微振动很常见的一种物理现象

1、 第四章 微振动微振动：很常见的一种物理现象定义：振动是指系统对平衡位形(势能有极小值的位 形)的某种周期性偏离。1.4.1 一个自由度的微振动一、自由振动平衡位置：系统势能U(q)具有最小值的位置。 (此时：系统最稳定) 例：长为l的单摆的拉格朗日函数为其中： 平衡位置：微振动：质点对平衡位置的偏离不大 在平衡位置附近对L作泰勒展开：)cos1 (2122mglmlUTL)cos1 ( mglU0)sin0(mglddU00 推广：对一个有平衡位置的一维系统，设q为广义坐标。拉格朗日函数：设： 系统的平衡位置，则 2222222121)! 211 (1 21mglmlmglmlL)()(21

2、2qUqqaUTL0q0)( , 0)( 00qUqU对U在 附近作泰勒展开，只保留到二阶小量： 二阶小量 (势能：平滑不陡峭； 若 大，则单位时间运动的距离大 振动不是微振动)则 a(q)只需展开到零阶小量： 0q2000)( 21)()(qqqUqUqU202)(dtqqdqq )()(0qaqa且：略去对运动方程无关的常数项 (相当于选新的零势能点)，且令：则由拉格朗日方程： 0()U q“”kqUmqaxqq)( ,)(,0002000200)( 21)()()(21qqqUqUqqdtdqaL222121kxxmL0 xLxLdtd得到运动方程： 二、自由振动方程的解 自由振动：无外

3、力、强迫力、无阻尼的振动。方程 的解：积分常数：A振幅； 角频率； 初相位。其中振幅和初相位由初始条件确定，角频率由系统确定。 0 kxxm 220(0)kxxm02xx )cos(sincostAtbtax自由振动系统：保守系 能量守恒即方程解的复数形式(指数形式)：令 ，则：问题：什么条件下用复数运算？数学上：1对指数因子进行运算比对三角函数因子进行运算CAmkxxmUTE2222212121( )()i tiX tcecAe)(Re)(tXtx更简单，因为对指数微分并不改变它们的形式；2进行线性运算(相加、乘以常系数、微分、积分等) 时，可先用复数形式运算，运算完后再取实部；3反例：非线

4、性运算。例：电磁场中坡印廷矢量 ，不是 *1Re()2SE H1Re()2SEH 。EHEH：非线性运算，此时 、已取复数形式。三、受迫振动设：振子受到一个随时间变化的外场力 的作用则：在平衡位置附近展开 ： (确定平衡位置时，不考虑外场) 上式中， 只是t的函数，对方程无贡献，略去。),(212122txUkxxmLe),(txUe),(txUextUtUtxUeee), 0(), 0(),(), 0(tUe令 ，则由拉格朗日方程，得到运动方程：因令)(), 0(tFtUe)(212122txFkxxmLmtFxx)(2 )()(2xixixixdtdxx xixixixX 关于X的一阶微分

5、方程由F(t)=0得到与上式对应的齐次方程：再通过变易系数法解得非齐次方程的解： ( )Xi XF tim0XiXitXce00( )( )ti ti ti ttF tX tX eeedtim讨论：若：外力场为周期性外场则：选 ，使： ，则积分下限为零。令 )cos()(tftF0022( )Recos()()ti ti ttttF tfeedttimm0t20t00,Re()cos()ii tXAeX eAt22cos()cos()( )()fxAttmI 按本征频率 的振动和按强迫力频率 的振动 的叠加四、拍1当强迫力的频率 =本征频率 共振现象，(I) 式不能用 (待讨论)。2当 和 接

6、近相等时，设 共振区。 (I)式的指数形式为： ()()()()i titi ti tXCeDeCDee II在一个本征振动周期 内， 改变很少(对 求微分) (II)式中： 振幅(随t变化)； 频率设： 则振幅A在 与 之间变化；变化的频率是强迫力的频率与本征振动频率之差 拍现象。 2T i tCDetiDeCAi tCDe,iiCceDde)cos(2)(22)(tcddcdeceAtiidcdc1.4.2 阻尼振动 共振一、无阻尼的共振出发点：改写为：注意：此处的 不同于第一式的 。 )cos()()cos(22tmftAx)cos()cos()()cos(22ttmftAx,A,A当

7、时：则共振时，振动的振幅将随时间的增长而无限增大讨论：1.振幅增到一定程度，微振动的假设已不再成立；2.实际运动存在阻尼，振幅不会随时间无限增大。 00)cos()cos(22ttmf)sin(2)cos()cos()(lim22tmftttmfcos()sin()2ftxAttm二、阻尼振动实际的振动：存在阻尼。阻尼的作用：使机械运动的能量耗散，转化为热能，使 机械运动停止(无外力时)。此时：1.对振动系统，不再是保守系，不能引入势能函数；2.不能肯定运动物体的状态只是该瞬时它的坐标和速度 的函数(因为此时要考虑介质本身的运动，介质和物 体内部的热状态)。 力学中的运动方程不存在(因为前面已

8、假定，只要同时给定坐标和速度就能完全确定力学系统的状态)。但： 在某些情况频率比介质中的内耗过程的特征 频率小，即振动周期比内耗过程的周期长认为：在物体上作用着只依赖于它的速度的“阻力”。办法：在运动方程中加进阻力项。若：速度又很小，则：按速度的方次来展开阻力 ( ：较小)考虑到阻力和运动方向相反，有：vfvffvf)0( )0)(0( )0()( xkxxm )2,(022020mmkxxx 运动方程：解的形式：特征方程：其中：xfRetcex02202ii21220 ：弹力阻力； ：弹力阻力通解： 频率为 而振幅按指数衰减的振动三、有阻尼情况下的共振有阻尼情况下强迫振动的运动方程： 00m

9、tfxxxcos220 12Re()ti ti txec ec e复数形式：通解：其中： ：初始条件决定 由通解，可以看到，长时间后，系统以本征频率的振动衰减，只剩下第二项。202i tXXXfem)cos()cos(tctAext )0(24)(20222220tgmfc,A即：1.有阻尼的受迫振子，经过足够长时间后，完全按强迫 力的频率振动，振动的相位落后于强迫力的相位(因 为 )；2.当 时：c取极大值，发生共振(并不随t的增长而 无限增长)。四、通过共振时的相位变化接近共振时：00)(00 ( 很小 小量)共振时：远离共振时 : 00002022)2()(m20:tgmfc220220, 0tg)(0tg0 (0)(0) 当或当 由低到高( 由负到正)通过共振频率时，振动的相 位改变共振点相位：振动达到稳定(振幅不再随时间变化)时： 振子的能量不再变化克服阻尼所消耗的能量通过吸收外力源能量来补充。单位时间从外力源吸收的能量I=克服阻力在单位时间内做的功。即:(0) 2(2)xmx 一个周期( )内能量的平均值： 吸收对频率的依赖关系(色散) 2T2202220)(sin2mcTdttmcTIdtITT2222222sin ()d