏好 （consumer preferences）重新 改写了消费

3、者行为理论，效用仅仅被当作为一种描述偏述偏好的方法经济学家逐渐认识到，对于选择行为而言，效用最要紧的事情是是否一个商品束比另 外一个商品束效用高，至于高多少并不重要。起初，偏好是用效用定义的：说一个商品束（xX2）比另外一个商品束（,丫2）更受偏好， 表示x商品束比y商品束效用更高。但现在我们的观点正好反过来。 消费者的偏好是研究选 择行为的最基本工具，效用只是描述偏好的一种方法。效用函数（utility function ）是对每个可能的消费束都赋予数值的一种方法，这种方法 要做到对于更受偏好的消费束，赋值更大。也就是说，消费束（xx2）比（yi,y2）更受偏好当且仅当前者的效用值要比后者大

4、：用符号表示，（x1,x2）f （y1,y2）当且仅当 u（X1,X2） u（y1,y2）-效用赋值的唯一重要性能是它是如何对商品束排序 排序的。效用函数的重要性就在于它将不 同商品束排了顺序。两个消费束效用值的差额有多大并不重要。由于强调排序，这种效用称为序数效用 （ordinal utility ）。例如，在表4.1中，我们对三个商品束用三种方法赋予了效用值，在这些方法中，三个 商品束的排序是相同的。在本例中，消费者偏好A胜过B,偏好B胜过C。这三种方法（三种效用函数）都描述了相同的偏好，都是可行的，因为它们对A的赋值大于B的，对B的赋值大于C的。Bundlesu3f A |317 -1B

5、|2IO-2C1.0023表4.1:赋予效用值的不同方法由于重要的事情只是商品束的排列顺序， 对商品束赋予效用值不可能只有一种方法。 如 果我们能找到赋予效用值的一种方法， 我们就能找到无数多方法。 如果口（公2）代表对商品 束（XX2）赋值的一种方法，那么将 U（XX2）乘以2 （或者乘以任何正数）就是另外一种赋值方法。将u(x1,x2)乘以2是单调变换(monotonic transformation )的一个例子。单调变换是将 一组数字转换为另外一组数字的方法，这种方法要保留转换前后数字的顺序不变。通常用函数f (u)表示单调变换，它将每一个u的数值转换为其他的数值f(u)，而且要保留数

6、字的顺序，即 Ui > U2意味着f(Ui)> f(U2)。单调变换和单调函数是一回事。单调变换的例子有：乘以一个正数(例如f(u) = 3u ；加上任一常数(例如，f (u) = u + 17)；变为自身的奇数次幕(例如，f (u) = u3)；等等此处的单调变换，严格地说，应称为“正单调变换”，以便和“负单调变换”区分开。负单调变换使得变换后数字的顺序与原顺序相反!反。单调变换有时称为“乏味的变换”，这似乎不公平，因为它们实际上很有趣。°f (u)随u变化的变化率可以这样衡量：先求f(u2)与f(uj的差，然后除以u2与u1的差，即：?f = f(u2)- f(uj?

7、uu2 - ui对于单调变换来说，上式右端的分子与分母同号。因此，单调函数总有正的变化率。这表明， 单调函数图形的斜率总是正的，如图4.1A所示。图4.1:一个正单调变换。 A图为单调函数，它是递增的函数。B图的函数不是单调的，因为它有时增有时减。如果f (u)是任何一个效用函数 (代表某种特殊的偏好)的单调变换，那么f(u(xvx2)这个效用函数代表的偏好与上述偏好是相同的。为什么？论证过程可以用下面三句话表示：1. u(X1,X2)代表某种特殊的偏好，这句话的意思是：u(X1,X2) > u(%, y2)当且仅当 (X1,x2)f (%2)。2但是如果f(u)是单调变换，那么：u(X

