《信息光学》第一章傅里叶

1、Review1、现代光学信息处理技术是光学技术发展的必然结果，是推动、现代光学信息处理技术是光学技术发展的必然结果，是推动社会发展的动力社会发展的动力2、以三维显示、存储等为代表的全息技术、虚拟现实技术是光、以三维显示、存储等为代表的全息技术、虚拟现实技术是光学信息处理技术的典型代表学信息处理技术的典型代表3、在光学信息处理中，处理的对象是、在光学信息处理中，处理的对象是“图像信息图像信息”，所用的方，所用的方法包括相关、卷积、变换、编码等法包括相关、卷积、变换、编码等1、傅里叶光学的发展历史、傅里叶光学的发展历史2020世纪世纪5050年代年代数学数学、电子技术、通信理论电子技术、通信理论与

2、与光学光学相结合，给光学引入了相结合，给光学引入了频谱、空间滤波、载波、线性变换及相关运算频谱、空间滤波、载波、线性变换及相关运算等概念，从而等概念，从而形成了一门新的光学学科形成了一门新的光学学科傅里叶光学！傅里叶光学！傅里叶变换傅里叶变换和和通信中的线性系统理论通信中的线性系统理论使光学与通信在信息使光学与通信在信息学领域统一起来，从学领域统一起来，从“空域空域” ” 走向走向“频域频域”。 光学不再仅限于用光强、振幅和透过率的空间分布描述光光学不再仅限于用光强、振幅和透过率的空间分布描述光学图像，也用学图像，也用空间频率的分布变化空间频率的分布变化描述光学图像。描述光学图像。2、傅里叶光

3、学的研究内容和研究方法、傅里叶光学的研究内容和研究方法傅里叶光学基于傅里叶光学基于傅里叶变换的方法傅里叶变换的方法研究光学信息研究光学信息在在线性系统线性系统中的传递、处理、变换与存储等中的传递、处理、变换与存储等傅里叶变换+线性系统理论3、本课程的主要内容、本课程的主要内容课程内容安排课程内容安排第一章第一章 傅里叶变换傅里叶变换第二章第二章 二维线性系统二维线性系统第三章第三章 标量衍射理论标量衍射理论第四章第四章 透镜的位相调制和傅里叶变换性质透镜的位相调制和傅里叶变换性质第五章第五章 光学成像系统的频率特性光学成像系统的频率特性第七章第七章 光学全息光学全息第八章第八章 光学信息处理光

4、学信息处理第九章第九章 激光散斑及其应用激光散斑及其应用普通高等教育普通高等教育“十一五十一五”国家级规划教材国家级规划教材傅里叶光学傅里叶光学 第第2 2版版电子教案电子教案机械工业出版社第一部分第一部分 基础理论基础理论 ( (傅里叶变换、线性系统理论傅里叶变换、线性系统理论) )本章主要内容本章主要内容1 1、常用函数、常用函数2 2、卷积和相关、卷积和相关3 3、空间频率及空间频谱、空间频率及空间频谱4 4、傅里叶级数、傅里叶级数5 5、傅里叶变换、傅里叶变换本章教学目标本章教学目标1 1、本章及下一章内容都将介绍傅里叶光学中基础理论，、本章及下一章内容都将介绍傅里叶光学中基础理论，包

5、括常用函数、常见的光学运算，以及傅里叶变换方包括常用函数、常见的光学运算，以及傅里叶变换方法和线性系统理论。法和线性系统理论。2 2、本章主要介绍傅里叶变换方法，使学生掌握一些常、本章主要介绍傅里叶变换方法，使学生掌握一些常用函数的傅里叶变换；用函数的傅里叶变换；3 3、理解常见光学运算，特别是卷积和相关运算的基本、理解常见光学运算，特别是卷积和相关运算的基本概念，并将两者与傅里叶变换联系起来。概念，并将两者与傅里叶变换联系起来。1 1、一些常用函数、一些常用函数l 阶跃函数阶跃函数l 符号函数符号函数l 矩形函数矩形函数l 三角形函数三角形函数l sinc函数函数l 高斯函数高斯函数l 圆域

