函数值域的求法大全

1、题型一求函数值：特别是分段函数求值例1已知f(X)=T1-(xR,且xw1),g(x)=x2+2(xeR).Ix(1)求f(2),g(2)的值；(2)求fg(3)的值.111解f(x)=小，(2)=3.又g(x)=x2+2,.g(2)=22+2=6.(2)g(3)=32+2=11,11fg(3)=f(11)=1711-反思与感悟求函数值时，首先要确定出函数的对应关系f的具体含义，然后将变量代入解析式计算，对于fg(x)型的求值，按“由内到外”的顺序进行，要注意fg(x)与gf(x)的区别.x+1跟踪训练4已知函数f(x)=.xi2(1)求f(2);(2)求ff(1).解(1)x+1f (x)=

2、-' x x + 22+ 1 3f (2) = =:.')2+2 4258.二十1(2) f(1)2 3ff(1)=f(3)=2一3 23+25.已知函数f(x)=x2+x1.(1)求f(2),f(J);x(2)若f(x)=5,求x的值.21 f(x)解(1)f(2)=2+2-1=5,21+xx2x(2)f(x)=x2+x1=5,.x2+x6=0,.x=2,或x=3.4.函数f(x)对任意自然数x满足f(x+1)=f(x)+1,f(0)=1,则f(5)=答案6解析f(1)=f(0)+1=1+1=2,f(2)=f(1)+1=3,f(3)=f(2)+1=4,f(4)=f(3)+1=

3、5,f(5)=f(4)+1=6.二、值域是函数y=f（x）中y的取值范围。常用的求值域的方法：（1）直接法（2）图象法（数形结合）（3）函数单调性法（4）配方法（5）换元法（包括三角换元）（6）反函数法（逆求法）（7）分离常数法（8）判别式法（9）复合函数法（10）不等式法（11）平方法等等这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。求值域问题利用常见函数的值域来求（直接法）一次函数y=ax+b（a0）的定义域为R,值域为Rky(k0)反比例函数x的定义域为x|x0，值域为y|y0;2二次函数f(x)axbxc(a°)的定义域为R,y| y当a>0时，值域为(4ac b2)4a ；

4、当a<0时，值域为y |y (4ac b2) 4a .例1求下列函数的值域 y=3x+2(-1 x 1)不2 f(x)二(1x3) 3x小1y x (记住图像)xB：.一-13x 3, -13x+25,即-15,，值域是-1,5略D 当 x>0 y(Vxx2 2,当x<0时,)=-Gx值域是(22+ ).(此法也称为配方法)函数y x1 ，一的图像为:x二次函数在区间上的值域(最彳1)：例2求下列函数的最大值、最小值与值域：yx24x1;；yx24x1,x3,4yx24x1,x0,1;yx24x1,x0,5;解：:yx24x1(x2)23,顶点为(2,-3),顶点横坐标为2.

5、抛物线的开口向上，函数的定义域R,，x=2时，ymin=-3,无最大值；函数的值域是y|y-3.顶点横坐标23,4,当x=3时，y=-2;x=4时，y=1;.在3,4上，ymin=-2,ymax=1；值域为-2,1.,顶点横坐标20,1,当x=0时，y=1;x=1时，y=-2,.在0,1上，Ymin=-2,ymax=1；值域为-2,1.,顶点横坐标20,5,当x=0时，y=1;x=2时，y=-3,x=5时，y=6,在0,1上，Ymin=-3，Ymax=6;值域为-3,6.注：对于二次函数f(x)ax2bxc(a0),若定义域为R时，当a>0时，则当x旦时，其最小值v(4ac昌；2aYmi

6、n4a当a<0时，则当x上时，其最大值y(4ac川;2a4a若定义域为xa,b,则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间a,b.若Xoa,b,则f(x0)是函数的最小值(a>0)时或最大值(a<0)时，再比较f(a),f(b)的大小决定函数的最大(小)值.若Xoa,b,则a,b是在f(x)的单调区间内，只需比较f(a),f(b)的大小即可决定函数的最大(小)值.注：若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大(小)值；当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.练习：1、求函数y=3+J23X的值域解：由算术平方根的性质，知J23x>0,故3+