8、!,X2)>u(y1, y2)当且仅当 f(u(X1,X2) > f (u(y1,y2)。3因此,f (u(X1,X2) > f (u(%,y2)当且仅当(X1,X2)f (%2)，因此f (u)代表的偏好与 原效用函数u(xX2)代表的偏好是一样的。我们将以上的讨论总结为下列原理：效用函数的单调变换是一个新的效用函数，它代表的偏好与原效用函数相同。在几何图形上， 效用函数是标记无差异曲线的一种方法。 因为位于同一条无差异曲线的 所有商品束必然有相同的效用， 所以可用效用函数为无差异曲线赋值， 使得位置更高的无差 异曲线，赋值应越大。从这个视角看，单调变换只是重新标记无差异曲

9、线的一种方法。 只要 将含有更受偏好商品束的无差异曲线标记更大的数值， 那么任何一种标记方法代表的偏好都 是相同的。4.1 基数效用有些效用理论认为效用大小很重要， 这样的理论称为 基数效用 (cardinal utility )理论。 基数效用理论认为，两个商品束效用的差值大小多少有些意义。我们已知道， 如何判断某人是否偏好某个商品束胜过另一个： 我们只要让他在这两个商 品束之间做出选择即可。 这样我们就知道如何对两个商品束赋予序数效用值： 只要被选中的 商品束的赋值大于放弃的那个商品束即可。 任何这样的赋值方法都是一个效用函数。 于是我 们就得到了一个便于操作的判断标准， 用于判断对某人来

10、说一个商品束的效用是否高于另一 个。但是， 我们如何判断某人喜欢一个商品束的程度是否是另一个的两倍？以你为例，你怎么判断自己喜欢一个商品束的程度是否是另一个的两倍？你可能提出几种方法对上述情形进行赋值： 对于更喜欢的那个商品束我愿意支付两 倍的价格； 我愿意跑两倍的距离； 我愿意等待两倍的时间； 我愿意以两倍的输赢机率为它下 注。上述方法都没错， 每种方法赋予的效用值有一定程度的可操作性。 但是这些方法也都不 对。尽管每种方法都能说明喜欢一个商品束的程度是另一个的两倍这层意思， 但是每种方法 的说服力都不够强大。即使我们找到了一种能对上述情形赋值的方法， 而且该方法很有说服力， 它对我们描述

11、选择行为有什么好处？为了判断是选择这个还是那个商品束， 我们只要知道哪个商品束更受 偏好(具有较高的效用值)即可。知道这个商品束的效用值比那个大了多少，对于我们的分 析选择行为毫无用处。 既然我们分析选择行为时不需要基数效用， 而且也没有好的方法对商 品束赋予基数效用值，我们坚持完全使用序数效用理论。4.2 构造一个效用函数但是， 我们真能找到赋予序数效用值的方法吗？给定一个偏好排序关系，我们总能找到某个效用函数使得它对商品束的排序和上述偏好排序相同吗？是否存在能刻画任何合理偏 好排序的效用函数？不是所有的偏好都能用效用函数刻画。例如，假设某人的偏好是非传递的，比如Af Bf C f A 。如

12、果某个效用函数能刻画这个偏好关系， 那么它必然含有数值 u(A),u(B) 和u(C)使得u(A) > u(B) >u(C) >u(A)，但这是不可能的。然而， 只要我们去除掉非传递性偏好这样的反例， 我们通常可以找到代表偏好的效用函 数。此处我们构造一个效用函数，在第 14 章我们将构造另外一个。假设我们有图4.2所示的无差异曲线。我们知道，效用函数是标记无差异曲线的一种方 法，使得更高位置的无差异曲线赋值更大。我们如何进行标记？一种简便的方法是画出一条如图所示的对角线，测量对角线与每条无差异曲线的交点到原点的距离，然后把这些距离标记在相应的无差异曲线上。我们怎样知道这是一

13、个效用函数？不难知道，如果偏好是单调的，那么对角线与每条 无差异曲线的交点只有一个。因此，每个商品束都得到了标记，位于更高无差异曲线上的商 品束标记的数值越大，这样就得到了一个效用函数。0Measures distance from originIndifference curves图 4.2：从无差异曲线构造一个效用用函数。画出一条对角线，测量对角线与每条无差异曲线交点到原点的距离，将这些距离标记在相应的无差异曲线上。这样我们就有了一种标记无差异曲线的方法，至少只要偏好是单调时该法可行。在具 体情形中，这种方法未必是最自然的方法，但至少它表明了序数效用函数的通用性：几乎任何“合理的”偏好都能

