多元函数微分法在几何中应用讲义

1、多元函数微分法在几何中应用讲义考察割线趋近于极限位置考察割线趋近于极限位置切线的过程切线的过程zzzyyyxxx 000t t t 上式分母同除以上式分母同除以, t ozyxMM 割线割线 的方程为的方程为MM ,000zzzyyyxxx , tztytxT割线的方向向量割线的方向向量),(),(),(, 0000tttTtMM 切切线线的的方方向向向向量量，割割线线的的极极限限位位置置，时时当当0dd,dd,ddtttztytxT 曲线在曲线在M处的切线方程处的切线方程.)()()(000000tzztyytxx 切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量

2、. )(),(),(000tttT 法平面：过法平面：过M点且与切线垂直的平面点且与切线垂直的平面.0)()()(000000 zztyytxxt 0dd,dd,ddtttztytxT .)1 , 1 , 1(;32方方程程处处的的切切线线方方程程和和法法平平面面在在点点例例；求求曲曲线线 tztytx, 1 ),1 , 1 , 1( t解解：对对应应与与点点, 33dd , 22dd , 1dd121 ttttzttytx ,3 , 2 , 11dd,dd,dd ttztytxT处处的的切切线线方方程程为为：在在点点)1 , 1 , 1(,312111 zyx法平面方程为：法平面方程为：,

3、0)1(3)1(2)1( zyx0632 zyx即即：解解当当0 t时，时，, 2, 1, 0 zyx,ttteex ,sincos2tty ,33tez , 1)0( x, 2)0( y, 3)0( z切线方程切线方程,322110 zyx法平面方程法平面方程, 0)2(3)1(2 zyx. 0832 zyx即即例例1 1 求曲线求曲线: tuuduex0cos，tysin2 tcos ,tez31 在在0 t处的切线和法平面方程处的切线和法平面方程.解解当当0 t时，时，, 2, 1, 0 zyx,costext ,sincos2tty ,33tez , 1)0( x, 2)0( y, 3

4、)0( z切线方程切线方程,322110 zyx法平面方程法平面方程, 0)2(3)1(2 zyx. 0832 zyx即即情形情形1.空间曲线方程为：空间曲线方程为：,),(000处处在在zyxM,)()(100000 xzzxyyxx . 0)()()(00000 zzxyyxxx 法平面方程法平面方程特殊地：特殊地：切线方程切线方程 )(),(, 1, 100 xxTdxdzdxdyTM 切向量：切向量： ),();(;xzxyxx 情形情形2.空间曲线方程为空间曲线方程为 ),();(; ,0),(0),(xzzxyyxxzyxGzyxF看作看作视视x为自变量，方程组确定的隐函数为为自变

5、量，方程组确定的隐函数为y(x),z=z(x),两边对两边对x求导求导 dxdzdxdyT, 1求求出出 dxdzdxdyT, 1切向量：切向量： 00dxdzGdxdyGGdxdzFdxdyFFzyxzyx 1dxdzdxdyxdxdzzdxdyy,;06222zyxzyx , 01; 0222dxdzdxdydxdzzdxdyyx,zyxzdxdy , 0)1,2, 1( dxdy,zyyxdxdz , 1)1,2, 1( dxdz由此得切向量由此得切向量,1, 0, 1 T所求切线方程为所求切线方程为,110211 zyx法平面方程为法平面方程为, 0)1()2(0)1( zyx0 zx

6、设曲面方程为设曲面方程为0),( zyxF)(),(),(000ttt曲线在曲线在M处的切向量处的切向量在曲面上任取一条通在曲面上任取一条通过点过点M的曲线的曲线,)()()(: tztytx nTM.,连续连续zyxFFF 0dd,dd,ddtttztytxT 0)(),(),( tztytxF在在曲曲面面上上，有有因因为为曲曲线线 代代入入得得求求导导数数，并并用用两两边边对对0ttt 00 ttdtdzFdtdyFdtdxFzyx0000000000000)(),()(),()(),(tzyxFtzyxFtzyxFzyx令令),(),(),(000tttT ,0Tn 上式看作),(),(

7、),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx 则则,Tn 切平面方程为切平面方程为0)(,( )(,()(,(000000000000 zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx通通过过点点),(000zyxM而而垂垂直直于于切切平平面面的的直直线线称称为为曲曲面面 在在该该点点的的法法线线. ),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx 法线方程为法线方程为0)(,( )(,()(,(000000000000 zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx切平面方程为切平面方程为曲面在曲面在M处的法向量即处的法向量即垂直于曲面上切平面的向量称为

8、曲面的法向量垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量.特殊地：如果空间曲面方程形为特殊地：如果空间曲面方程形为),(yxfz 曲面在曲面在M处的切平面方程处的切平面方程 , 0)(,()(,(0000000 zzyyyxfxxyxfyx曲面在曲面在M处的法线方程处的法线方程.1),(),(0000000 zzyxfyyyxfxxyx,),(),(zyxfzyxF 令令 1),(),( ,1),(),(00000000yxfyxfyxfyxfnyxyx 或或法向量为：法向量为：),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx MzyxFFFn, ,1cos22yxxfff ,

