181923 233 时　数列求和

1、第2课时数列求和学习目标：1.掌握一些数列常见的求和方法，如倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法、奇偶分析法等(重点、难点)2.在求和过程中，体会转化与化归思想的应用.3.错位相减时的项数计算(易错点)自 主 预 习·探 新 知1分组求和法若cnanbn，an，bn，cn前n项和分别为An，Bn，Cn，则CnAnBn，以此可以对数列an分组求和思考1：求和：123(n)提示123(n)(123n)()1.2错位相减法求和设数列an为等比数列且公比q1，则Sna1a1qa1q2a1qn1，qSna1qa1q2a1qn1a1qn.两式相减，(1q)Sna1(1qn)，所以Sn(

2、q1)这种求和的方法叫错位相减法3裂项相消法求和将某些特殊数列的每一项拆成两项的差，并使它们求和的过程中出现相同的项，且这些相同的项能够相互抵消，从而达到将求n个数的和的问题转化为求少数的几项的和的目的这种求和的方法叫裂项相消法思考2：我们知道，试用此公式求和：.提示由，得11.4数列an的an与Sn的关系：数列an的前n项和Sna1a2a3an，则an基础自测1若an，则数列an的前10项和S10_.解析an，S10.答案2数列1，2，3，4，的前n项和是_解析Sn(123n)1.答案1合 作 探 究·攻 重 难分组求和求和：Sn.思路探究先分析通项anx2n2，再分组求和，注意x

3、的取值范围解当x±1时，Sn(x2x4x2n)2n2n2n；当x±1时，Sn4n.综上知，Sn规律方法分组求和法的求和策略有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将其每一项拆开，可分为几个等差、等比或常数列，然后分别求和，再将其合并即可.像这种数列求和方法称为分组求和法，运用这种方法的关键是将通项变形.跟踪训练1已知数列11，4，7，3n2，求其前n项的和解设Sn(11)将其每一项拆开再重新组合得，Sn(1473n2)，当a1时，Snn；当a1时，Sn.错位相减法求和已知数列an，a11，an2·3n2(n2)，求数列nan的前n项和Tn.思路探究利用错位相

4、减法求Tn，但本题需注意n的范围解Tna12a23a3nan.当n1时，T11；当n2时，Tn14·306·312n·3n2， 3Tn34·316·322n·3n1， 得：2Tn1(43)2(31323n2)2n·3n122·2n·3n11(12n)·3n1，Tn3n1(n2)又T1a11也满足上式，Tn3n1(nN*)规律方法1若cnan·bn，其中an为等差数列，bn为等比数列，则cn的前n项和可用错位相减法求得2用错位相减法求和时应注意：两式相减后除首、末项外的中间的项转化为一个

5、等比数列求和注意两式相减后所得式子第一项后是加号，最后一项前面是减号提醒：用错位相减法求和时容易出现以下两点错误：(1)两式相减时最后一项因为没有对应项而忘记变号(2)对相减后的和式的结构认识模糊，错把中间的n1项和当作n项和跟踪训练2求数列的前n项和Sn.解Sna1a2a3an，Sn1×2×3×n×， Sn1×2×(n1)×n×， 得，Snn×n×1n×，Sn2.裂项相消法求和求和：，n2.思路探究由逐项裂项相消求和解，原式.规律方法1裂项相消法的裂项方法(1)；(2)若an为等差数

6、列，公差为d，则；(3).2如果数列的通项公式可转化为f(n1)f(n)的形式，常采用裂项相消法求和跟踪训练3求和：1. 【导学号：57452061】解2，原式22.数列求和的综合应用探究问题1如何求数列(1)n的前n项的和？提示分n为奇、偶数两类分别求数列(1)n的和2若数列an的前n项和为Sn，则an与Sn间存在怎样的关系？如何由Sn求通项an?提示由Sna1a2an可知Sn1a1a2an1(n2)，anSnSn1(n2)，又a1S1，an已知数列an的前n项和Sn3n28n，bn是等差数列，且anbnbn1.(1)求数列bn的通项公式；(2)令cn，求数列cn的前n项和Tn.解(1)由题

7、意知，当n2时，anSnSn16n5.当n1时，a1S1116n5.所以an6n5.设数列bn的公差为d，则a12b1d11，a2b2b2d2b13d17.解得b14，d3，所以bn4(n1)×33n1.(2)由(1)知，cn3(n1)·2n1.所以Tnc1c2cn3×2×223×23(n1)×2n1，2Tn3×2×233×24(n1)×2n2，两式相减，得Tn3×2×2223242n1(n1)×2n23×4(n1)×2n23n·2n2

8、.所以Tn3n·2n2.母题探究：1.(变条件)把例中的条件改为“数列an是首项为2的等差数列，其前n项和Sn满足4Snan·an1，数列bn是以为首项的等比数列，且b1b2b3”，求数列an，bn的通项公式解设等差数列an的公差为d，由题意得4a1a1(a1d)，解得d2，所以an2n.由b1b2b3b，解得b2，从而公比q，所以bn.2(变条件)本例中的条件改为“数列an的前n项和Snanb(a是既不为0也不为1的常数)”若an是等比数列，求b.解当n2时，anSnSn1(a1)·an1；当n1时，anS1ab.an为等比数列，a1，a2，a3成等比数列，a(

9、a1)·a2a1·a3(ab)·(a1)·a2，a0且a1，a1ab，b1.经验证当b1时，an为等比数列，b1.规律方法(1)已知Sn，通过an求通项an，应特别注意n2时，anSnSn1.(2)若数列an的前n项和SnA(qn1)，其中A0，q0且q1，则an是等比数列(3)等比数列中用到的数学思想：分类讨论思想：利用等比数列前n项和公式时要分公比q1和q1两种情况讨论函数思想：等比数列前n项和Sn(qn1)(q1)设A，则SnA(qn1)也与指数函数相联系整体思想：应用等比数列前n项和公式时，常把qn，当成整体求解当 堂 达 标·固 双 基1数列an的通项公式an2n2n1，则其前n项和Sn_.解析Sn(2222n)13(2n1)2n12n2.答案2n1n222已知an(1)nn，则S2 017_.解析a1a21，a3a41，a2 015a2 0161，a2 0172 017.S2 0171 0082 0171 009.答案1 0093已知an，则Sn_.解析an，Sn.答案4若数列an的前n项和为Snan，则数列an的通项公式是_. 【导学号