6、函数圆域函数l 脉冲函数（脉冲函数（ 函数）函数）l 梳状函数梳状函数描述不同类型的“图像”信号*图像信息的体现：图像信息的体现：强度分布强度分布、颜色、颜色1 1、一些常用函数、一些常用函数1 1）阶跃函数）阶跃函数 (Step function)(Step function)定义定义 1010200 xstep xxx应用应用如同一个如同一个“开关开关”，可在某点，可在某点“开开启启”或或“关闭关闭”另一个函数，常用另一个函数，常用来表示直边（或刀口）的透过率。来表示直边（或刀口）的透过率。1 1、一些常用函数、一些常用函数2 2）符号函数）符号函数 (Sign function)(Sig

7、n function)定义定义应用应用Sgn(x-x0)表示间断点移到表示间断点移到x0的符的符号函数，当它与某函数相乘，可使号函数，当它与某函数相乘，可使函数函数xx0部分的函数极性改变。部分的函数极性改变。 10sgn0010 xxxx 相位板的振幅透过率相位板的振幅透过率1 1、一些常用函数、一些常用函数3 3）矩形函数）矩形函数 ( (Rectangle functionRectangle function) 定义定义应用应用常用矩形函数表示狭缝、矩孔的透常用矩形函数表示狭缝、矩孔的透过率；它与某函数相乘时，可限制过率；它与某函数相乘时，可限制该函数自变量的范围，起到截取的该函数自变量

8、的范围，起到截取的作用，故又常称为作用，故又常称为“门函数门函数”。120axxrectaothers1 1、一些常用函数、一些常用函数4 4）三角形函数）三角形函数 (Triangle function) (Triangle function) 定义定义应用应用常用来表示光瞳为矩形的非相干成常用来表示光瞳为矩形的非相干成像系统的光学传递函数。像系统的光学传递函数。10 xxxatriaaothers1 1、一些常用函数、一些常用函数5 5）sincsinc函数函数 (Sinc function)(Sinc function)定义定义应用应用常用来描述狭缝或矩形孔的夫琅和常用来描述狭缝或矩形孔

9、的夫琅和费衍射图样。费衍射图样。sinsinxxacxaa1,2,3,xna n 零点位置：零点位置：思考题：思考题：能否写出能否写出sincsinc2 2函数的表达式并画出函数的表达式并画出图形？其与图形？其与sincsinc函数有何区别？函数有何区别？1 1、一些常用函数、一些常用函数2expxxGausaa6 6）高斯函数）高斯函数 (Gauss function) (Gauss function) 定义定义应用应用常用来描述激光器发出的高斯光束常用来描述激光器发出的高斯光束强度分布。强度分布。xGausaSa图形分布特点图形分布特点函数在原点具有最大值函数在原点具有最大值1 1，曲线下

10、的面积，曲线下的面积为为a a。1 1、一些常用函数、一些常用函数7 7）圆域函数）圆域函数 (Circle function)(Circle function)定义定义应用应用常用来表示圆孔的透过率。常用来表示圆孔的透过率。22220010 xyxyrCircrothers 1 1、一些常用函数、一些常用函数* * 8 8）斜坡函数）斜坡函数( Ramp function)( Ramp function) 定义定义应用应用常用来表示边界透过率的灰阶变化。常用来表示边界透过率的灰阶变化。bxbxbxxbxbxbxxramp0000, 0)(0 xx01x0+bslope=1/b)(0bxxra

11、mpx-201slope = -1/2-1-3-412)21(xramp1 1、一些常用函数、一些常用函数9 9）脉冲函数）脉冲函数( ( function)function) 定义定义应用应用常用常用 函数代表点质量、点电荷、点脉函数代表点质量、点电荷、点脉冲或者其他在某一坐标系中高度集中冲或者其他在某一坐标系中高度集中的物理量。的物理量。,00,0,1x yxyx y dxdy 1 1、一些常用函数、一些常用函数对于实际物理问题而言，对于实际物理问题而言， 函数只是一种理想化处理，主要目的是使许函数只是一种理想化处理，主要目的是使许多物理过程的研究更加方便。多物理过程的研究更加方便。脉冲函

