无穷小,无穷大,极限的运算法则

1、1 无穷小无穷小 无穷大无穷大 无穷小与无穷大之间的关系无穷小与无穷大之间的关系 无穷小与函数极限之间的关系无穷小与函数极限之间的关系 无穷小的性质无穷小的性质 2 ., 0,0为为无无穷穷小小则则称称时时或或当当xfxfxxx, 0 如如果果 xf 0 xxxf当当则则称称 0lim0 xfxx ,0的的某某一一去去心心邻邻域域有有定定义义在在设设函函数数xxf,0 恒恒有有时时使使得得当当,00 xx:,记记作作时时为为无无穷穷小小成立成立, ,大大于于某某一一正正数数时时有有定定义义当当设设函函数数xxf, 0 如如果果,0X恒恒有有时时使使得得当当,Xx xf 成立成立, :.记记为为

2、是是的的无无穷穷小小量量当当x 当当则则称称xf .0limxfx3, 027lim 33xx.3273时时为为无无穷穷小小当当xx., 0, 000时时的的无无穷穷小小当当xxxxxx同样可以定义同样可以定义: 如如:.1时时为为无无穷穷小小当当xx, 01limxx ., 0arctan2lim时时为为无无穷穷小小当当xxfxx 说一个函数是无穷小，必须与自变量的变化过程相联系。说一个函数是无穷小，必须与自变量的变化过程相联系。 如：函数如：函数.1时时为为无无穷穷小小当当xx但当但当1x时，时，x1的极限为的极限为1.绝对值很小的数不是无穷小，无穷小是变量绝对值很小的数不是无穷小，无穷小

3、是变量. 4证证对对, 0 要使要使xx1sin, xx1sinx取取, 则当则当,0 x xx1sin恒成立。恒成立。xxy1sin当当0 x时为无穷小。时为无穷小。所以所以例例1用定义证明：用定义证明：xxy1sin当当0 x时为无穷小。时为无穷小。分析：分析：要证明要证明xxy1sin当当0 x时为无穷小，时为无穷小，对对, 0 只要能找到只要能找到,0 当当,0 x恒有恒有 xf成立即可。成立即可。5.)( ).()()(lim 时时的的无无穷穷小小量量是是当当其其中中，的的充充分分必必要要条条件件是是 xxxAxfAxfx . Axf证证设设则则,)(lim0Axfxx , Axf由

4、由于于 . Axf即即 .lim0Axfxx令令 , Axf则则 是当是当 0 xx 时的无穷小。时的无穷小。 , Axf设设反反之之.,0 xxA是是无无穷穷小小是是常常数数其其中中 .,0, 0, 00 Axfxx恒恒有有时时使使得得当当.,0, 0, 00 就就有有当当xx 0,00 xxxxxx也也可可以以是是可可以以是是表表示示任任意意的的极极限限过过程程，这这里里，用用记记号号函数极限与无穷小之间的关系函数极限与无穷小之间的关系: : 只证只证 0 xx 的情况。的情况。 6 .0时时为为无无穷穷大大当当则则称称xxxxf ,0的的绝绝对对值值无无限限增增大大函函数数时时或或如如果

5、果当当xfxxx 00,0,0 xxXM当当或或如如果果 0 xxxf当当则则称称 xfxxx)(0lim 的的某某一一去去心心邻邻域域内内在在设设0 xxf有有定定义义。 ,Mxf恒恒有有大大于于某某一一正正数数或或 x,Xx 或或记记作作时时为为无无穷穷大大 ,x或或 1. 1. 在某个过程中，变量在某个过程中，变量f（x）为无穷大时，为无穷大时，f ( x )的极的极)(lim)(xfxfxx为为无无穷穷大大，记记作作时时限不存在，但是允许使用极限的符号来记。即限不存在，但是允许使用极限的符号来记。即: 7 3. 说一个函数为无穷大，必须与自变量的变化过程相联系。说一个函数为无穷大，必须

6、与自变量的变化过程相联系。 4. 4. 无穷大必是无界变量；但无界变量不一定是无穷大无穷大必是无界变量；但无界变量不一定是无穷大。cos,. yxxy 如在内无界 但 不是无穷大 （吉米36题） ,1 ,00 MxM取取,0时时或或是是当当的的数数无无穷穷大大不不是是绝绝对对值值很很大大xxx.的的函函数数极极限限为为 2. XxXxXM 00,2, 00 若若取取，但但是是，对对. 不不是是无无穷穷大大即即 y ,02cos20MXXxy .,000MxyxMMMMMxy 11cos1 0若函数若函数 xxycos时为无穷大，时为无穷大，当当 x由定义，对由定义，对 .,0,0MxyXxXM