7、，23x>3。.,函数的值域为3,.22、求函数yX2x5,x0,5的值域x1时，ymin4解：对称轴x10,5x5时，ymax20值域为4,201单调性法例3求函数y=4x<13x(x&1/3)的值域。设f(x)=4x,g(x)=#3x,(x<1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而y=f(x)+g(x)=4x-,13x在定义域为x<1/3上也为增函数，而且yWf(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函数值域为y|yW4/3。小结：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而

8、可确定函数的值域。练习：求函数丫=3+"的值域。(答案：y|y>3)2换元法例4求函数yx2V1x的值域解：设JT_Xt,则yt22t1(t0)对称轴t10,，且开口向下当t1时，ymax2值域为,2点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。练习：求函数y=VX1x的值域。(答案：y|yw3/4求1Wx的值域;sinxcosx例5(三角换元法)求函数yx,1x2的值域解：1x1设 x cos0,ycossincossin2sin()1,2原函数的值域为1,.2小结：(1

9、)若题目中含有a1,则可设asin,(或设acos,0)22(2)若题目中含有a2b21则可设acos,bsin,其中02(3)若题目中含有jx2,则可设xcos,其中0(4)若题目中含有V1x2,则可设xtan,其中一一220，2（5）若题目中含有xyr（x0y0rQ,则可设x、；rcoS,y<rsir2其中3平方法例5(选)求函数yJx355x的值域解：函数定义域为：x3,5y2(x3)(5x)2Vx28x15由x3,5,得x28x150,1y22,4原函数值域为J2,24分离常数法例6 求函数y的值域小结：已知分式函数ya-b（c0）,如果在其自然定义域（代数式自身对变量cxd的要

10、求）内，值域为yya；如果是条件定义域（对自变量有附加条件）cadb采用部分分式法将原函数化为y亘陞（adbc）,用复合函数法来ccxd求值域。练习求函数y空的值域4x63x求函数y的值域3x1求函数y=21的值域；（yC（-1,1）2x1例7求yx3x1的值域解法一：（图象法）可化为 y4,x122x,1x3如图,4,x3-1观察得彳1域y4y4-4解法二：（不等式法）x3x1|(x3)(x1)4x3|x1(x1)4x1|x14|x同样可得值域4练习：yxx1的值域1,例8求函数y9x3x2(x0,1)的值域解：（换元法）设3xt,则1t3原函数可化为1yt2t2,对称轴t-1,3t1时，y

11、min2;t3时，丫(82值域为2,8例9求函数yx22x的值域解：（换元法）令tx22x(x1)2(t1)由指数函数的单调性知,原函数的值域为例10求函数y2x(x0）的值域解：（图象法）如图,值域为0,1（换元法）设3x3x113x1原函数的值域为0,1例13函数y2x2x的值域解法一:（逆求法）原函数的值域为1,1解法二：（换元法）设x2解法三:原函数值域即得（判别式法）原函数可化为（y1）x21）y1时不成立2)y1时， 00 4(y1)(y 1)01y 1t 2(x 1)2 1 1综合i）解法四:例14解法解法2)值域y|（三角换元法）求函数y1,2tan1tan2tancos2原函

12、数的值域为y|15-的值域2x24x3:（判别式法）1)y0时,2)y0时,1化为2yx24yx(3y5)不成立(4y)8y(3y5)0综合1）、2）（复合函数法）值域y|05令2x24x32cos21,10y5所以，值域y|0 y 51.一例15函数yx-1的值域x解法一：（判别式法）原式可化为1解法二：（不等式法）1）当x0时，x2y3x2）x0时，综合1）2）知，原函数彳1域为，13,一,，一一x22x2例16（选）求函数y（x1）的值域x1解法一：（判别式法）原式可化为x2（2y）x2y00（2y）24（2y）0y2或y2x1y2舍去原函数值域为2,（x1）211_解法二：（不等式法）