9、1cos22yxyfff .11cos22yxff MnT.,2;20,1 ,取取负负号号取取正正号号 ，yxffn曲面的法向量曲面的法向量8.63 全微分的几何意义全微分的几何意义空间曲面方程形为二元函数：空间曲面方程形为二元函数：),(yxfz .),)(,()(,(00000000改改变变量量是是切切平平面面上上的的竖竖坐坐标标的的注注意意到到，zzyyyxfxxyxfzzyx 曲面在曲面在M 处的切平面方程处的切平面方程),(00,0zyxyyxfxyxfzyxfzyxyx ),(),(d ),( 0000),(00可微分，由全微分公式可微分，由全微分公式设函数设函数 000000),

10、(),(),(,d00yyyxfxxyxfzzzyxyx 即即. “用切平面代替曲面”“用切平面代替曲面”的改变量近似代替，即的改变量近似代替，即标标可以用切平面上的竖坐可以用切平面上的竖坐的全改变量的全改变量注：函数注：函数zf .,00yyyxxx )(,()(,(0000000yyyxfxxyxfzzyx 切平面上切平面上点的竖坐点的竖坐标的改变标的改变量量的的全全微微分分在在点点函函数数),(),(00yxyxfz 因为曲面在因为曲面在M处处的切平面方程的切平面方程为为),(yxfz 在在),(00yx的全微分， 表示曲面的全微分， 表示曲面),(yxfz 在点在点),(000zyx处

11、的切平面上处的切平面上的点的竖坐标的的点的竖坐标的改变改变量量. 全微分的几何意义：全微分的几何意义：),(yxfz 例例 3 3 求旋转抛物面求旋转抛物面122 yxz在点在点)4 , 1 , 2(处的切平面及法线方程处的切平面及法线方程.解解, 1),(22 yxyxf)4, 1 ,2()4, 1 ,2(1,2,2 yxn,1, 2, 4 切平面方程为切平面方程为, 0)4()1(2)2(4 zyx, 0624 zyx法线方程为法线方程为.142142 zyx例例 4 4 求曲面求曲面32 xyezz在点在点)0 , 2 , 1(处的处的切平面及法线方程切平面及法线方程.解解, 32),(

12、 xyezzyxFz, 42)0,2, 1()0,2, 1( yFx, 22)0,2, 1()0,2, 1( xFy, 01)0,2, 1()0,2, 1( zzeF令令切平面方程切平面方程法线方程法线方程, 0)0(0)2(2)1(4 zyx, 042 yx.001221 zyx），（法法向向量量021, zyxFFFn 0 , 2 , 4 例例 5 5 求曲面求曲面2132222 zyx平行于平面平行于平面064 zyx的切平面方程的切平面方程. 解解设设 为曲面上的切点为曲面上的切点,),(0000zyxP切平面方程为切平面方程为0)(6)(4)(2000000 zzzyyyxxx依题意

13、，切平面方程平行于已知平面，得依题意，切平面方程平行于已知平面，得,664412000zyx .2000zyx 6 ,4 ,2 6 ,4 ,2,00000zyxzyxFFFnPPzyx 法法向向量量为为：因为因为 是曲面上的切点，是曲面上的切点，),(000zyx, 10 x所求切点为所求切点为满足方程满足方程),2 , 2 , 1(),2, 2, 1( 0)2(12)2(8)1(2 zyx2164 zyx0)2(12)2(8)1(2 zyx2164 zyx切平面方程切平面方程(1)切平面方程切平面方程(2)代入平面方程代入平面方程2132222 zyx 212322 202020 xxx得得

14、. )2(1,1, 11; 4:622222切线与法平面的方程处的在点：求曲线例yxzyx.,21垂垂直直向向量量与与两两曲曲面面的的切切平平面面的的法法解解：切切向向量量nnT ,1 , 0 ,244 , 0 ,2402022221 kjinnT ;0 , 2 , 0)2, 1 , 1(0 ,2 ,12,0,2 yxGGGnpzyx ;22 , 2 , 2)2, 1 , 1(2 ,2 ,2,0,1 zyxFFFnpzyx.21即可即可取取nnT . 02 zx即即 , 0212 zx法法平平面面的的方方程程为为 , 032; 1zxy即即,120121 zyx切切线线的的方方程程空间曲线的切

15、线与法平面空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线（当空间曲线方程为一般式时，求切向（当空间曲线方程为一般式时，求切向量注意采用推导法）量注意采用推导法）（求法向量的方向余弦时注意符号）（求法向量的方向余弦时注意符号）小小 结结思考题思考题 如如果果平平面面01633 zyx 与与椭椭球球面面163222 zyx相相切切，求求 .思考题解答思考题解答,2,2,6000zyxn 设切点设切点),(000zyx依题意知平面法向量为依题意知平面法向量为3, 3 32236000 zyx ,00 xy ,300 xz 切点满足曲面和平面方程切点满足曲面和平面方程,016930169320202200020 xxxxxx . 2 四、求椭球面四、求椭球面12222 zyx上平行于平面上