向量在空间几何中的应用分析

1、向量在空间几何中的应用分析在旧教材中，立体几何学生学习完后，学生虽然对空间图形的有所认知，学生也能够画出立体的图形，但是对于立体几何的证明题却出现了不知道如何着手证明的问题。特别是线线垂直，线面垂直。点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等这些问题，首先要作出它们的辅助线，而这也是学生最薄弱的一点。作为新课程改革，高中数学教材的一个显著变化就是“向量”的引入。其目的也很明确：为空间图形提供新的研究手段，即充分体现它们的工具性。但这种“工具性”只有在深刻理解的基础上才能用好，特别是在空间问题中的“三大角度”和“两大基本距离”用向量法解答有着奇妙无穷的用途，而且不需要作辅助线。 把立体几何中的

2、线面关系问题及求角求距离问题转化为用向量解决，如何取向量或建立空间坐标系，找到所论证的平行垂直等关系，所求的角和距离用向量怎样来表达是问题的关键立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，二是距离问题，这里比较多的主要是用向量证明，及计算。而如何用向量证明，计算距离、线面角及面面角等问题，可以通过例题分析，典型高考例题对比分析例1.（2011四川理）（18）（本小题满分12分）已知正方体ABCDA'B'C'D'的棱长为1，点M是棱AA'的中点，点O是对角线BD'的中点.（）求证：OM为异面直线AA'和BD'的公垂线；（）

3、求二面角MBC'B'的大小；（）求三棱锥MOBC的体积. 本小题主要考查异面直线、直线与平面垂直、二面角、正方体、三棱锥体积等基础知识，并考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查应用向量知识解决数学问题的能力。解法一：（1）连结AC，取AC中点K，则K为BD的中点，连结OK因为M是棱AA的中点，点O是BD的中点所以AM所以MO由AAAK，得MOAA因为AKBD,AKBB，所以AK平面BDDB所以AKBD所以MOBD又因为OM是异面直线AA和BD都相交故OM为异面直线AA'和BD'的公垂线（2）取BB中点N，连结MN，则MN平面BCCB过点N作NHBC于H，连结MH则

4、由三垂线定理得BCMH从而,MHN为二面角M-BC-B的平面角MN=1,NH=Bnsin45°=在RtMNH中，tanMHN=故二面角M-BC-B的大小为arctan2(3)易知，SOBC=SOAD，且OBC和OAD都在平面BCDA内点O到平面MAD距离hVM-OBC=VM-OAD=VO-MAD=SMADh=解法二：以点D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D-xyz则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A(1,0,1),C(0,1,1),D(0,0,1)(1)因为点M是棱AA的中点,点O是BD的中点所以M(1,0, ),O(,),=(0,0,1),=(-1,-1

5、,1) =0, +0=0所以OMAA,OMBD又因为OM与异面直线AA和BD都相交故OM为异面直线AA'和BD'的公垂线. (2)设平面BMC'的一个法向量为=(x,y,z)=(0,-1,), (1,0,1) 即取z2,则x2,y1，从而=(2,1,2) 取平面BC'B'的一个法向量为(0,1,0)cos由图可知，二面角M-BC'-B'的平面角为锐角故二面角M-BC'-B'的大小为arccos (3)易知，SOBCSBCD'A'设平面OBC的一个法向量为(x1,y1,z1) (1,1,1), (1,0,0)

6、 即取z11,得y11，从而(0,1,1)点M到平面OBC的距离dVMOBC【点评】方法1完全用的是几何知识来解答，第一问中要平移OM与AA'和BD'同时垂直，但是这样平移对于学生来说是难点。如果不平移，那么要证明OM与AA'和BD'分别垂直，往往在一个题目中不能直接证明两条直线垂直，通常是证明其中一条直线与另外一条直线所在片面垂直，那么找出这个片面就成为难点了！第二问中先要作辅助线，找出二面角，对于一般的学生也不容易方法2运用向量方法求二面角，可以免去作辅助线，构造三角形的繁琐，把用向量法解空间几何的方法体现得淋漓尽致，充分体现了向量法的简便灵活，使复杂的几何

7、问题具体数据化了，完善空间几何的解题方法，例2.（2011江西理）20. （本小题满分12分）如图BCD与MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD平面BCD，AB平面BCD，。（1） 求点A到平面MBC的距离；（2） 求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值。解：取CD中点O，连OB，OM，则OBCD，OMCD，又平面平面,则MO平面.以O为原点，直线OC、BO、OM为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图.OB=OM=，则各点坐标分别为O（0，0，0），C（1，0，0），M（0，0，），B（0，-，0），A（0，-，2），（1）设是平面MBC的法向量，则，由得；由得；取，则距离（2），.设平面ACM的法向量为，由得.解得，取.又平面BCD的法向量为，则设所求二面角为，则.【点评】向量方法作为沟通代数和几何的工具在考察中越来越常见，此类方法的要点在于建立恰当的坐标系，便于计算，位置关系明确，以计算代替分析，起到简化的作用，但计算必须慎之又慎总