函数单调性的判断或证明方法

1、函数单调性的判断或证明方法（1）定义法。用定义法证明函数的单调性的一般步骤是取值，设汨eD,且可之；作差，求工1）-/佃）；变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）向有利于判断差值符号的方向变形；定号，判断了（氏）-/（4）的正负符号，当符号不确定时，应分类讨论;下结论，根据函数单调性的定义下结论。例1.判断函数网=ax工+ 1在（1, +00）上的单调性，并证明.解：设1<X1<X2,则f（X1）f（x2）=再+1-通+1白应（弓+1）-ax2（x+1）=二，一.厘（演专）=Si+g+1）-.11<X1<X2,1. X1X2<0,X1+1>0,X2+1&

2、gt;0.当a0时，f（X1）f（X2）0,即f（X1）f（X2）,，函数y=f（X）在（一1,十°°）上单调递增.当a0时，f（X1）f（X2）0,即f（X1）f（X2）,函数y=f（X）在（一1,十°°）上单调递减.例2.证明函数在区间（-电一加和（亚+0°）上是增函数；在一石,0犷口（0,而上为减函数。（增两端，减中间）证明:设。2近则用）-他）=吟-黄心-狈曦）因为°画石所以工1F0,01a,所历W0所以所以.'一_所以.；一。JT微设"-/伪）一八）二%+士一一士二。3。一旦）则网勺工用,因为可一才20印白

3、，二1,所以1-20所以工再即占,所以.''_卜1：所以1|居二:同理，可得二二'J'工U二-.；T".口数：（2）运算性质法.在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数.（增+增=增;减+减=M；增-减二增，减-增=减）若/“，则/与血具有相同的单谢性/恒为正（或恒为负）时，/与，有相反的单调性当函数.函数/与硝7）,当。时，二者有相同的单询性，当以。时，二者有相反的单调性。运用已知结论，直接判断函数的单调性，如一次函数、反比例函数等。（3）图像法.根据函数图像的上升或下

4、降判断函数的单调性。q2例3,求函数了=一1+IXI的单调区间。解：在同一坐标系下作出函数的图像得（如33所以函数的单调增区间为一一减区间为二_.（4）复合函数法.（步骤：求函数的定义域；分解复合函数；判断内、外层函数的单调性；根据复合函数的单调性确定函数的单调性.若集合M是内层函数"=gQ）的一个单调区间，则"便是原复合函数尸加的一个单调区间，如例4；苴加不是内层函数为二&的一个单调区间，则需把M划分成内层函数"二g的若干个单调子区间，这些单调子区间便分别是原复合函数）二加（刈的单调区间，如例5.）设好/仅），"g工E乐句，HE网*B是单调函数

5、，则丁二上（刈在出句上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数。如下表：»=虱力y=fM增增增增减减减增减减减增例4.求函数y二后二的单调区间解原函数是由外层函数J=、口和内层函数宜（2）复合而成的;易知0，+h）是外层函数y=的单调增区间;u=（）-2>0/M11令2,解得X的取值范围为（-电T；由于（-电-1是内层函数2的一个单调减区间，于是便是原函数的一个单调区间；根据复合函数“同增异减”的复合原则知，（-电T是原函数的单调减区间。4y=例5求函数/X2的单调区间.4y=-2解原函数

6、是由外层函数笈和内层函数H二X一工一2复合而成的;4易知（电。）和都是外层函数H的单调减区间;d7-2<。,解得X的取值范围为（T，2）结合二次函数的图象可知不是内层函数=的一个单调区间，但可以把区间（一12）划分成内层函数的两个单调子区间审）调减区间，2是其单调增区间;于是根据复合函数“同增异减”的复合原则知,口2是原函数的单调增区间,中）上是原函数的单调减区间。同理，令"/f - 2>0,可求得（一电7）是原函数的单调增区间，Q叫是原函数的单调减区间。综上可知，原函数的单调增区间是 电7和口单调减区间是修）和亿域（5）含参数函数的单调性问题n>0力>0已知

7、函数/型当”8时，讨论函数/单调性。例.设工+1（先分离常数，即对函数的解析式进行变形，找到基本函数的类型，再分类讨论.）解：由题意得原函数的定义域为（一且了二dx+iax+a+b-ab-a工+i+i-dt+7+7口 <8时，即6-”0时, 当碱的富在5川小叽为减函数;口>8时，即3-&<0时，函数/（幻二竺约在100,-1）,（-L+8）当1+1上为增函数。（6）抽象函数的单调性.（抽象函数问题是指没有给出解析式，只给出一些特殊条件的函数问题）常采用定义法.要充分利用已知条件，对变量进行合理赋值，并结合函数单调性的定义进行证明。例1已知函数/（1）对任意实数工，J均有加+加/+川）.且当工>。时,/m>0,试判断的单调性，并说明理由.解析:设小跖eR,且看I1，则Ho,故/8-工1）>o.他）网）=小二小X加1）/）他）.故了在（3,+笛）上为增函数.例2.设f（x）定义于实数集上，当X:口时，/炽）>1,且对于任意实数x、V,有小+#"/力，求证：/在吐为增函数。证明：在"/5中取=y=°,得/="（。）若八0）=0,令K>0,尸=0,则八工）=0,与/:>1矛盾所以/10-0,即有八°）=1当工。时，八力10.当：-/w=时，1而二所