13、原函数可化为y（x口1x12（x1）x1x1当且仅当x0时取等号，故值域为2,x22x2例17 （选）求函数x一3二(2x2)的值域x1解：（换元法）令x 1t ,则原函数可化为小结：已知分式函数y判别式法求值域; 以化为ax2bxc,22c、-(ad0),如果在其自然定义域内可采用dx2exf如果是条件定义域，用判别式法求出的值域要注意取舍，或者可一次式、y一、)的形式，采用部分分式法，进而用基本不等式法求仪式出函数的最大最小值；如果不满足用基本不等式的条件，转化为利用函数ayx(x0)的单调性去解。x利用判别式求值域时应注意的问题用判别式法求值域是求函数值域的常用方法，但在教学过程中，很多

14、学生对用判别式求值域掌握不好。一是不理解为什么可以这样做，二是学生对哪些函数求值域可以用判别式法，哪些函数不能也比较模糊。本人结合自己的教学实践谈谈对本内容的一点体会。一、判别式法求值域的理论依据x2x.例1、求函数yT的值域x2x1象这种分子、分母的最高次为2次的分式函数可以考虑用判别式法求值域。2解：由y-x匚得:x2x1(y-1)x2+(1-y)x+y=0上式中显然ywl,故式是关于x的一元二次方程(1y)24y(y1)1一令0,解得y1,又y13V2y-x匚的值域为1,1x2x13但在用判别式法求值域时经常出用判别式法求函数的值域是求值域的一种重要的方法,错，因此在用判别式求值域时应注

15、意以下几个问题：一、要注意判别式存在的前提条件，同时对区间端点是否符合要求要进行检验x2x1例：求函数y2的值域。2x22x3错解：原式变形为(2y1)x2(2y1)x(3y1)0(*)_931xR,.(2y1)24(2y1)(3y1)0,解得喧y：31故所求函数的值域是2，11021 11错因：把y一代入方程(*)显然无解，因此y不在函数的值域内。事实上，y2 22时，方程(*)的二次项系数为0,显然不能用“”来判定其根的存在情况。正解：原式变形为(2y1)x2(2y1)x(3y1)0(*)1(1)当y一时，方程(*)无解；21-八2(2)当y时，xR,.(2y1)24(2y1)(3y1)0

16、,解得2110-O231、(1)、(2)知此函数的值域为q，1)102、注意函数式变形中自变量的取值范围的变化x24x3例2:求函数y-的值域。x2x6错解：将函数式化为（y1）x2（y4）x（6y3）0（1）当y1时，代入上式得3x90,x3,故y1属于值域；当y1时，（5y2）20,综合（1）、（2）可得函数的值域为yR。错因：解中函数式化为方程时产生了增根（x3与x2虽不在定义域内，但是方程的根），因此最后应该去掉x3与x2时方程中相应的y值。所以正确答案为y|y1,且y2。5三、注意变形后函数值域的变化例3:求函数yxV1x2的值域。22错解：由已知得yxWx2，两边平方得（yx）1x

17、整理得2x22yxy210,由（2y）28（y21）0,解得V2yJ2。故函数得值域为J5,J2。错因：从式变形为式是不可逆的，扩大了y的取值范围。由函数得定义域为1,1易知yx1,因此函数得最小值不可能为J2o.x1时，y1,ymin1,故函数的值域应为1,收。四、注意变量代换中新、旧变量取值范围的一致性x24例4:求函数y2的值域。x5错解：令tVx24,则y-2-t,.yt2ty0,由14y20及y0t211得值域为y(0。2错因：解法中忽视了新变元t满足条件t2。，设f(t)yt2ty,y0,t2,),Qy0,、22f(2)0或f(2)00y。故函数得值域为(0,。5522y综上所述，