14、用效用进行刻画。4.3效用函数的一些例子在第3章，我们已分析了一些偏好的例子，知道用什么样的无差异曲线表示这些偏好。 我们也可以使用效用函数来表示这些偏好。如果给你一个效用函数 u（xX2），画出一条无差异曲线就比较容易：你只要画出所有的（xx2）使得u（xx2）等于一个常数即可。 在数学上, 满足u（x-!，x2）等于一个常数的所有（为必）称为水平集（level set）。对于每个不同的常数值， 你得到一条不同的无差异曲线。例子：从效用到无差异曲线假设效用函数为u（x1,x2） = x1x2。那么它的无差异曲线的形状是什么样的？我们知道，无差异曲线是满足 k = X1X2 （其中k为常数）的

15、所有xi和X2的集合。将X2视为Xi 的函数解之可得5kX2 =Xi6#上面的式子就是典型无差异曲线的表达式。k = 1,2,3时的相应无差异曲线请见图43#图4.3：无差异曲线。不同 k值时的无差异曲线 k = x1x2。我们分析另一个例子。假设效用函数为v（xx2） = xjx：。无差异曲线形状如何？由代数的标准法则可知2 2 2 2V（Xi,X2）=XiX2 = （）X2）=u（Xi,X2）因此，效用函数 V（Xi，X2）只是效用函数 u（Xi,X2）的平方。因为 u（Xi,X2）不能为负，所以 v（xnx2）是效用函数u（xx2）的一个单调变换。这表示效用函数v（xx2） = xfx：

16、无差异曲线的形状，与图4.3中U（Xi，X2）的无差异曲线形状相同。这两个函数的无差异曲线的标记是 不同的，原先的标记为 i, 2, 3，现在则为i, 4, 9,但满足V（X|,X2）=9的商品束恰好 就是满足U（Xi，X2）=3的商品束。这样，V（Xi ,X2）代表的偏好和U（Xi,X2）代表的偏好是相同 的，因为它们对所有商品束的排序序是相同的。将上面的事情反过来做， 即根据一些无差异曲线找到效用函数， 比较困难。有两种方法 可做此事。一是数学方法。给定无差异曲线， 我们试图找到一个函数， 这个函数沿着每条无 差异曲线的函数值必须为常数，而且更高的无差异曲线上的函数值必须更大。第二种方法有

17、些直观。给定偏好的描述，我们考虑消费者试图最大化的是什么一一什么样的商品束刻画了消费者的选择行为。这种方法暂时有些模糊，在我们分析几个例子之后， 它就会明朗化。完全替代还记得红铅笔和蓝铅笔的例子吗？对消费者来说，只有铅笔总数才是最重要的。于是， 自然可用铅笔总数衡量效用。因此我们暂时选择一个效用函数u（Xi,X2） = xi + x2。这个函数可行吗？就问下面两个问题即可：该函数沿着无差异曲线的函数值是常数吗？更受偏好的商品束赋予了更大的数值了吗？这两个问题的答案都是肯定的，因此我们就得到了一个效用函数。当然，这不是唯一可行的效用函数。我们也可以使用铅笔总数的平方。于是效用函数V(Xi,X2)

18、= (Xi +X2)2 = X： +2X1X2 +X；同样可以表示完全替代的偏好，当然U(Xi,X2)的其他任何单调变换都可以表示这一偏好。如果两种商品不是1： 1替代的，结果会怎样？例如，假设消费者要求得到两两单位的商品2,他才愿意放弃一单位的商品1。这表示对消费者来说，商品1的价值是商品2的两倍。因此效用函数的形式为 u(X1,X2) = 2x1 + x2。注意，由该效用函数产生的无差异曲线的斜率 为-2。一般来说，完全替代类型的偏好可用下列形式的效用函数表示u(x1,x2) = ax1 + bx2.此处，a和b均为正数，分别表示商品 1和2的“价值”。注意，它的无差异曲线的斜 率为-a/