12、数的另一种定义是可以把脉冲函数的另一种定义是可以把 函数看作是宽度逐渐减小、高度逐步函数看作是宽度逐渐减小、高度逐步增大但体积保持为增大但体积保持为1 1的一个脉冲序列的极限：的一个脉冲序列的极限：2222,limexpNx yNNxy2,limNx yN rect Nx rect Ny2,limsinsinNx yNc Nxc Ny1 1、一些常用函数、一些常用函数 函数的运算要通过积分作用于另一个函数才能得到定值，它是一种函数的运算要通过积分作用于另一个函数才能得到定值，它是一种“广义函数广义函数”。把。把 函数当作广义函数给出比较严格的定义：函数当作广义函数给出比较严格的定义：, x y

13、 ,0,0 x yx y dxdy 是检验函数；要求检验函数是连续的、在一个有限区间是检验函数；要求检验函数是连续的、在一个有限区间外为零，并具有所有阶的连续导数。外为零，并具有所有阶的连续导数。 1 1、一些常用函数、一些常用函数 函数的常用性质函数的常用性质 0000,xxyyx y dxdyxy )()(00 xxbbxx)(|1)(00 xxxx)()(xx000000( , ) (,)(,) (,)f x yxxyyf xyxxyya) a) 筛选性质筛选性质b) b) 对称性对称性c) c) 比例变化性质比例变化性质d) d) 与其他函数的乘积与其他函数的乘积1 1、一些常用函数、

14、一些常用函数1010）梳状函数）梳状函数( Comb( Comb function)function)一维情况一维情况nnxxComb)()(11()()nxxComb xnncomb沿沿x x轴间隔为轴间隔为1 1的无穷个脉冲函数的和的无穷个脉冲函数的和沿沿x x轴间隔为轴间隔为 的无穷个脉冲函数的和的无穷个脉冲函数的和应用应用可以利用梳状函数对其他可以利用梳状函数对其他普通函数作等间距抽样。普通函数作等间距抽样。1 1、一些常用函数、一些常用函数二维情况二维情况1(,)nmxyxna ymbcombcombabab (,)nmxn ymcomb x comb y 应用应用常用二维梳状函数表

15、示点常用二维梳状函数表示点光源阵列或小孔阵列的透光源阵列或小孔阵列的透过率函数。过率函数。1 1、一些常用函数、一些常用函数* *1111）宽边帽函数）宽边帽函数( Somb( Somb function)function)应用应用可用来表示圆形光瞳的相干脉可用来表示圆形光瞳的相干脉冲响应（对应冲响应（对应somb)；圆孔光；圆孔光瞳的非相干脉冲响应以及圆孔瞳的非相干脉冲响应以及圆孔的夫琅和费衍射图样（对应的夫琅和费衍射图样（对应somb2)。drdrJdrsomb)(2)(1定义定义1 1、一些常用函数、一些常用函数圆形光瞳的相干脉冲响应圆形光瞳的相干脉冲响应圆孔光瞳的非相干脉冲响应圆孔光瞳

16、的非相干脉冲响应以及圆孔的夫琅和费衍射图样以及圆孔的夫琅和费衍射图样1 1、一些常用函数、一些常用函数 需要特别说明的是，上面提到的常用函数有的本身就是二维函需要特别说明的是，上面提到的常用函数有的本身就是二维函数，而那些只给出一维形式的函数也具有二维形式，这里不再赘数，而那些只给出一维形式的函数也具有二维形式，这里不再赘述，只给出这些常用二维函数的图形化表示。述，只给出这些常用二维函数的图形化表示。)()(),(0000dyyrectbxxrectdyybxxrect二维矩形函数二维矩形函数1 1、一些常用函数、一些常用函数二维三角形函数二维三角形函数 )()(),(0000dyytribx

17、xtridyybxxtri1 1、一些常用函数、一些常用函数二维二维sincsinc函数函数)(sin)(sin),(sin0000dyycbxxcdyybxxc1 1、一些常用函数、一些常用函数二维高斯函数二维高斯函数0000(,)()()xxyyxxyyGaussGaussGausbdbd2 2、卷积和相关、卷积和相关 ( , )( , )* ( , ),g x yf x yh x yfh xyd d 1 1）卷）卷 积积 卷积的定义卷积的定义利用图解有助于理解卷积运算的真实含义：以一维函数卷积为例利用图解有助于理解卷积运算的真实含义：以一维函数卷积为例( )( )* ( )( ) ()g

