181912 121　平面的基本性质与推论

1、1.2点、线、面之间的位置关系平面的基本性质与推论学习目标：1.了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法(难点)2.掌握平面的基本性质及推论，能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系(重点)3.能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，并能解决空间线面的位置关系问题(难点)自 主 预 习·探 新 知1平面的基本性质及推论公理内容图形符号基本性质1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内Al，Bl，且A，Bl基本性质2经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线存在唯一的平面使A，B，C基本性质3如果不重合的两个平面有一个公共点

2、，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P，Pl，且Pl图1­2­1推论1经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面(图1­2­1)推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面(图1­2­1)推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面(图1­2­1)2异面直线(1)定义：把既不相交又不平行的直线叫做异面直线(2)画法：(通常用平面衬托)图1­2­23空间两条直线的位置关系思考：不在同一平面的两条直线是异面直线，对吗？提示不对，是不同在任何一个平面内基础自测1判断(正确的打“”，错误的打“×”

3、)(1)三点可以确定一个平面()(2)一条直线和一个点可以确定一个平面()(3)四边形是平面图形()(4)两条相交直线可以确定一个平面()解析(1)错误不共线的三点可以确定一个平面(2)错误一条直线和直线外一个点可以确定一个平面(3)错误四边形不一定是平面图形(4)正确两条相交直线可以确定一个平面答案(1)×(2)×(3)×(4)2下列说法正确的是_.【导学号：90662067】两条直线无公共点，则这两条直线平行；两直线若不是异面直线，则必相交或平行；过平面外一点与平面内一点的连线，与平面内的任意一条直线均构成异面直线；和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线解析

4、错误空间两直线无公共点，则可能平行，也可能异面正确因空间两条不重合的直线的位置关系只有三种：平行、相交或异面错误过平面外一点与平面内一点的连线，和平面内过该点的直线是相交直线错误和两条异面直线都相交的两直线也可能是相交直线答案3根据图1­2­3，填入相应的符号：A_平面ABC，A_平面BCD，BD_平面ABC，平面ABC平面ACD_.图1­2­3答案AC合 作 探 究·攻 重 难文字语言、图形语言、符号语言的相互转化根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：(1)A，B；(2)l，m，mA，Al；(3)Pl，P，Q

5、l，Q.解(1)点A在平面内，点B不在平面内；(2)直线l在平面内，直线m与平面相交于点A，且点A不在直线l上；(3)直线l经过平面外一点P和平面内一点Q.图形分别如图(1)，(2)，(3)所示图(1)图(2)图(3)规律方法1用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示2要注意符号语言的意义如点与直线的位置关系只能用“”或“”表示，直线与平面的位置关系只能用“”或“”表示3由符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别跟踪训练1.如图1­2­4，根据图形用符号表示下列点、

6、直线、平面之间的关系(1)点P与直线AB；(2)点C与直线AB；(3)点M与平面AC；(4)点A1与平面AC；(5)直线AB与直线BC；(6)直线AB与平面AC；(7)平面A1B与平面AC.图1­2­4解(1)点P直线AB；(2)点C直线AB；(3)点M平面AC；(4)点A1平面AC；(5)直线AB直线BC点B；(6)直线AB平面AC；(7)平面A1B平面AC直线AB.点、线共面问题已知四条直线两两相交，且不共点，求证：这四条直线在同一平面内.【导学号：90662068】思路探究四条直线两两相交且不共点，可能有两种情况：一是有三条直线共点；二是任意三条直线都不共点，故要分两

7、种情况解已知：a，b，c，d四条直线两两相交，且不共点，求证：a，b，c，d四线共面证明：(1)若a，b，c三线共点于O，如图所示，Od，经过d与点O有且只有一个平面.A、B、C分别是d与a、b、c的交点，A、B、C三点在平面内由公理1知a、b、c都在平面内，故a、b、c、d共面(2)若a、b、c、d无三线共点，如图所示，abA，经过a、b有且仅有一个平面，B、C.由公理1知c.同理，d，从而有a、b、c、d共面综上所述，四条直线两两相交，且不共点，这四条直线在同一平面内规律方法证明点线共面常用的方法1纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线也在这个平面内2重合法：先说明一些直线在一个

8、平面内，另一些直线在另一个平面内，再证明两个平面重合跟踪训练2一条直线与三条平行直线都相交，求证：这四条直线共面解已知：abc，laA，lbB，lcC.求证：直线a，b，c，l共面证明：法一：ab，a，b确定一个平面，laA，lbB，A，B，故l.又ac，a，c确定一个平面.同理可证l，a且l.过两条相交直线a、l有且只有一个平面，故与重合，即直线a，b，c，l共面法二：由法一得a、b、l共面，也就是说b在a、l确定的平面内同理可证c在a、l确定的平面内过a和l只能确定一个平面，a，b，c，l共面.空间两直线位置关系的判定如图1­2­5，正方体ABCD­A1B1C