19、b。完全互补这是左鞋和右鞋的情形。在这种偏好中，消费者只关心他有多少双双鞋子，因此自然可以 选择鞋子的双数作为效用函数。鞋子的双数取决于右鞋数量X1和左鞋数量 X2中最小(minimum )的那个。于 是，完全互补的效用函数采取的形式为ux) = minX|,x2。为证实该函数实际可行，选择一个商品束比如(10,10)。若商品1增加一单位则得到(11,10),它应该和(10,10 )位于同一条无差异曲线上。是不是？是的，因为 mi n10,10 = min 11,10 =10。因此，用效用函数 u(X1, X2) = min X), x?刻画1:1完全互补的偏好是可行的。通常，该效用函数的任何

20、单调变换同样可以刻画上述偏好。如果完全替代商品不是 1:1替代的，比如消费者每喝一杯茶时总是放入2茶匙糖，结果1会如何？如果用 X1表示茶的杯数，X2表示糖的茶匙数，那么糖茶的杯数为minxn x?。2这样的问题有点麻烦，所以我们停下来思考一下。如果茶的杯数大于糖的茶匙数的一半 即X1 >(1/2)X2，则不可能做到每杯茶里都放入 2茶匙糖。在这种情形，糖茶的数量等于 (1/2)x2。(你可以用某些具体数字代替 和X2验证一下。)当然，该效用函数的任何单调变换仍然能刻画这个偏好。例如，我们可以乘以2消灭掉分数，这样得到的效用函数为min2xvx2。一般地，刻画完全互补类型偏好的效用函数具

21、有下列形式u(X1,X2)= minax1,bx2.其中a和b是正数，表示两商品的搭配比例。拟线性偏好我们以前未见过拟线性偏好的无差异曲线。假设消费者的无差异曲线族是由无差异曲线互相垂直移动得到，如图 4.4所示。这表明将一条无差异曲线垂直移动就可以得到所有的无 差异曲线。由此可推知，无差异曲线的表达式为x2 = k - v(x1)，其中k为常数，不同的无差异曲线k值不同。这个式子是说，每条无差异曲线的高度等于为的函数-v(x1)加上某个常数k。k值越大，无差异曲线位置越高。( -v(xj中的负号只是一种惯例做法；下面我们将知道为什么加了负号比较方便。)图44拟线性偏好。所有的无差异曲线都可由

22、一条无差异曲线垂直移动得到。标记这种无差异曲线自然的方法是使用k进行标记。大致来说，k值是无差异曲线沿着纵轴的高度。解出k并令其等于效用，可得u(xX2)= k = v(x1) + x2.上述效用函数对于商品2来说是线性的，但对于商品1来说(可能)是非线性的；因此,拟线性 效用(quasilinear utility )的意思是"部分为线性"的效用。拟线性效用具体的例子有u(x,x2) =、._捲+ x?或者u(x1,x2) = In x, + x2等等。拟线性效用函数可能不太符合实际， 但便于分析，我们在以后章节的例子中就会知道它比较简便。柯布-道格拉斯偏好另外一种常用的

23、效用函数类型是柯布-道格拉斯(Cobb-Douglas )效用函数u(Xi,X2)= x：x；.其中c和d为正数，表示消费者对两商品的偏好保罗道格拉斯是20世纪的经济学家，在芝加哥大学任教，后来成为美国的参议员；查尔斯柯布为阿默斯特学院(Amherst College )的数学家。柯布-道格拉斯函数最初用于分析生产行为。°柯布-道格拉斯效用函数在一些情形下比较有用。柯布-道格拉斯效用函数描述的偏好通常具有图4.5所示的形状。在图 4.5A中，我们画出了当 c=1/2,d=1/2时的无差异曲线；在图 4.5B中，画出了 c=1/5,d=4/5时的无差异曲线。注意一下当参数 c和d变化时

