成都理工大学 高数下 重修 PPT D10_3三重积分

1、目录 上页 下页 返回 结束 一、三重积分的概念三重积分的概念 二、三重积分的计算二、三重积分的计算三重积分 目录 上页 下页 返回 结束 一、三重积分的概念一、三重积分的概念 类似二重积分解决问题的思想, 采用kkkkv),(),(kkkkv引例引例: 设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的物质,),(Czyx求分布在 内的物质的可得nk 10limM“大化小大化小, 常代变常代变, 近似和近似和, 求极限求极限”解决方法解决方法:质量 M .密度函数为目录 上页 下页 返回 结束 定义定义. 设,),( , ),(zyxzyxfkkknkkvf),(lim10存在,),(zyxfvzyx

2、fd),(称为体积元素体积元素, vd.dddzyx若对 作任意分割任意分割: 任意取点任意取点则称此极限为函数在 上的三重积分三重积分.在直角坐标系下常写作三重积分的性质与二重积分相似.性质性质: ),2,1(nkvk,),(kkkkv下列“乘积和式” 极限记作记作目录 上页 下页 返回 结束 二、三重积分的计算二、三重积分的计算1. 利用直角坐标计算三重积分利用直角坐标计算三重积分目录 上页 下页 返回 结束 三次积分法三次积分法设区域:利用投影法结果 ,bxaxyyxyDyx)()(:),(21),(),(21yxzzyxz把二重积分化成二次积分即得:vzyxfd),(),(),(21d

3、),(yxzyxzzzyxf)()(21dxyxyybaxd目录 上页 下页 返回 结束 其中 为三个坐标例例1. 计算三重积分,dddzyxx12zyx所围成的闭区域 .解解:zyxxddd)1(01021d)21 (dxyyxxxyxz210d1032d)2(41xxxxyxz210)1(021xy10 x )1(021dxy10d xx481面及平面1xyz121O目录 上页 下页 返回 结束 xyz2. 利用柱坐标计算三重积分利用柱坐标计算三重积分 ,),(3RzyxM设,代替用极坐标将yx),z（则就称为点M 的柱坐标.z200sinyzz cosx直角坐标与柱面坐标的关系:常数坐标

4、面分别为圆柱面常数半平面常数z平面z),(zyxM)0 ,(yxO目录 上页 下页 返回 结束 如图所示, 在柱面坐标系中体积元素为zvdddd因此zyxzyxfddd),(),(zF其中),sin,cos(),(zfzF适用范围适用范围:1) 积分域积分域表面用柱面坐标表示时方程简单方程简单 ;2) 被积函数被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离变量互相分离.zdddzzddddxyzddO目录 上页 下页 返回 结束 2axyzO其中 为例例3. 计算三重积分zyxyxzddd22xyx2220),0(, 0yaazz所解解: 在柱面坐标系下:cos202ddcos342032acos202

5、0az 0及平面zvdddd20dazz0dzzddd2原式298a由柱面cos2围成半圆柱体.目录 上页 下页 返回 结束 OOxyz例例4. 计算三重积分解解: 在柱面坐标系下h:hz42dhh2022d)4(124)41ln()41(4hhhhz h2020h202d120d,1ddd22yxzyxzyx422)0( hhz所围成 .与平面其中 由抛物面42zvdddd原式 =目录 上页 下页 返回 结束 3. 利用球坐标计算三重积分利用球坐标计算三重积分 ,),(3RzyxM设),(z其柱坐标为就称为点M 的球坐标.直角坐标与球面坐标的关系,zOMzr),(r则0200rcossinr

6、x sinsinry cosrz 坐标面分别为常数r球面常数半平面常数锥面, rOM 令),(rMsinrcosrz MxyzO目录 上页 下页 返回 结束 rddrdd如图所示, 在球面坐标系中体积元素为dddsind2rrv 因此有zyxzyxfddd),(),(rF其中)cos,sinsin,cossin(),(rrrfrF适用范围适用范围:1) 积分域积分域表面用球面坐标表示时方程简单方程简单;2) 被积函数被积函数用球面坐标表示时变量互相分离变量互相分离.dddsin2rrxyzO目录 上页 下页 返回 结束 xyzO例例5. 计算三重积分,ddd)(222zyxzyx22yxz为锥面2222Rzyx解解: 在球面坐标系下:zyxzyxddd)(222所围立体.40Rr 020其中 与球面dddsind2rrv Rrr04d)22(515R40dsin20d4Rr 目录 上页 下页 返回 结束 2,zxz1. 将. )(),(Czyxf用三次积分表示,2,0 xx,42, 1yxyvzyxfId),(其中 由所提示提示:20 xxy21212 zxI2d),(xzzyxf xy2121d20d x思考与练习思考与练习六个平面围成 ,:目录 上页 下