数学思想史作业讲义

1、数学思想史作业讲义这是我国家喻户晓的一道名题，通常作为小学训练思维的心算题。这是我国家喻户晓的一道名题，通常作为小学训练思维的心算题。译文：今有大小和尚共100100个馒头。已知大和尚一人分三个， 小和尚3人分一个问大小和尚各有多少人？他们分别分到多少个馒头？1：（中古算法中古算法）大和尚大和尚1人人分馒头3个小和尚小和尚3人人分馒头分馒头1个个分馒头分馒头3个个合计合计4人人馒头馒头4个个从给定的条件看来，从给定的条件看来，4个和尚分个和尚分4个馒头，它们的结构比例是：大和尚个馒头，它们的结构比例是：大和尚小和尚小和尚=1 3，并且，大和尚分的馒头数，并且，大和尚分的馒头数小和尚分的馒头数小

2、和尚分的馒头数=3 1，现在已知现在已知100个和尚分个和尚分100个馒头，按此比例，很容易求得个馒头，按此比例，很容易求得大和尚大和尚100（3+1）=25（人）（人）小和尚小和尚100 43=75（人）（人）大和尚分得馒头大和尚分得馒头 253=75（个）（个）小和尚分得馒头小和尚分得馒头 75 3=25（个）（个）解法2列方程解应用题设大和尚有x人，小和尚有y人，则消去y求得X=25y=75x+y=100100313yx3X=752531y例例1. 1.今有粟一斗，欲为粝米，问得几何？今有粟一斗，欲为粝米，问得几何？选自选自九章算术九章算术术曰：以粟求粝米，三之，五而一。术曰：以粟求粝米

3、，三之，五而一。答曰：为粝米六升。答曰：为粝米六升。本题的意思是根据粟米之法所列的比率，问一斗谷子能换多少糙米？解：由粟米之法知谷子糙米=50 30设所求数为x，则50 30=1 x 即5 3=1 x古人把这种计算方法叫做“今有术”，四项比例中的各项均有专门名词，即所有率 所求率 = 所有数 所求数（粟率50）（糙米30）（今有粟1斗） （所求数x）根据比例的性质：两内项之积等于两外项之积，有所有率所求数=所求率所有数所以所求数=（所有数所求率）/所有率（升）斗） 6(53531x术文曰：“以所有数乘所求率为实，以所有率为法，实如法而一。”上式就是这个关系的解析表达式“今有术”实际上就是初中所

4、学的正比例关系y=kx，通过给定所有率和所求率的数据，确定比例系数k，再由所有数求所求数例例2.2.今有粟四斗五升，欲为凿米，问能换得精今有粟四斗五升，欲为凿米，问能换得精米多少升？米多少升？解：由粟米之法知道，“粟率五十，凿米二十四”，设所求数x，则由所有率所求率=所有数所求数5024=45x所以“今有术今有术”虽然简单，但刘徽却十分看重这个方虽然简单，但刘徽却十分看重这个方法，认为它是一种解题的通法，许多问题可以以法，认为它是一种解题的通法，许多问题可以以此为基础，转化为比例问题用此为基础，转化为比例问题用“今有术今有术”求解。求解。5321502445x（升）（升）例例3.3.今有出钱一

5、万三千五百，买竹二千三百五十个，今有出钱一万三千五百，买竹二千三百五十个，问个几何？问个几何？选自选自九章算术九章算术解：今有13500钱，买竹2350根，问每根竹子多少钱？这是一个简单的用除法求物品单价的问题，刘徽也把它归结为今有术之类，认为：“按今有之义，一枚为所有数，出钱为所求率，而今有之，即得所求数。”这样，求单价的问题，也表示成四项比例的问题，即235013500=1x所以这也体现了刘徽的化归思想和当今的这也体现了刘徽的化归思想和当今的“以法统题，多题一法以法统题，多题一法”的思想是一致的。的思想是一致的。(钱）473552350135001x答案答案例例4.4.今有兔先行一百步，犬

6、追之二百五十步，不及今有兔先行一百步，犬追之二百五十步，不及三十不止，问犬不止，复行几何步及之？三十不止，问犬不止，复行几何步及之？选自选自九章算术九章算术解：依题意作如下示意图犬兔犬兔30250步100步答案答案兔子先行兔子先行100100步，狗起跑追及，狗行步，狗起跑追及，狗行250250步时，狗兔还相距步时，狗兔还相距3030步，步，就是说狗行就是说狗行250250步可以追及兔子先行的步可以追及兔子先行的7070步。由于狗、兔都是匀速步。由于狗、兔都是匀速运动，即在相同的时间里狗、兔行走的距离之比是不变的。运动，即在相同的时间里狗、兔行走的距离之比是不变的。设狗再行x步就可以追上兔子，显然有所以7025030 x7110772530 x即狗再行步71107就可以追上兔子。1 1、今有出钱二千三百七十，买布九匹二丈七尺，欲匹率、今有出钱二千三百七十，买布九匹二丈七尺，欲匹率之，问匹几何之，问匹几何? ?提示：一匹提示：一匹=40尺尺2 2、今有人盗马乘去，已行三十七里，马主乃觉，追、今有人盗马乘去，已行三十七里，马主乃觉，追之一百四十五里，不及二十三里而还，今复还追之，之一百四十五里，不及二十三里而还，今复还追之，问几何里及之？问几何里及之？术曰：置不及里数，以马