24、无差异曲线的 形状怎样变化。A ct 1/2 d/2图4.5:柯布-道格拉斯无差异曲线 。当c=1/2,d=1/2时的无差异曲线（图 A）;当 c=1/5,d=4/5时的无差异曲线（图 B ）。柯布-道格拉斯无差异曲线的形状类似于凸且单调的无差异曲线，我们在第3章把后者称为“具有良好性状的无差异曲线”。柯布-道格拉斯偏好是性状良好无差异曲线的标准例子， 事实上，它的表达式大概是能产生良好性状偏好的最简单的代数表达式。在以后章节你会发现，使用柯布-道格拉斯函数表达经济思想很是方便。当然，柯布-道格拉斯效用函数的任何单调变换也能表示同样的偏好，此处分析几个变 换的例子比较有好处。首先，如果取效用函

25、数的自然对数，项的乘积将变成项的加和，于是我们有v（x-i, x2） = In（x：x：） = cln x-i + d In x2.c d该效用函数的无差异曲线的形状和U（Xi,X2）= XX2的无差异曲线的形状类似，因为取对数是单调变换。（对自然对数知识的简要回顾，请见本书末的数学附录。）第二个例子，假设柯布-道格拉斯效用函数为u（Xi,X2）=x：x：.将效用变为原来的1/（c + d）次幕，即c+dix：+dc现在令a=，我们得到下列新的效用函数a 1- av(Xi,X2)=Xi X2这意味着我们总可以将柯布-道格拉斯效用函数进行单调变换，使得指数的总和等于i.以后我们将看到这样的处理有

26、个有用的解释。柯布-道格拉斯效用函数的表达形式很多，你应该学会识别它们，因为这类偏好很有用。4.4边际效用假设某消费者消费的商品束为（X1，X2），如果我们多给他一点商品1,他的效用将怎样变化？这个变化比率称为商品1的边际效用（marginal utility ）。我们将其记为 MU!，它是一个比率MU,?UU(X| + ?X|,X2)- U(X|,X2)10#它衡量效用变化 ？u与商品1数量变化？的比率这个定义表明，为了计算商品1消费数量的微小变化引起的效用变化，只要将消费的变化量乘以该商品的边际效用即可：?U =MU1类似地，可以定义商品 2的边际效用：MU2?U?X2口（人，乂2 + ?

27、x2） - 口（人，x2）?X2注意，当计算商品2的边际效用时，我们保持商品1的消费量不变。我们可以用下式计算商 品2消费量变化引起的效用变化?U = mu2很重要的一点，是要知道边际效用的大小取决于效用的大小。因此，边际效用取决于我们选取的效用衡量方法。如果我们将效用（函数）乘以2，则边际效用也乘以 2。这样处理我们仍可得到一个完全有效的效用函数，因为它表示同样的偏好，区别仅在于标记的数值不同。这表明边际效用本身不含有选择行为的内容。我们如何根据消费者的选择行为计算边际效用？无法计算。选择行为仅仅揭示了消费者如何将不同商品束排序的信息。边际效用取决于我们使用什么样的效用函数来反映偏好排序，边

28、际效用本身没有特别意义。然而，我们可以使用边际效用，计算含有选择行为内同的其他事情，在下一节我们将看到这一点。4.5边际效用和边际替代率可以使用效用函数 u（xx2）计算第3章定义的边际替代率（MRS）。我们已知道 MRS 衡量无差异曲线在给定商品束那一点的斜率；可以认为MRS是一个比率，消费者恰好愿意按此比率用一定数量的商品 2替代商品1。这样我们就有了计算 MRS的一种简便方法。假设两种商品消费量的变化（？X？X2）恰好使效用不变，即消费量沿着一条无差异曲线变动。于是必然有MU1+ MU2=?U =0.11#解出无差异曲线的斜率，可得MRSi2 =?X1MU1MU2#使用微积分处理边际效用

29、的内容请见本章后的附录。#（注意上式左端2在1的上边，而在上式右端1在2的上边。别搞混了!MRS的代数符号为负：如果你增加商品 1的消费那么你必须减少.商品2的消费，才能 使效用不变。然而，时刻牢记这个负号让人厌烦，因此经济学家通常将MRS的绝对值（即一个正数）当作 MRS。在不至于混淆的前提下，我们遵循这种惯例。关于MRS的计算有个有趣的事情：可以通过观察某人的实际行为来计算MRS 我们找到恰好使他不愿买也不愿卖的那个交换率，我们已在第3章探讨过这个问题。效用函数，从而边际效用函数，不是唯一的。某个效用函数任何单调变换得到的效用函数同样可行。例如，如果我们将效用乘以 2，则边际效用也乘以 2

