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文档简介
1、1.3曲线的极坐标方程1.4圆的极坐标方程1.4.1圆心在极轴上且过极点的圆1.4.2圆心在点处且过极点的圆1.了解极坐标方程的意义,了解曲线的极坐标方程的求法.2.会进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化;了解简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)表示的极坐标方程.(重点)基础·初探1.曲线C的直角坐标方程在给定的平面直角坐标系下,如果二元方程F(x,y)0满足下面两个条件,则称它为曲线C的方程:(1)曲线C上任一点的坐标(x,y)都满足方程;(2)所有适合方程的(x,y)所对应的点都在曲线C上.2.曲线的极坐标方程在给定的平面上的极坐标系下,有一个二元方程F(,)0
2、.如果曲线C是由极坐标(,)满足方程的所有点组成的,则称此二元方程F(,)0为曲线C的极坐标方程.3.常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点,半径为r的圆r(0<2)圆心为(r,0),半径为r的圆2rcos ()圆心为(r,),半径为r的圆2rsin (0<)过极点,倾斜角为的直线或过点(a,0),与极轴垂直的直线cos a(<<)思考·探究曲线的极坐标方程是否唯一?【提示】由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,所以曲线上的点的极坐标有多种表示,曲线的极坐标方程不唯一.自主·测评1.极坐标方程(R)表示()A.点 B.线段C.圆D.直线【解
3、析】当0时,方程表示极角为的射线,当<0时,方程表示上述射线的反向延长线.R,表示直线.【答案】D2.极坐标方程(1)()0(0)表示的图形是()A.两个圆B.两条直线C.一个圆和一条射线D.一条直线和一条射线【解析】由题设,得1,或,1表示圆,(0)表示一条射线.【答案】C3.直线和圆2cos 的位置关系为()A.相离B.相切C.相交D.无法确定【解析】由2cos 知表示曲线圆心为(1,0),半径为1的圆.又过极点且与极轴垂直.直线与圆相切.【答案】B4.(2019·广州质检)已知曲线C1,C2的极坐标方程分别为cos 3,4cos (0,0<),则曲线C1与C2交点的
4、极坐标为_.【解析】由·cos 3,4cos ,得4cos2 3.又0<,则cos >0.cos ,故2.两曲线交点的极坐标为(2,).【答案】(2,)质疑·手记预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:疑问1: 解惑: 疑问2: 解惑: 疑问3: 解惑: 类型一圆的极坐标方程求圆心在C(2,)处并且过极点的圆的极坐标方程,并判断点(2,sin)是否在这个圆上.【导学号:62790005】【精彩点拨】解答本题先设圆上任意一点M(,),建立等式转化为,的方程,化简可得,并检验特殊点.【尝试解答】如图,由题意知,圆经过极点O,OA为其一条直径,设M(,
5、)为圆上除点O,A以外的任意一点,则|OA|2r,连接AM,则OMMA.在RtOAM中,|OM|OA|cosAOM,即2rcos(),4sin ,经验证,点O(0,0),A(4,)的坐标满足上式.满足条件的圆的极坐标方程为4sin .sin,4sin 4sin2,点(2,sin)在此圆上.1.求曲线的极坐标方程通常有以下五个步骤:建立适当的极坐标系(本题无需作);在曲线上任取一点M(,);根据曲线上的点所满足的条件写出等式;用极坐标,表示上述等式,并化简得曲线的极坐标方程;证明所得的方程是曲线的极坐标方程.(一般只要对特殊点加以检验即可)2.求曲线的极坐标方程,关键是找出曲线上的点满足的几何条
6、件,并进行坐标表示.再练一题1.在极坐标系中,分别求方程.(1)圆心在极点,半径为2的圆的极坐标方程;(2)圆心为C(2,),半径为2的圆的极坐标方程.【解】(1)设M(,)为所求圆上任意一点.结合图形,得|OM|2.2.0<2.(2)设所求圆上任意一点M(,),结合图形.在RtOAM中,OMA90°.AOM,|OA|4.cosAOM,OMOA·cosAOM.即4cos(),故4cos 为所求.类型二直线或射线的极坐标方程求过点A(1,0),且倾斜角为的直线的极坐标方程.【精彩点拨】画出草图设点M(,)是直线上的任意一点建立关于,的方程检验【尝试解答】法一设M(,)为