18、 xf xh xfh xd卷积图解计算的四个步骤：卷积图解计算的四个步骤：第二步：第二步： 位移位移第一步：折叠第一步：折叠第三步：相乘第三步：相乘 第四步第四步 积分积分 图解计算过程图解计算过程另一例子另一例子 100 xf xothers 00 xexh xothers折叠折叠位移位移相乘、积分相乘、积分2 2、卷积和相关、卷积和相关 卷积运算的两个效应卷积运算的两个效应（1 1）展宽）展宽（2 2）平滑化）平滑化2 2、卷积和相关、卷积和相关 卷积的性质卷积的性质( , )* ( , )( , )* ( , )f x yh x yh x yf x y交换律交换律( , )( , )*

19、( , ) ( , )* ( , ) ( , )* ( , )af x ybg x yh x ya f x yh x yb g x yh x y分配律分配律结合律结合律 ( , )* ( , )* ( , )( , )* ( , )* ( , )f x yg x yh x yf x yg x yh x y平移不变性平移不变性00( )* ()()* ( )f xh xxf xxh x2 2、卷积和相关、卷积和相关定标性质定标性质若若 )()(*)(xgxhxf)()(*)(bxgbbxhbxf则则注意：注意：)()(*)(bxgbxhbxf( , )* ( , )( , )f x yx yf

20、x y 函数的卷积函数的卷积性质性质0000( , )* (,)(,)f x yxxyyf xxyy （1 1）任意函数与）任意函数与 函数的卷积是其本身函数的卷积是其本身 （2 2）任意函数与发生某一平移的）任意函数与发生某一平移的 函数的卷积，则是该函数平移到脉冲函数平函数的卷积，则是该函数平移到脉冲函数平 移到的空间位置。移到的空间位置。2 2、卷积和相关、卷积和相关2 2）相）相 关关 相关运算包括互相关和自相关运算两种相关运算包括互相关和自相关运算两种 互相关互相关,fgrx yfx yg x yfgxy d d f f( (x x) ) g g( (x x) ) f f( (x x

21、) ) * *g g* *( (- -x x) ) 互相关与卷积的关系互相关与卷积的关系与卷积运算比较差别在于：相关运算函数与卷积运算比较差别在于：相关运算函数g g取复共轭，但不需要折叠，而位取复共轭，但不需要折叠，而位移、相乘和积分三个步骤是同样的。移、相乘和积分三个步骤是同样的。思考题：互相关运算是否满足交换律、结合律？思考题：互相关运算是否满足交换律、结合律？2 2、卷积和相关、卷积和相关互相关运算的含义互相关运算的含义互相关是两个信号之间存在多少相似性的量度，两个完全不同的、毫无关系互相关是两个信号之间存在多少相似性的量度，两个完全不同的、毫无关系的信号，对所有位置，它们互相关的值应

22、为零。假如两个信号因为某种物理的信号，对所有位置，它们互相关的值应为零。假如两个信号因为某种物理上的联系在一些部位存在相似性，在相应位置上就存在非零的互相关值。上的联系在一些部位存在相似性，在相应位置上就存在非零的互相关值。2 2、卷积和相关、卷积和相关,ffrx yfx yfx yffxy d d ,ffffrx yrxy 自相关自相关自相关的性质：自相关的性质：（1）自相关函数是厄米的，即）自相关函数是厄米的，即（2）自相关函数在原点的模最大（用施瓦兹不等式关系），即）自相关函数在原点的模最大（用施瓦兹不等式关系），即,0,0ffffrx yr2 2、卷积和相关、卷积和相关 自相关运算的含