30、。因此，边际效用函数 的大小取决于我们主观选取的效用函数。 边际效用不依赖于选择行为，而是依赖于我们用于 刻画选择行为而选取的效用函数。然而，边际效用比率提供了一个可观测的尺度，即边际替代率。对效用函数进行单调变换不会影响边际效用比率大小。举例验证，例如如果你将效用函数乘以 2,此时mrs2变为MRS122MU,2MU2消去分子分母中的 2,可知边际替代率的大小没变。这个结论对任何单调变换都成立。进行单调变换只是对无差异曲线重新标记，MRS的计算仍然沿着同一条无差异曲线进行。尽管单调变换改变了边际效用数值，但边际效用的比率与你标记偏好的方法无关。4.6交通效用效用函数在本质上是描述选择行为的方

31、法：如果可买得起商品束 Y，但却选择了商品束X，则X的效用一定比 Y大。对消费者的选择行为进行分析，就可以估计出描述他们行为 的效用函数。上述想法广泛应用于交通经济学，用来研究消费者的交通行为。在多数大城市，人们可以选择乘公交车或者开车上班。每一种选择代表了一个消费束，这个消费束由不同的特征变量组成：行程时间，等待时间，花费的现金费用，舒适度，便利性等等。令为表示行程时间，X2表示等待时间，等等。如果令（X1，X2，,Xn）表示开车的n个不同特征变量，（y1,y2,.,yn）表示乘公交车的相应特征变量，我们可以用一个模型分析人们选择开车还是乘公交，他们做出选择的依据为是否更偏好其中的一个消费束

32、。更具体地说，假设典型消费者对上述特征变量的偏好可用下列效用函数表示U(X1,X2,.,Xn)=馭 + 债X2+.+ %其中，系数 仏直,伍为n个未知参数。当然，上述效用函数的任何单调变换可以同样地描 述人们的选择行为，但是线性形式的函数更容易用统计方法处理。假设我们获得了若干消费者基于上述n个变量的交通方式选择的数据。可使用统计方法找到B （i=1,）的数值，使得这些数值最好地拟合了消费者们的上述选择。这些统计方法可以估计出不同交通模式的效用函数。研究发现效用函数具有下列形式1U（TW,TT,C） = - 0.147TW - 0.0411TT - 2.24C（4.2）其中，TW=步行往返公交

33、车或自驾车的总时间TT=行程总时间（分钟）C=行程总成本（元）Domenich-McFadden的书中估计出的效用函数，正确地刻画了家庭样本中93%家庭的交通方式选择行为。方程（4.2）中变量的系数刻画了典型家庭对交通行程不同特征变量赋予的权重；即每 种特征变量的边际效用。两个系数之间的比率衡量两个特征变量之间的边际替代率。例如， 步行往返时间的边际效用与行程总时间的边际效用的比值，表明对于典型消费者来说，步行时间代表的劳累程度大约是行程时间劳累程度的3倍。换句话说，消费者为了少步行1分钟，愿意增加3分钟的行程。类似地，行程总成本与行程总时间的比率，表明典型消费者对于这两个变量的权衡选择。在该

34、研究中，消费者认为每分钟交通时间的价值为0.0411/2.24=0.0183元，即每小时的价值为1.10元。而同期（1967年）的每小时工资大约为2.85元。这样估计出的效用函数对于下列决策非常重要：对公交系统做出某些改变是否值得。例如，在上面的效用函数中， 影响交通方式选择的一个显著变量是行程时间。城市交通管理部门可以花钱增加公交车的数量，以减少乘客行程时间。但是，因此增加的乘客能弥补公交系统额外增加的成本吗？给定效用函数和消费者样本数据，我们可以预测出哪些消费者将自己开车，哪些消费者将搭乘公交车。这样我们就可以大体计算出收入是否能够弥补额外的成本。而且，我们可以使用边际替代率估计行程时间减