7、时时，均均有有当当834lim 23xx证证明明例例,143Mx只要只要,3434Mxx要使要使取取 ,4M 则当则当 30 x时，时， .34Mx, 0M证证.343 铅铅直直渐渐近近线线图图形形的的是是函函数数直直线线xyx .,lim, 000000的的铅铅直直渐渐近近线线是是则则称称如如果果一一般般的的xfyxxxfxxxxxx3xOy34lim3xx9 ,lim0 xfxx设设 .,0, 0, 00MxfxxM有有时时当当 .1为为无无穷穷小小xf,1M 取取 Mxf11有有,00 xx当当, 0 对对上上述述 ,为为无无穷穷小小且且如如果果反反之之xf程程中中，在在自自变变量量的的

8、同同一一变变化化过过 ;1为为无无穷穷小小则则xf ,0 xf且且 .1为为无无穷穷大大则则xf ,为为无无穷穷大大如如果果xf证证 10 为为无无穷穷小小：时时设设当当反反之之xfxx,:0 .,0, 0, 00 xfxx就就有有时时当当的的任任意意性性：由由M, .1,0为无穷大为无穷大时时当当xfxx ,1 M取取, 0 对对上上述述,00时时当当 xx .1Mxf就有就有11.,0时时为为无无穷穷小小的的情情形形是是当当只只证证xx ,min21 取取.0仍仍为为无无穷穷小小xx ,0, 0,202 xx当当对上述对上述.2成立成立恒有恒有 ,0时时的的无无穷穷小小是是当当又又因因xx

9、 ,0, 0, 0101 xx当当;2成立成立恒有恒有 ,0时时的的无无穷穷小小是是当当因因xx 有限个无穷小之和是无穷小有限个无穷小之和是无穷小。 就就有有则则当当,00 xx .22 . 0lim, 0limxxxx 假假设设证证: : 12：无穷多个无穷多个无穷小之和不一定是无穷小。无穷小之和不一定是无穷小。（记录）（记录） 时都是无穷小，时都是无穷小，当当例如，例如，nnnnnn,3,2,12222和和不不一一定定是是无无穷穷小小。所所以以无无穷穷多多个个无无穷穷小小的的但但是是，它它们们的的和和.212121lim2)1(lim321lim2222212nnnnnnnnnninnni

10、13证证),(10 xxU则则, 0M使得对于使得对于成立。成立。Mu 设设, 0lim0 xx设函数设函数u在在0 x的某一去心邻域内是有界的，的某一去心邻域内是有界的，则对于则对于, 0, 02 ),(20 xxU当当时，时，恒有恒有.M 取取,min21 则当则当),(0 xxU同时成立。同时成立。Mu M 及及从而从而. MMuu u所以，所以，是当是当时的无穷小。时的无穷小。0 xx 有界变量与无穷小的乘积仍是无穷小有界变量与无穷小的乘积仍是无穷小. 常数与无穷小的乘积仍为无穷小常数与无穷小的乘积仍为无穷小. . 有限个无穷小的乘积仍为无穷小有限个无穷小的乘积仍为无穷小.14xxx1

11、coslim 30求求例例.1cos是有界变量是有界变量x, 0lim0 xx而而,2知知由由定定理理,1cos是是无无穷穷小小xx. 01coslim0 xxx, 11cos x解解.,0为为无无穷穷小小时时当当xx 01coslimlim1coslim000 xxxxxxx15 极限的运算法则极限的运算法则 极限的四则运算法则极限的四则运算法则 复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则 16 1推论推论 ,lim Axf如如果果则则为为常常数数,c .limcAxcf 2推推论论 ,lim Axf如如果果则则为为正正整整数数而而 ,n .limlimnnnAxfxf .limlimli

12、m1BAxgxfxgxf ,lim,limBxgAxf如如果果 .limlimlim2ABxgxfxgxf .0 limlimlim3BBAxgxfxgxf可推广到可推广到多个函数多个函数 17 ,lim,limBxgAxf如如果果 .limlimlim2ABxgxfxgxf证明：证明：由由得得BxgAxf )(lim,)(lim为为无无穷穷小小，其其中中 ,)(,)( BxgAxf BAABxgxf)()(由定理由定理1ABxgxf的的极极限限是是)()( 18 ,lim,limBxgAxf如如果果 .0 limlimlim3BBAxgxfxgxf证明：证明： 由由得得BxgAxf )(li