23、义自相关运算的含义自相关函数是自变量相差某一大自相关函数是自变量相差某一大小时，函数值间相关的量度；当小时，函数值间相关的量度；当函数相对本身有平移时，就改变函数相对本身有平移时，就改变了位移为零时具有的逐点相似性，了位移为零时具有的逐点相似性，自相关的模越小。但是只要信号自相关的模越小。但是只要信号本身在不同部位存在相似性，相本身在不同部位存在相似性，相应部位还会产生不为零的自相关应部位还会产生不为零的自相关值。值。3 3、空间频率及空间频谱、空间频率及空间频谱1）图像看作是由缓慢变化的背景、粗的轮廓等比较低的）图像看作是由缓慢变化的背景、粗的轮廓等比较低的“空间频率空间频率”成分和急剧变化

24、的细节等比较高的成分和急剧变化的细节等比较高的“空间频空间频率率”成分构成的，用成分构成的，用频率的分布和变化频率的分布和变化来描述光学图像。来描述光学图像。2）傅里叶光学中要处理的是二维空间变化图像信息，研究）傅里叶光学中要处理的是二维空间变化图像信息，研究的是随空间位置变化的图像信息，对应的频率则称为的是随空间位置变化的图像信息，对应的频率则称为“空空间频率间频率”，对应的频谱则称为，对应的频谱则称为“空间频谱空间频谱”。3 3、空间频率及空间频谱、空间频率及空间频谱3 3）一幅图像必然是各处明暗色彩不同，这是一种光的强度和颜）一幅图像必然是各处明暗色彩不同，这是一种光的强度和颜色按空间的

25、分布。这种空间分布的特征可以用空间频率来表明。色按空间的分布。这种空间分布的特征可以用空间频率来表明。4 4）用用傅立叶分析傅立叶分析的方法求出一幅图象的明暗所组成的各个空间频率的方法求出一幅图象的明暗所组成的各个空间频率及相应的及相应的“振幅振幅”，也就是，也就是“空间频谱空间频谱”。 明暗具有空间周期性的图象的频谱中各空间频率（包括明暗具有空间周期性的图象的频谱中各空间频率（包括 f fx x 和和 f fy y）具有分立）具有分立的值，而非周期性图象的频谱中的频率值是连续的。的值，而非周期性图象的频谱中的频率值是连续的。 频谱中相应较大空间周期的成分是频谱中相应较大空间周期的成分是“低频

26、低频”成分，相应于较小空间周期的成分，相应于较小空间周期的成分是成分是“高频高频”成分。图象的粗略结构具有较低的空间频率，细微结构具有成分。图象的粗略结构具有较低的空间频率，细微结构具有较高的空间频率。较高的空间频率。 一幅图象的特征就这样可以用它的频谱来表示，这频谱中所有的频率成分一幅图象的特征就这样可以用它的频谱来表示，这频谱中所有的频率成分和相应的振幅就是这幅图象所包含的光学信息（加上彩色，信息量还要增加和相应的振幅就是这幅图象所包含的光学信息（加上彩色，信息量还要增加很多）。很多）。,=,xyg x yG ff3 3、空间频率及空间频谱、空间频率及空间频谱空间周期：空间周期：T Tx

27、x=d=d空间频率：空间频率：f fx x=1/d=1/d空间周期：空间周期：T Tx x=d=dx x, T, Ty y=d=dy y空间频率：空间频率：f fx x=1/d=1/dx x, f , fy y=1/d=1/dy y举例：明暗空间周期性变化的图像举例：明暗空间周期性变化的图像3 3、空间频率及空间频谱、空间频率及空间频谱5 5）可以用适当的方法找出一幅图像所包含的光学信息，即其频谱。）可以用适当的方法找出一幅图像所包含的光学信息，即其频谱。 这个方法就是夫琅禾费衍射。这个方法就是夫琅禾费衍射。 如图如图 3 3 所示装置，当栅缝水平的光栅所示装置，当栅缝水平的光栅 AB AB