35、少对每个消费者的价值价值。在上面的交通 行为研究中，我们已知道，1967年人们认为交通时间的价值是每小时1.10元。因此，如果将行程减少20分钟，人们愿意支付 0.37元。这个数字衡量了提供更准时公交服务的金钱收 益。这个收益必须与提供更准时服务的成本相比较，以便确定这样的服务是否值得做。对收益进行量化，无疑有助于管理部门作出交通政策的合理决策。总结1.效用函数只是偏好排序的一种表示方法。效用水平的数值大小没有实质含义。2.因此，给定任何一个效用函数，它的任何单调变换仍然表示相同的偏好。3.边际替代率MRS，可由效用函数计算出，计算公式为MR2 = ?X2 /?X1 = - MU1 / MU?

36、.请见Thomas Domenich和Daniel McFadden,城市交通需求（North-Holland出版公司，1975）。该书中的 统计估计除了包括我们上述列举的变量外，还包括家庭的若干人口学特征。Daniel McFadden因为研发了估计这类模型的方法，于 2000年获得了诺贝尔经济学奖。复习题1.课文中说，将某数字变为它的奇次幂是一种单调单变调换变换。那么，将其变为它的偶次幂是单调 变换吗？（提示：要考虑类似 f（u）= u2 的情形。）【复习内容】单调变换。【解题思路】作者范里安在教材中指出： “单调变换是将一组数字转换为另外一组数字的方法，这种方法 要保留转换前后数字的顺序

37、不变。单调变换和单调函数是一回事。”这段话，换一种表述方法是：如果某既定偏好可用函数u = u（xi，x2）进行刻画，则可以对函数 u进行复合（构造复合函数）比如f（u） = f （u（x,x2），但要保证这个复合函数是正单调函数（即单调递增的函数），即对U = U（Xi，X2）进行正单调变换。所以说正单调变换和正单调函数是一回事。因此，我们对原效用函数并不要求它是单调递增的， 但对这个函数进行正单调变换后得到的 新效用函数一定是单调递增的。原因在于正单调变换和正单调函数是一回事。也正因为此，题目中的“将某数字变为它的奇次幂是一种单调变换”这种说法并不严格，因 为当幂指数等于 i 时，这正是原

38、效用函数本身， 但它不是正单调变换， 否则这意味着要求原 效用函数必须为单调的。而我们未必一定要求原效用函数是单调的， 尽管我们通常这么要求。 所以，幕指数应将 1除外。通常情况下，口 = 口（为必）>0，因此f （u） = u2是（正的）单调变换，也就是说f （u） = u2是单调递增的函数。但是，也有可能存在 u = u（Xi，X2）<0的情形。举个例子，给某消费者两种商品，但这两种 商品都是他非常讨厌的，由于这种情形下，他的效用不可能为正，即口 = 口（为，） <0。所以该情形下f （u） =u2就不是（正的）单调变换，但它是（负的）单调变换，但根据我们的 目的，我们不

39、考虑负单调变换的情形。【参考答案】见上述解题思路中的最后两段文字。222.下列哪些是单调变换？ （？ （1） u = 2v- 13；（2）u =-1/v2；（3）u =1/v2；（4）u =lnv；（5） u = - e-v ； （ 6） u = v2 ； （ 7） u = v2 （其中 v > 0 ） ； （8） u = v2 （其中 v < 0 ）。 【考察内容】单调变换。【参考答案】（1 ）是（正的）单调变换。因为复合函数U是函数v的单调递增函数。以下题目的原因请类推。（2） v > 0时是（正的）单调变换，v< 0时是（负的）单调变换（即变换后得到的函数U是递减

40、函数） ，由于我们不考虑负单调变换的情形，因此自此以后凡是说到单调变换就是指 正单调变换。以下各题不再一一说明。（3）v < 0时是单调变换， v > 0时不是。（4） 是单调变换（顺便指出，此题暗含着v > 0的假设，否则u =1 nv无定义）。（5）是单调变换。（6） v >0时是单调变换，v <0时不是。(7)和(8)请见(6)。3课文中有个结论，即如果偏好是单调的，那么经过原点的对角线与每条无差异曲线只能有 一个交点。你能严格证明这个结论吗？ ？(握示:：如果它与某条无差异曲线有两个交点，结 果会如何？ ？) 【考察内容】单调偏好的定义；无差异曲线的特征

