251 离散型随机变量的均值

1、2.5随机变量的均值和方差2.5.1离散型随机变量的均值1了解取有限值的离散型随机变量的均值的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望值(重点、难点)2掌握随机变量均值的线性性质及两点分布、超几何分布和二项分布的均值公式(重点)3能运用离散型随机变量的均值来解决一些简单的实际问题(重点)基础初探教材整理离散型随机变量的均值阅读教材P68P70，完成下列问题1离散型随机变量的均值(数学期望)的定义若离散型随机变量X的概率分布如下表所示，Xx1x2xnPp1p2pn则称x1p1x2p2xnpn为离散型随机变量X的均值或数学期望，记为E(X)或，即E(X)x1p1x2p2xnpn，其中，xi是随机

2、变量X的可能取值，pi是概率，pi0，i1,2，n，p1p2pn1.2超几何分布、二项分布的数学期望(1)超几何分布：若XH(n，M，N)，则E(X).(2)二项分布：若XB(n，p)，则E(X)np.1下列说法正确的有_(填序号)随机变量X的数学期望E(X)是个变量，其随X的变化而变化；随机变量的均值反映样本的平均水平；若随机变量X的数学期望E(X)2，则E(2X)4；随机变量X的均值E(X).【解析】错误，随机变量的数学期望E(X)是个常量，是随机变量X本身固有的一个数字特征错误，随机变量的均值反映随机变量取值的平均水平正确，由均值的性质可知错误，因为E(X)x1p1x2p2xnpn.【答

3、案】2已知离散型随机变量X的分布列为：X123P则X的数学期望E(X)_.【解析】E(X)123.【答案】3若随机变量X服从二项分布B，则E(X)的值为_【解析】E(X)np4.【答案】质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： 小组合作型超几何分布、二项分布的数学期望(1)从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X个红球，则随机变量X的数学期望E(X)_.(2)某运动员投篮命中率为p0.6，则求一次投篮时命中次数的均值E()；求重复5次投篮时，命中次数的均值E()【精彩点拨】(1)利用超几何分布求E(X)

4、(2)利用二项分布求E()和E()【自主解答】(1)由题意可知，XH(2,3,5)，E(X).【答案】(2)由题意可知，B(1,0.6)，E()0.6.由题意可知，B(5,0.6)，E()50.63.1通过本例可以看出，若随机变量服从超几何分布或二项分布，利用各自的数学期望公式求均值更方便2超几何分布、二项分布的数学期望的求法步骤：(1)判断随机变量是否服从超几何分布或二项分布；(2)找出相应的参数；(3)利用数学期望公式求E(X)再练一题1某种种子每粒发芽的概率为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，每个坑至多补种一次，补种的种子数记为X，则X的数学期望为()A

5、100B200C300D400【解析】由题意可知，补种的种子数记为X，X服从二项分布，即XB(1 000,0.1)，所以不发芽种子的数学期望为1 0000.1100.所以补种的种子数的数学期望为2100200.【答案】B定义法求离散型随机变量的数学期望盒中共有9个球，其中有4个红球、3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同(1)从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；(2)从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数，求X的概率分布和数学期望E(X)【精彩点拨】(1)利用古典概型求解(2)先写出X的可

6、能取值，计算出概率并列出概率分布，利用数学期望定义求解【自主解答】(1)取到的2个颜色相同的球可能是2个红球、2个黄球或2个绿球，所以P.(2)随机变量X所有可能的取值为2,3,4.X4表示的随机事件是“取到的4个球是4个红球”，故P(X4)；X3表示的随机事件是“取到的4个球是3个红球和1个其他颜色的球，或3个黄球和1个其他颜色的球”，故P(X3)；于是P(X2)1P(X3)P(X4)1.所以随机变量X的概率分布如下表：X234P因此随机变量X的数学期望E(X)234.1求解本题的关键是明确随机变量X的含义，同时计算P(X2)时采用了间接法2定义法求数学期望的步骤：(1)确定随机变量的取值；