28、被由单色点光源被由单色点光源 S S 通过透通过透镜镜 L L1 1 形成的平行光照射时，其衍射第形成的平行光照射时，其衍射第 n n 级亮纹出现在级亮纹出现在 的方向上，的方向上，sinmmfndn 在屏上记录下来的衍射图样就是图像的空间频谱，不同级次对应不在屏上记录下来的衍射图样就是图像的空间频谱，不同级次对应不同空间频率的信息。同空间频率的信息。 一套夫琅禾费衍射装置就是一套图像傅里叶（空间）频谱分析器，一套夫琅禾费衍射装置就是一套图像傅里叶（空间）频谱分析器，4 4、傅里叶级数、傅里叶级数1 1）1919世纪初，傅里叶在向巴黎科学院提交的关于热传导的著名论文中首世纪初，傅里叶在向巴黎科

29、学院提交的关于热传导的著名论文中首次提出了傅里叶级数的概念；经过不断发展，在今天，傅里叶分析的方次提出了傅里叶级数的概念；经过不断发展，在今天，傅里叶分析的方法已经被广泛应用于物理及工程学科的各个领域。法已经被广泛应用于物理及工程学科的各个领域。2 2）傅里叶级数的思想就是用一正交函数系中各函数的线性组合来表示某一）傅里叶级数的思想就是用一正交函数系中各函数的线性组合来表示某一函数。常用的正交函数系包括三角函数系和复指数函数系。函数。常用的正交函数系包括三角函数系和复指数函数系。 因此，对于某一周期性函数因此，对于某一周期性函数g(x)g(x)，周期是，周期是f f=1/=1/ ，如果满足狄里

30、赫利条件，如果满足狄里赫利条件，即在一个周期内只有有限个极值点和第一类不连续点。则该函数可表示为三即在一个周期内只有有限个极值点和第一类不连续点。则该函数可表示为三角傅里叶级数和指数傅里叶级数的形式。角傅里叶级数和指数傅里叶级数的形式。三角傅里叶级数三角傅里叶级数 01cos 2sin 22nnnag xanfxbnfx其中，其中， 002ag x dx 02cos 2nag xnfx dx 02sin 2nbg xnfx dx1,2,n 4 4、傅里叶级数、傅里叶级数指数傅里叶级数指数傅里叶级数 exp2nng xcjnfx 01exp20, 1, 2,ncg xjnfx dxn 其中，其中

31、，两种表达形式之间的联系两种表达形式之间的联系002ac 12nnncajb12nnncajb1,2,3,n ncnfnc0, 2 , 3 ,fff傅里叶系数傅里叶系数是频率是频率的函数，称为频谱函数。一般的函数，称为频谱函数。一般是复函数，是复函数，等频率分量，频率取值是离散的，所以只有离散谱。等频率分量，频率取值是离散的，所以只有离散谱。 它包括振幅频谱和相位频谱。由于周期性函数只包含它包括振幅频谱和相位频谱。由于周期性函数只包含* * 所谓的研究频谱就是研究所谓的研究频谱就是研究c cn n与与nf nf 之间的关系。之间的关系。如果如果njnncA e其中，其中，A An n称为振幅频

32、谱，称为振幅频谱， n n称为相位频谱。称为相位频谱。4 4、傅里叶级数、傅里叶级数 ,40,42Axg xx举例：如下图所示的周期为举例：如下图所示的周期为 =1/f=1/f0 0的矩形波函数，在一个周期内，函数的矩形波函数，在一个周期内，函数解析式为解析式为（1 1）展开为三角傅里叶级数形式为）展开为三角傅里叶级数形式为 00002111cos2cos23cos25cos272357AAg xf xfxfxfx4 4、傅里叶级数、傅里叶级数矩形波的傅里叶综合矩形波的傅里叶综合4 4、傅里叶级数、傅里叶级数（2 2）展开为指数傅里叶级数形式）展开为指数傅里叶级数形式 000000232325

33、2522235jfxjfxjfxjfxjf xjf xAAAAg xeeeeee对应的频谱为对应的频谱为5 5、傅里叶变换、傅里叶变换 2jfxg xG f edf 2jfxG fg x edx1）对非周期函数同样可以作傅里叶分析，只是此时其频率取值不再）对非周期函数同样可以作傅里叶分析，只是此时其频率取值不再 是离散的，而是连续的。是离散的，而是连续的。2）傅里叶变换定义及存在条件）傅里叶变换定义及存在条件根据傅里叶级数的思想，可把函数看作复指数函数在整个连续的频根据傅里叶级数的思想，可把函数看作复指数函数在整个连续的频率区间上的积分和，即率区间上的积分和，即其中，其中，称为称为g(x)g(