41、【参考答案】反证法。假设这条对角线与一条无差异曲线交于两个不同的点：(xx2)； (yi,y2)。由于这两个点在同一条无差异曲线上，因此(xX2)(%,y2)。另外，这两个点都在该对角线上，因此必有x1 > y),x2 > y2或者为< y(,x2 < y2。不妨设x1 > y1 ,x2 > y2，由于偏好是单调的， 这意味着(xX2)f (yi，y2)。显然(為兀片(%必)和刚才得到的(XiX) (%, y?)矛盾。 所以如果偏好是单调的，那么经过原点的对角线与每条无差异曲线只能有一个交点。4.效用函数u(xi,x2)= Xj + X2表示什么类型的偏好？

42、 ？效用函数v(xi，x2)= 13xi+13x2 呢？【考察内容】单调变换；完全替代类型的偏好对效用函数u(x1,x2)作单调变换f (u) = U2，可得新的效用函数 f (u) = u2 = X-I + x2 ；不妨 令 w(x1,x2) = X1 + x2。1对效用函数v(xvx2)作单调变换g(v) = v，可得新的效用函数131g(v) =v = x1 + x2 = w(x1,x2)。13由于单调变换不改变原有的偏好关系，因此可知u(x-!, X2) = . X1 + x2 ， v(x,x2) =13为+13x2和w(xx2) = x + x2这三个效用函数代表的偏好关系是相同的。

43、而 我们已知道 W(X1,X2)= X1 + X2表示1:1完全替代的偏好类型。所以u(X,X2)h. X1 + X2和V(X|, X2) = 13为+ 13x2都表示1:1完全替代的偏好类型。5.效用函数u(X1,X2)=X1 + . X2表示什么类型的偏好？效用函数2 v(X1 , X2)= X1 + 2X1 X2 + X2 是 u(x1, X2)的单调变换吗？【考察内容】拟线性偏好；单调变换。u(X1,X2)= X1 + -、X2表示拟线性的偏好类型。因为X1>0,X2>0(消费数量不能为负)，所以u(X1,X2)=X1+ 1X2X)，对效用函数2u(X1,X2)做单调变换f

44、 (u) = u (请参考第2题第(6 )小题的答案)，可得IIf (u) = x； + 2% .x2+ x2,而这正是效用函数v(x-!,x2),因此 v(x1,x2)=彳 + 2x仁x2+ x2是u(x,X2)的单调变换。26.假设效用函数为口伙刚二 轨。它表示什么类型的偏好？ ？函数V（Xi，X2）= XM2是 u（Xi，X2）的单调变换吗？ W（X1,X2）=是U（X1，X2）的单调变换吗？【考察内容】柯布一道格拉斯型偏好；单调变换【参考答案】（1）U（Xi,X2）= . X1X2表示柯布一道格拉斯型偏好。（2 ）判断一个函数是否为另一个函数的单调变换，有时使用一个小技巧反而更方便。这

45、个小技巧就是第7题的结论，即对一个效用函数进行单调变换不会改变边际替代率。MUu（Xi,X2）= X1X2 的边际替代率 MRS12 = - -MU1 =-住；v（Xi,X2）= X；X2 的边际替代率MRS12 = -= - 2X2，二者不等， 因此 V（X1,X2） = x；x2不是u（xx2）的单调变换。MU 2x-i（3）因为U（X1，X2）= '、X1X2 >0 （请参考第2题第（6）小题的答案），所以对该函数作单 调变换f （u） = u4可得f （u） = u4 = xx| = w（X1,X2），所以答案为：是。7你能说明为什么对一个效用函数进行单调变换不会改变边际替代率？【考察内容】单调变换【参考答案】假设我们对某个效用函数进行单调变换，比如V（ X1, X2 ） = f （u（ X|, X2）。我们计算一 下该效用函数的MR02。使用链式法则MRS12