7、(2)求随机变量的概率分布；(3)根据E(X)x1p1x2p2xnpn求数学期望E(X)再练一题2盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X的分布列及均值【解】X可取的值为1,2,3，则P(X1)，P(X2)，P(X3)1.抽取次数X的分布列为X123PE(X)123.探究共研型离散型随机变量的均值实际应用探究1某篮球明星罚球命中率为0.7，罚球命中得1分，不中得0分，则他罚球一次的得分X可以取哪些值？X取每个值时的概率是多少？【提示】随机变量X可能取值为0,1.X取每个值的概率分别为P(X0)0.3，P(X1)0.7.探究

8、2在探究1中，若该球星在一场比赛中共罚球10次，命中8次，那么他平均每次罚球得分是多少？【提示】每次平均得分为0.8.探究3在探究1中，你能求出在他参加的各场比赛中，罚球一次得分大约是多少吗？为什么？【提示】在球星的各场比赛中，罚球一次的得分大约为00.310.70.7(分)因为在该球星参加各场比赛中平均罚球一次的得分只能用随机变量X的数学期望来描述他总体得分的平均水平具体到每一场比赛罚球一次的平均得分应该是非常接近X的均值的一个分数随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，

9、而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：元)为X.(1)求X的分布列；(2)求1件产品的平均利润(即X的数学期望)；(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%，如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？【精彩点拨】【自主解答】(1)X的所有可能取值有6,2,1，2.P(X6)0.63，P(X2)0.25，P(X1)0.1，P(X2)0.02.故X的分布列为：X6212P0.630.250.10.02(2)E(X)60.6320.2510.1(2)0.024.34.(3)设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为

10、E(X)60.72(10.70.01x)1x(2)0.014.76x(0x0.29)依题意，E(X)4.73，即4.76x4.73，解得x0.03，所以三等品率最多为3%.1实际问题中的均值问题均值在实际生活中有着广泛的应用，如对体育比赛的成绩预测，消费预测，工程方案的预测，产品合格率的预测，投资收益的预测等方面，都可以通过随机变量的均值来进行估计2概率模型的三个解答步骤(1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些(2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值(3)对照实际意义，回答概率，均值等所表示的结论再练一题3甲、乙两射击运动员进行射击比赛，射击相同的次

11、数，已知两运动员击中的环数X稳定在7,8,9,10环将它们的比赛成绩画成频率分布直方图如图251甲和图乙所示图251(1)根据这次比赛的成绩频率分布直方图推断乙击中8环的概率P(X乙8)，以及甲击中9环以上(包括9环)的概率；(2)根据这次比赛的成绩估计甲、乙谁的水平更高(即平均每次射击的环数谁大)【解】(1)由图乙可知P(X乙7)0.2，P(X乙9)0.2，P(X乙10)0.35.所以P(X乙8)10.20.20.350.25.同理P(X甲7)0.2，P(X甲8)0.15，P(X甲9)0.3，所以P(X甲10)10.20.150.30.35.P(X甲9)0.30.350.65.(2)因为E(

12、X甲)70.280.1590.3100.358.8，E(X乙)70.280.2590.2100.358.7，则有E(X甲)E(X乙)，所以估计甲的水平更高构建体系1随机变量X的概率分布为：X135P0.50.30.2则其数学期望E(X)等于_【解析】E(X)10.530.350.22.4.【答案】2.42将一颗骰子连掷100次，则点数6出现次数X的均值E(X)_. 【导学号：29440054】【解析】XB，E(X)100.【答案】3某射手射击所得环数的分布列如下：78910Px0.10.3y已知的均值E()8.9，则y的值为_【解析】依题意得即解得y0.4.【答案】0.44设离散型随机变量X可能的取值为1,2,3，P(Xk)akb(k1,2,3)又X的均值E(X)3，则ab_.【解析】P(X1)ab，P(X2)2ab，P(X3)3ab，E(X)1(ab)2(2ab)3(3ab)3，14a6b3.又(ab)(2ab)(3ab)1，6a3b1.由可知a，b，ab.【答案】5袋中有4个