34、x)的傅里叶变换或频谱。的傅里叶变换或频谱。G(f )G(f )是是g(x)在频率域的表示形式，其作用在频率域的表示形式，其作用类似于傅里叶系数类似于傅里叶系数c cn n，即作为各种频率成分的权重因子，描述各复指数分，即作为各种频率成分的权重因子，描述各复指数分量的相对幅值和相移。如果量的相对幅值和相移。如果G(f )G(f )是复函数，则有是复函数，则有 jfG fA f e则称则称A(f)A(f)为为g(x)g(x)的振幅频谱，的振幅频谱， (f)(f)为为g(x)g(x)的相位频谱。的相位频谱。5 5、傅里叶变换、傅里叶变换,exp2,xyxyxyxyg x yG ffjf xf yd

35、f dfG ff -1F将该定义推广到二维形式，有将该定义推广到二维形式，有,exp2,xyxyG ffg x yjf xf ydxdyg x y F思考题：在什么情况下傅里叶积分才有意义？思考题：在什么情况下傅里叶积分才有意义？（1 1）g g在整个积分区域内绝对可积；在整个积分区域内绝对可积；（2 2）在任一区域内，）在任一区域内，g g必须只有有限个间断点和有限个极大和极小值；必须只有有限个间断点和有限个极大和极小值；（3 3）g g必须没有无穷大间断点必须没有无穷大间断点5 5、傅里叶变换、傅里叶变换,limxyg x yrectrect2sinsinxyxyrectrectcfcfF

36、3 3）广义傅里叶变换）广义傅里叶变换 某些函数并不满足傅里叶积分的条件，若希望用傅里叶分析讨论它们，某些函数并不满足傅里叶积分的条件，若希望用傅里叶分析讨论它们，必须将傅里叶变换定义进行推广，即进行广义傅里叶变换。必须将傅里叶变换定义进行推广，即进行广义傅里叶变换。 所谓的广义傅里叶变换就是将函数看作某个可变换函数所组成的序列所谓的广义傅里叶变换就是将函数看作某个可变换函数所组成的序列的极限，对序列中每一函数进行变换，组成一个新的变换式序列，这个的极限，对序列中每一函数进行变换，组成一个新的变换式序列，这个新序列的极限就是原来函数的广义傅里叶变换。新序列的极限就是原来函数的广义傅里叶变换。举

37、例：举例：求函数求函数g(x,y)=1的傅里叶变换的傅里叶变换显然该函数不满足傅里叶变换的条件，但它可以定义为矩形函数序列的显然该函数不满足傅里叶变换的条件，但它可以定义为矩形函数序列的极限，即极限，即不难求出该矩形函数的傅里叶变换为不难求出该矩形函数的傅里叶变换为2,limsinsin,xyxyg x ycfcfffF根据广义傅里叶变换的定义根据广义傅里叶变换的定义5 5、傅里叶变换、傅里叶变换4 4）虚、实、奇、偶函数傅里叶变换的性质）虚、实、奇、偶函数傅里叶变换的性质,g x y,xyGff,g x y,xyGff空域空域频域频域空域空域频域频域* *: : 若实部为奇函数，虚部为偶函数

38、，则函数是反厄米型函数。若实部为奇函数，虚部为偶函数，则函数是反厄米型函数。 5 5、傅里叶变换、傅里叶变换5 5）傅里叶变换定理）傅里叶变换定理若假设：若假设：,xyxyg x yG ffh x yHffFF线性定理线性定理,xyxyag x ybh x yaG ffbH ffF相似性定理相似性定理1,yxffg ax byGababF平移定理平移定理,exp2,exp2,xyxyabxaybg xa ybG ffjf af bg x yjf xf yG ffffFF5 5、傅里叶变换、傅里叶变换 Parseval Parseval定理定理22|( , )|(,)|xyxyg x ydxdyG ffdf df 卷积定理卷积定理 * * * ,xyxy