9、1D1中，判断下列直线的位置关系：【导学号：90662069】图1­2­5直线A1B与直线D1C的位置关系是_；直线A1B与直线B1C的位置关系是_；直线D1D与直线D1C的位置关系是_；直线AB与直线B1C的位置关系是_思路探究判断两直线的位置关系，主要依据定义判断解析根据题目条件知直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线“平行”，所以应该填“平行”；点A1、B、B1在一个平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C “异面”同理，直线AB与直线B1C “异面”所以都应该填“异面”；直线D1D与直线D1C相交于D1点，所以应

10、该填“相交”答案平行异面相交异面规律方法1判定两条直线平行与相交可用平面几何的方法去判断2判定两条直线是异面直线有定义法和排除法，由于使用定义判断不方便，故常用排除法，即说明这两条直线不平行、不相交，则它们异面跟踪训练3若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则()AacBa、c是异面直线Ca、c相交 Da、c平行或相交或异面D若a、b是异面直线，b、c是异面直线，那么a、c可以平行，可以相交，可以异面点共线与线共点问题探究问题1如图1­2­6，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，设A1C平面ABC1D1E.能否判断点E在平面A1BCD1内？图1­2&#

11、173;6提示如图，连接BD1，A1C平面ABC1D1E，EA1C，E平面ABC1D1.A1C平面A1BCD1，E平面A1BCD1.2上述问题中，你能证明B，E，D1三点共线吗？提示由于平面A1BCD1与平面ABC1D1交于直线BD1，又EBD1，根据公理3可知B，E，D1三点共线如图，在四面体ABCD中，E，G分别为BC，AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DFFCDHHA23，求证：EF，GH，BD交于一点思路探究(1)两平面的交线点P在交线上(2)过其中两条直线的平面相交第三条直线与交线相交三线共点证明如图可知，平面ABD平面BCDBD.易知FHAC且FHAC，GEAC且GEAC，所

12、以FHGE且GH，EF交于点O.因为GH平面ABD，OGH.所以O平面ABD.因为EF平面BCD，OEF.所以O平面BCD，所以O平面ABD平面BCDBD.所以EF，GH，BD交于一点母题探究：1.本例中将证明EF，GH，BD交于一点改为判断E，F，G，H四点是否共面并证明解因为DFFCDHHA23，所以FHAC且FHAC，同理因为点E，G分别为BC，AB的中点，所以GEAC且GEAC，故GEHF且GEHF，所以E，F，G，H四点共面且组成梯形2本例中如果将条件改为在AB，BC，CD，DA上分别取点G，E，F，H并且满足GH与EF相交于一点O，结论如何？解EF，GH，BD交于点O.证明：因为G

13、H与EF相交于一点O，GH在平面ABD内，EF在平面BCD内，所以O在两平面的交线上，而平面ABD与平面BCD交于直线BD，所以O在BD上即EF，GH，BD交于点O.规律方法证明三线共点常用的方法(1)先说明两条直线共面且交于一点，然后说明这个点在两个平面内于是该点在这两个平面的交线上，从而得到三线共点(2)也可以说明a，b相交于一点A，b与c相交于一点B，再说明A，B是同一点，从而得到a，b，c三线共点注意：证明线共点主要利用基本性质1，基本性质3作为推理的依据当 堂 达 标·固 双 基1一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是()A平行或异面B相交或异面C异面

14、 D相交B如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AA1与BC是异面直线，又AA1BB1，AA1DD1，显然BB1BCB，DD1与BC是异面直线，故选B.2下列说法中正确的个数为()【导学号：90662070】三角形一定是平面图形；若四边形的两对角线相交于一点，则该四边形是平面图形；圆心和圆上两点可确定一个平面；三条平行线最多可确定三个平面A1 B2C3 D4C圆上两点为直径端点时，它们与圆心共线，此时这三个点不能确定平面，故不正确，正确，故选C.3设平面与平面交于直线l，A，B，且直线ABlC，则直线AB_.Cl，ABlC，C，CAB，ABC.4有以下三个说法：平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点；直线l在平面内，可以用符号“l”表示；已知平面与不重合，若平面内的一条直线a与平面内的一条直线b相交，则与相交其中正确的序号是_解析若直线与平面有两个公共点，则这条直线一定在这个平面内，故正确；直线