24　最大值与最小值问题优化的数学模型

1、2.4最大值与最小值问题，优化的数学模型1.理解最值概念，并能应用柯西不等式、平均值不等式求函数的最值.2.能利用不等式解决有关的实际问题.基础·初探教材整理最值问题，优化的数学模型1.最值设D为f(x)的定义域，如果存在x0D，使得f(x)f(x0)(f(x)f(x0)，xD，则称f(x0)为f(x)在D上的最大(小)值，x0称为f(x)在D上的最大(小)值点.寻求函数的最大(小)值及最大(小)值问题统称为最值问题，它属于更一般的问题极值问题的一个特别的情况.2.分离常数法分离常数法就是在分子中凑出与分母相同的项，然后约分.这在求含有分式的最值问题时经常用到.这种类型的最值问题也可

2、以用去分母的方法转化成关于x的二次方程，然后利用判别式求最值.用平均值不等式来解此类问题时，特别要注意等号成立的条件.1.已知0x1，则x(1x)取最大值时x的值为()A.B.C.D.【解析】0x1，x(1x)，当且仅当x时取等号.【答案】B2.已知t0，则函数y的最小值为_.【解析】t0，yt4242.【答案】2质疑·手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： 小组合作型利用柯西不等式求最值设x0，y0，z0，a，b，c，l，m，n是给定的正数，并且axbycz为常数，求的最小值. 【导学号：38000045】【

3、精彩点拨】题设中的与的形式符合柯西不等式的形式，可以借助柯西不等式求式子的最值.【自主解答】由柯西不等式得··()2()2()2()2，所以.由柯西不等式成立的条件得xk，yk，zk.其中，k.它们使得axbycz，且，所以的最小值为.利用柯西不等式求最值时，必须验证等号成立的条件是否满足.再练一题2.设x，y，zR，且1.求xyz的最大值和最小值.【解】根据柯西不等式，知42()222·，当且仅当，即x，y1，z或x，y3，z时等号成立.25×1(xyz2)2.|xyz2|5，3xyz7，即xyz的最大值为7，最小值为3.利用二次函数求最值某地区地理环

4、境偏僻，严重制约着经济发展，某种土特产品只能在本地销售，该地区政府每投资x万元，所获利润为P(x40)210万元，为顺应开发大西北的宏伟决策，该地区政府在制订经济发展十年规划时，拟开发此种土特产品，而开发前后用于该项目投资的专项财政拨款每年都是60万元，若开发该产品，必须在前5年中，每年从60万元专款中拿出30万元投资修建一条公路，且5年可以修通，公路修通后该土特产品在异地销售，每投资x万元，可获利润Q(60x)2(60x)万元.问：从10年的总利润来看，该项目有无开发价值？【精彩点拨】分别求出开发前、后该项目10年利润的最大值，比较大小即可.【自主解答】若按原来投资环境不变，由题设知，每年只

5、需从60万元中拿出40万元投资，可获最大利润10万元.这样10年总利润最大值为W10×10100(万元).若对该产品开发，则前5年中，当x30时，Pmax，前5年总利润为W1×5(万元)；设后5年中，x万元用于本地销售投资，60x万元用于异地销售投资，则总利润W2×5×55(x30)24 500，当x30时，(W2)max4 500.10年总利润最大值为4 500(万元).因4 500>100，故该项目具有极大的开发价值.1.本题实际上是两个二次函数的叠加问题，叠加后的二次函数最值要比叠加前的二次函数最值大，从而得解.本题的现实意义也很大.2.解不

6、等式应用题的步骤(1)认真审题，抓住问题中的关键词，找准不等关系；(2)引入数学符号，用不等式表示不等关系，使其数学化；(3)求解不等式；(4)还原实际问题.再练一题2.某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点.(1)写出税收y(万元)与x的函数关系式；(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围.【解】(1)降低税率后的税率为(10x)%，农产品的收购量为a(12x%)万担，收购总金额为

7、200a(12x%)万元.依题意：y200a(12x%)(10x)%a(1002x)(10x)(0<x<10).(2)原计划税收为200a·10%20a(万元).依题意得：a(1002x)(10x)20a×83.2%，化简得，x240x840，42x2.又0<x<10，0<x2，x的取值范围是0<x2.探究共研型利用不等式解决实际问题探究利用不等式解决实际问题的步骤是什么？【提示】利用不等式解决实际应用问题，一般可分四个步骤：(1)阅读理解材料，弄清问题背景.(2)建立合理的数学模型，将实际问题转化为数学问题.(3)运用不等式的知识、手段

8、讨论不等式关系.(4)做出结论.然后利用柯西不等式、均值不等式或二次函数等方法来求最值.如图2­4­1所示，把一块边长是a的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿着虚线翻折成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？图2­4­1【精彩点拨】设切去的小正方形的边长为x，由题意可知，折成的盒子的底面边长为a2x，高为x，这时盒子的容积为V(a2x)2x，再利用三个正数的算术几何平均值不等式，变形为xyz求解即可.【自主解答】设切去的小正方形的边长为x，无盖方底盒子的容积为V，则V(a2x)2x(a2x)·(

9、a2x)×4x.当且仅当a2xa2x4x，即当x时，不等式取等号，此时V取最大值，即当切去的小正方形边长是原来正方形边长的时，折成的盒子容积最大.在解决实际问题时，阅读理解题意，建立数学模型是关键，在求解数学模型时，平均值不等式是常用的手段之一.再练一题3.用一块钢锭浇铸一个厚度均匀且全面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器(如图2­4­2)，设容器的高为h米，盖子边长为a米.图2­4­2(1)求a关于h的函数解析式；(2)设容器的容积为V立方米，则当h为何值时，V最大？求出V的最大值.(求解本题时，不计容器的厚度)【解】(1)设h为正四棱锥的斜高

10、，由已知解得a(h>0).(2)由Vha2(h>0)，易得V.h22，V.等号当且仅当h，即h1时取得.故当h1米时，V有最大值，V的最大值为立方米.构建·体系最值问题1.已知x>1，y>1，且lg xlg y4，那么lg x·lg y的最大值是()A.2B.C.D.4【解析】4lg xlg y2，lg x·lg y4.【答案】D2.已知a，b为正数，且ab1，则()2的最大值是() 【导学号：38000046】A.2 B.C.6D.12【解析】()2(1×1×)2(1212)(4a14b1)24(ab)22×

11、(4×12)12，当且仅当，即ab时等号成立.【答案】D3.数列an的通项公式an，则数列an中的最大项是()A.第9项B.第8项和第9项C.第10项D.第9项和第10项【解析】an，当且仅当n，即n3时等号成立.又n为正整数，检验可知选D.【答案】D4.函数y5的最大值为_.【解析】因为函数的定义域为1,5，且y>0，则y5·×6.当且仅当·5·时，等号成立，即x时，函数取最大值6.【答案】65.(1)求函数y的最小值；(2)求函数ycos2x(1sin x)的最大值；(3)设x>1，求函数ylog2xlogx4的最小值.【解】(1)设l，则l2，于是yl.y1，当l2，)时，y>0，即在2，)上函数单调递增，当l2，即x0时，y取得最小值，最小值为y2.(2)y(1sin2x)(1sin x)(1sin x)(1sin x)(1sin x)4(1sin x)·