18、在用判别式法求函数得值域时，由于变形过程中易出现不可逆得步骤，从而改变了函数得定义域或值域。因此，用判别式求函数值域时，变形过程必须等价，必须考虑原函数得定义域，判别式存在的前提，并注意检验区间端点是否符合要求。练习：,211、yx9(x0);xo11o解：x0,yx9(x-)11,y11.xx1另外，此题利用基本不等式解更简捷：yx2-2-92911(或利用对勾函数x图像法)y-22x24x30<y5.3、求函数的值域 y x v2x ； y 2 , 4x x2解：令uJ2x0,则x2u2,原式可化为y2u2u(u1)29,24.u0,.y9,，函数的值域是(-,2.44解：令t=4x

19、x20得0x4在此区间内(4xX2)max=4，(4xX2)min=0，函数y2V4xx2的值域是y|0y24、求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.2x1(x1)解法1:将函数化为分段函数形式：y3(1x2),画出它的图象(下图)，2x1(x2)由图象可知，函数的值域是y|y3.解法2:函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1,2的距离之和，易见y的最小值是3,.函数的值域是3,+.如图5、求函数y2x44皮的值域解：设tV1x则t0x=1t2代入得 y f (t) 2 (1 t2) 4t_2_22t 4t 22(t 1)4-t0y45x66、(选)求函数y56的值域x

20、62万法一：去分母得(y1)x+(y+5)x6y6=0当y1时.xR.=(y+5)2+4(y1)X6(y+1)0由此得（5y+l）（有一个根时需验证）时65)（代入求根） 2 定义域 x| x3再检验y=1代入求得x=22综上所述，函数y 二x5x 6的值域为 y| y15方法二：把已知函数化为函数(x 2)(x 3)(x 2)(x 3)6(x 2)x 3由此可得y 1,x=2时1r1 一，即y /.函数y55x5x6j.心、-的值域为 y|xx615函数值域求法十一种1 .直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例1.求函数的值域。解：;显然函数的值域是:例2.求函数的值域。

21、解：;故函数的值域是：2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一例3.求函数的值域。解：将函数配方得：由二次函数的性质可知：当x=1时,，当时,故函数的值域是：4，83. 判别式法例4.求函数的值域。解：原函数化为关于x的一元二次方程(1) 当时，解得：(2)当y=1时，而故函数的值域为例5.求函数的值域。解：两边平方整理得：（1）解得：但此时的函数的定义域由，得由，仅保证关于x的方程：在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间0,2上，即不能确保方程（1）有实根，由求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为。可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。代入方程（1）解得：即当

22、时，原函数的值域为：注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。4. 反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。例6.求函数值域。解：由原函数式可得：则其反函数为：，其定义域为：故所求函数的值域为：5. 函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。例7.求函数的值域。解：由原函数式可得：解得：故所求函数的值域为例8.求函数的值域。解：由原函数式可得：，可化为：即即解得：故函数的值域为6. 函数单调性法例9.求函数的值域。解：令则在2，10上都是增函数所以在

23、2，10上是增函数当x=2时，当x=10时，故所求函数的值域为：例10.求函数的值域。解：原函数可化为：令，显然在上为无上界的增函数所以，在上也为无上界的增函数所以当x=1时，有最小值，原函数有最大值显然，故原函数的值域为7. 换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。例11.求函数的值域。解：令，则又，由二次函数的性质可知当时，当时，故函数的值域为例12.求函数的值域。解：因即故可令故所求函数的值域为例13.求函数的值域。解：原函数可变形为：可令，则有当时，当时，而此时有意义。故所求函数的值域为解：令，则由且可得：当时，当时，故所求函数的值域为。例15.求函数的值域。解：由，可得故可令当时，当时，故所求函数的值域为：8. 数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。例16.求函数的值域。解：原函数可化简得：上式可以看成数轴上点P(x)到定点A(2),间的距离之和由上图可知，当点P在线段AB上时，当点P在线段A由勺延长线或反向延长线上时，故所求函数的值域为：例17.求函数的值域。解：原