13、m,)(lim为为无无穷穷小小，其其中中 ,)(,)( BxgAxf,)()(BAxgxf 设设)()(1 ABBBBABA , 0)(lim Bxg2)()(),(00BxgxUxxU 时时，当当于是于是2221)(11)(1BBBxgBBB ,)(1有有界界 BB是无穷小是无穷小 ,)()( BAxgxf而而.)()(BAxgxf的的极极限限是是故故19 ,xxxf 令令 . 0 xf则则 xxxf limlim , 0lim,xf由由保保号号性性定定理理知知, 0ba即即 baxx limlim.ba ,nnyx和和设设有有数数列列,lim,limByAxnnnn如如果果 ,lim1 B

14、Ayxnnn则则 ,lim2BAyxnnn .lim,0,3 ,2 , 103BAyxBnynnnn时时且且当当 ,lim,lim,bxaxxx 而而如如果果.ba 则则( (极限的有序性）极限的有序性）证证: 2022lim 1231xxx求求例例 解解22lim231xxx2lim2lim2131xxxx1221 xxxxxx1lncos11sinsin1lim 220求求例例, 01sinlim, 0sinlim200 xxxxx 解解, 11sinsin1lim20 xxxx xxxxxx1lncos11sinsin1lim20 , 01ln lim, 2cos1lim 00 xxxx

15、 , 01lncos1lim0 xxx21(1)分母的极限不为零分母的极限不为零: 0,0011101110babxbxbxbaxaxaxaxQxPmmmmnnnn时时有有理理分分式式的的极极限限：当当0.1xx .lim , 0 ,0, 3000011101110 xQxPxQbabxbxbxbaxaxaxaxQxPxxmmmmnnnn求求且且例例 ,0lim00 xQxQxx同同样样 000limxQxPxQxPxx,010100 xPaxaxannnnnnxxaxaxa1100lim 解解22(2)(2) 分母极限为零，分子极限不为零的有理分式函数极限。分母极限为零，分子极限不为零的有理

16、分式函数极限。1lim 4.221xxxx求求例例01111lim1lim221221xxxxx 由无穷大与无穷小的关系，知道原极限不存在（无穷大），由无穷大与无穷小的关系，知道原极限不存在（无穷大），故：故：1lim221xxxx解解(3)(3)分子、分子、分母极限都为零。（分母极限都为零。（消除致零因子消除致零因子）12lim 5221xxxx求求例例.2312lim)1)(1()2)(1(lim12lim11221xxxxxxxxxxxx解解23附：多项式除法附：多项式除法 消去致零因子，即进行除式为消去致零因子，即进行除式为（x - a) 的多项式除法的多项式除法267lim32xxx

17、x例例：67023xxx2x2x232xxxx722x2xx42263x363x0)2(32)67(23xxxxx532lim22xxx24(4(4）两个都是无穷大的有理分式函数之差的极限两个都是无穷大的有理分式函数之差的极限23)1)(1()2)(1(lim121lim121xxxxxxxxx解解：121lim 621xxxx求求例例25时有理分式函数的极限时有理分式函数的极限x . 2221lim 7.244xxxx求求例例解：解：212211lim221lim4424244xxxxxxxxx121lim . 83xxxx求求例例121lim3xxxx 解解323212111limxxxx

18、x 000100112lim . 923xxxx求求例例112lim23xxxx 解解33211112limxxxxx26对这种类型，可以用对这种类型，可以用 x 的最高次幂，分别除分子、分母的的最高次幂，分别除分子、分母的各项，则有以下的结论：各项，则有以下的结论：今后可以直接运用上述结论。今后可以直接运用上述结论。nmnmbanmbxbxbxbaxaxaxammmmnnnnx当当当当当当, 0lim0011101110 设设 ),(xfy 若若 , 0limbaxxfxxx则称则称 baxy是是 )(xfy 的一条斜渐近线。的一条斜渐近线。 O x y 27例例10 曲线曲线 122xxy的斜渐近线方程为的斜渐近线方程为 。 (2005年研究生入学试题，数学一）年研究生入学试题，数学一） 4121xybaxxxx12lim2解：解：1222lim22xbbxaxaxxx12221lim2xbxbaxax0则则 02021baa即即 .4