2022年2012年全国初中数学联赛试题及答案

1、一选择题2021 年全国中学数学联合数学竞赛试题第一试可编辑资料 - - - 欢迎下载1已知 a 2 1, b3 2,c 63,那么 a, b,c 的大小关系是Aa bcBac bCb a cDb c a2. 方程 x2 2xy 3y2 34 的整数解 x, y的组数为 A 3B 4C 5D 63. 已知正方形ABCD 的边长为 1, E 为 BC 边的延长线上一点, CE 1,连接 AE,与 CD交于点 F,连接 BF 并延长与线段DE 交于点 G,就 BG 的长为 可编辑资料 - - - 欢迎下载A63B53C26253D3可编辑资料 - - - 欢迎下载4. 已知实数 a, b 中意 a

2、2 b2 1,就 a4 abb4 的最小值为 19可编辑资料 - - - 欢迎下载A -8B 0C 1D8可编辑资料 - - - 欢迎下载25.如方程 x2 2px 3p 2 0 的两个不相等的实数根x1, x2 中意 x1 2 x13 4 x 2x23,就实数 p 的全部可能的值之和为35可编辑资料 - - - 欢迎下载A 0B -4C -1D -4可编辑资料 - - - 欢迎下载6.由 1,2,3,4 这四个数字组成四位数abcd（数字可重复使用） ,要求中意 ac b d这样的四位数共有 A 36个B40个C44个D 48个二填空题111可编辑资料 - - - 欢迎下载1. 已知互不相等

3、的实数a, b,c 中意 ab b c ca t,就 t 可编辑资料 - - - 欢迎下载2. 使得 5× 2m 1 是完全平方数的整数m 的个数为 3. 在 ABC 中,已知 ABAC, A40°,P 为 AB 上一点, ACP 20°, 就BC AP可编辑资料 - - - 欢迎下载4. 已知实数 a,b,c 中意 abc -1 ,a bc 4,abc 4 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载就 a2b2 c2 a2 3a 1b2 3b 1c2 3c 19可编辑资料 - - - 欢迎下载其次试一，已知直角三角形的边长均为整数,周长为30,求它的外接圆的面积.二，如

4、图, PA 为 O 的切线, PBC 为 O 的割线, AD OP 于点 D.证明： AD2 BD.CDAODPBC1 2三，已知抛物线 y -6x bx c 的顶点为 P,与 x 轴的正半轴交于 A x1,0 ，B x2,0 两点3可编辑资料 - - - 欢迎下载x1 x2,与 y 轴交于点 C, PA 是 ABC 的外接圆的切线 .设 M 0, -抛物线的解析式 .2,如 AM BC,求可编辑资料 - - - 欢迎下载参考答案一选择题1.C2.B3.D4.B5.B6.C二填空题1.± 12. 13.34.332其次试一，解设直角三角形的三边长分别为a, b, c（ abc ）,就

5、 abc30 .明显,三角形的外接圆的直径即为斜边长c ,下面先求 c 的值.由 a由 abbc 及 abc 及 abcc1130 得 30abc30 得 30abc3c ,所以 c2c ,所以 c10 .15 .又由于 c 为整数,所以c14 .根 据 勾 股 定 理 可 得a 2b2c2,把 c30ab代 入 , 化 简ab30ab4500 ,所以 30a 30b45023252 ,由于 a,b 均为整数且 ab ,所以只可能是30a30b52,232 ,a5,解得b12.所以,直角三角形的斜边长c13 ,三角形的外接圆的面积为169.4二，证明：连接 OA, OB, OC.OA AP,

6、AD OP,由射影定理可得PA 22PD PO , ADPD OD .又由切割线定理可得PA 2P B PC , PB PCPD PO, D，B，C， O 四点共圆, PDB PCO OBC ODC , PBD COD , PBD COD , PDCDBD2, ADODPD ODBD CD .AODPBC得可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载三，3b,b解易求得点 P322c ,点 C 0, c .可编辑资料 - - - 欢迎下载设 ABC 的外接圆的圆心为D,就点 P 和点 D 都在线段 AB 的垂直平分线上,设点D的坐标为 3b, m .可编辑资料 - - -

7、欢迎下载明显,x , x 是一元二次方程1 x2bxc0 的两根,所以 x3b9b26c ,可编辑资料 - - - 欢迎下载x23b129b266c ,又 AB 的中点 E 的坐标为 3b,0,所以 AE19b26c .可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载由于 PA 为 D 的切线,所以 PA AD,又 AE PD,所以由射影定理可得AE 2PE DE ,可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载2即 9b6c 2 3 b2c | m |,又易知 m 20 ,所以可得 m6 .可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载又由 DA DC 得 DA 2DC 2 ,即 9b26c 2m23b02mc2 ,把 m6可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载代入后可解得 c6 （另一解 c0 舍去） .3可编辑资料 - - - 欢迎下载又由于 AM / BC,所以OAOM3b,即9b 26c|2.可编辑资料 - - - 欢迎下载OBOC3b9b 26c|6 |可编辑资料 - -