7、直线上除点A以外的任意一点.则xAM,OAM,OMA.在OAM中,由正弦定理得,即,故sin(),即(sincos cossin ),化简得(cos sin )1,经检验点A(1,0)的坐标适合上述方程,所以满足条件的直线的极坐标方程为(cos sin )1,其中,0<(0)和<<2(0).法二以极点O为直角坐标原点,极轴为x轴,建立平面直角坐标系xOy.直线的斜率ktan1,过点A(1,0)的直线方程为yx1.将ysin ,xcos 代入上式,得sin cos 1,(cos sin )1,其中,0<(0)和<<2(0).法一通过运用正弦定理解三角形建立了动
8、点M所满足的等式,从而集中条件建立了以,为未知数的方程;法二先求出直线的直角坐标方程,然后通过直角坐标向极坐标的转化公式间接得解,过渡自然,视角新颖,不仅优化了思维方式,而且简化了解题过程.再练一题2.若本例中条件不变,如何求以A为端点且在极轴上方的射线的极坐标方程?【解】由题意,设M(,)为射线上任意一点,根据例题可知,sin(),化简得(cos sin )1.经检验点A(1,0)的坐标适合上述方程.因此,以A为端点且在极轴上方的射线的极坐标方程为(cos sin )1(其中0,0<).类型三极坐标方程与直角坐标方程的互化在极坐标系(,)(0<2)中,曲线2sin 与cos 1的
9、交点的极坐标为_.【精彩点拨】着眼点【尝试解答】曲线2sin 化为:x2y22y,即x2(y1)21,又cos 1化为x1.联立得交点(1,1).交点的极坐标为(,).【答案】(,)1.(1)进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式:xcos ,ysin ,2x2y2,tan (x0);(2)对方程进行合理变形,并注重公式的正向、逆向与变形使用.2.本题也可消去,由二倍角公式求,进而求出极径.再练一题3.如果将例题中的曲线方程改为“曲线(cos sin )1与(sin cos )1”,试求曲线交点的极坐标.【解】曲线(cos sin )1化为直角坐标方程xy1,曲线(sin cos
10、 )1化为直角坐标方程yx1.两直线xy1与yx1的交点为(0,1),交点的极坐标为(1,).类型四极坐标方程的应用从极点O作直线与另一直线l:cos 4相交于点M,在OM上取一点P,使OM·OP12.(1)求点P的轨迹方程;(2)设R为l上的任意一点,试求|RP|的最小值.【精彩点拨】建立点P的极坐标方程,完成直角坐标与极坐标方程的互化,根据直线与圆的位置关系,数形结合求|RP|的最小值.【尝试解答】(1)设动点P的极坐标为(,),M的极坐标为(0,),则012.0cos 4,3cos 即为所求的轨迹方程.(2)将3cos 化为直角坐标方程,得x2y23x,即(x)2y2()2,知
11、P的轨迹是以(,0)为圆心,半径为的圆.直线l的直线坐标方程是x4.结合图形易得|RP|的最小值为1.1.用极坐标法可使几何中的一些问题得出很直接、简单的解法.当然,因为建系的不同,曲线的极坐标方程也会不同.2.解题时关键是极坐标要选取适当,这样可以简化运算过程,转化为直角坐标时也容易一些.再练一题4.过极点O作圆C:8cos 的弦ON,求ON的中点M的轨迹方程.【解】法一如图,圆心C(4,0),半径r|OC|4,连接CM.M为弦ON的中点,CMON,故M在以OC为半径的圆上.所以,动点M的轨迹方程是4cos .法二设M点的坐标是(,),N(1,1).N点在圆8cos 上,18cos 1.M是ON的中点,将它代入式得28cos ,故M的轨迹方程是4cos .真题链接赏析(教材P16练习T2)把圆的极坐标方程sin 化为直角坐标方程,并说明圆心和半径.在直角坐标系xOy中,直线C1:x2,圆C2:(x1)2(y2)21,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C1,C2的极坐标方程;(2)若直线C3的极坐标方程为(
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