微积分总复习

1、微积分总复习微积分总复习一、函数一、函数1、基本理论、基本理论函数的概念函数的概念（定义、求定义域、函数的相等、函数值）；（定义、求定义域、函数的相等、函数值）；函数的初等性质函数的初等性质（有界性、奇偶性、单调性、周期性）；（有界性、奇偶性、单调性、周期性）；函数的初等运算函数的初等运算（四则运算、反函数运算、复合运算（四则运算、反函数运算、复合运算)；基本初等函数类基本初等函数类（表达式、图形）；（表达式、图形）；初等函数的概念初等函数的概念（定义、性质）。（定义、性质）。2、典型例题、典型例题的的定定义义域域；）求求函函数数（11,11112222 xeyxxyx);1(),1(sin)

2、,0(),2(, 0, 10, 1sin)() 2(22 xfxfffxxxxxf求求设设);(sin),(, 52)1()3(2xfxfxxxf求求设设 xxxfdxxxfcxxxxfbxxxfa 1)()(sin)()(cos1)()(sin)()()4(2420022是是下下列列函函数数中中是是奇奇函函数数的的;1)(,1)(;lg2)(,lg)(;cottan)(,)(;)()(,)()5(222222xxxgxxxfdxxgxxfcxxxxgxxfbxxgxxfa ）（）（）（）（）函函数数的的是是（下下列列函函数数对对中中是是同同一一个个.)(, )1()(,)(,)21()6(2

3、1sincosxydxycebyaxx ）（）数数的的是是（下下列列函函数数中中不不是是复复合合函函二、极限与连续二、极限与连续1、基本理论、基本理论数列极限的概念数列极限的概念（数列、数列极限的（数列、数列极限的 定义、定义、性质）与计算，性质）与计算，函数极限的概念函数极限的概念（函数极限（函数极限（双侧双侧极限、左右极限极限、左右极限）的）的 ）与计算；）与计算；极限的运算性质极限的运算性质（四则运算、复合函数求极限）；（四则运算、复合函数求极限）；无穷小和无穷大量的概念与性质无穷小和无穷大量的概念与性质（定义、性质、比（定义、性质、比较、等价无穷小代换求极限）；较、等价无穷小代换求极限

4、）；极限存在的两个判别准则极限存在的两个判别准则（单调有界准则、夹逼准（单调有界准则、夹逼准则）和两个重要极限；则）和两个重要极限；函数的连续与间断函数的连续与间断（定义、性质、应用、求间断点）（定义、性质、应用、求间断点）N 定定义义 ,X2、典型例题、典型例题;1212lim)4(;)21(lim)3();34(lim)2(;1212lim1122122 xxxxxnnnnnnnxxxnn）（计计算算下下列列极极限限例例;2sinlim)6(;123122lim)5(0323xxxxxxxx ;11lim)9(;sinsinlim)8(;1)1sin(lim)7(2121 xxxxxxxx

5、xxx1 )(0)(2)(4111132)()10(2dcbakxxkxxxxxf ）（）处处连连续续，则则在在?)(lim,1111)()11(12 kxfxkxxxxfx存存在在，则则的的间间断断点点与与连连续续区区间间。指指出出函函数数例例21,sin,sin22 xxxyxxyxxy根根。）内内各各有有且且只只有有一一个个实实，在在区区间间（与与方方程程证证明明方方程程例例101323511 xxxex三、导数与微分三、导数与微分1、基本理论、基本理论导数的概念导数的概念（物理背景、几何背景、定义公式、记（物理背景、几何背景、定义公式、记号、性质、高阶导数）；号、性质、高阶导数）；微分

6、概念微分概念（背景、定义）；（背景、定义）；导数与微分的计算导数与微分的计算（基本求导公式、求导法则（四（基本求导公式、求导法则（四则运算、复合函数求导法则）、隐函数的导数、对则运算、复合函数求导法则）、隐函数的导数、对数求导法）数求导法）xxxxxxxCtansec)(secsec)(tancos)(sin0)(2 1.常数和基本初等函数的导数公式常数和基本初等函数的导数公式xxxxxxxxxcotcsc)(csccsc)(cotsin)(cos)(21 axxaaaaxxln1)(logln)( xxeexx1)(ln)( 3.复合函数的求导法则复合函数的求导法则).()()()()(),

7、(xufxydxdududydxdyxfyxuufy 或或导数为导数为的的则复合函数则复合函数而而设设利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决决.dxxfdy)( 求法求法: : 计算函数的导数计算函数的导数, 乘以自变量的微分乘以自变量的微分.1.基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdCdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin)(0)(221 dxxxarcddxxxddxxxddxxxddxxxd

8、dxaxxddxeedadxaadaxxxx222211)cot(11)(arctan11)(arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(ln)( 2. 函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则2)()()()(vudvvduvududvvduuvdCduCuddvduvud 2211)(arctan11)(arcsinxxxx 2211)cot(11)(arccosxxxx arc2.函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则设设)(),(xvvxuu 可导，则可导，则（1） vuvu )(, （2）uccu )(（3）vuvuuv )(,

9、 （4）)0()(2 vvvuvuvu.( ( 是常数是常数) )C 2、典型例题、典型例题.,11)1cos()4(;lnln4tanlnsin)3(;ln15)2(;4cossin1211222dydxdyxxxxyxxxyxxxxyxxxyn求求）（分分求求下下列列函函数数的的导导数数与与微微例例 dyxxxy求求, 3ln)21sin()2ln()5(22 dxdyyxyxxxyy求求确确定定，由由方方程程设设函函数数42)()6( dxxxd)(3)cos6()7(3 本本，最最大大利利润润。求求其其边边际际收收益益，边边际际成成成成本本函函数数为为、某某商商品品的的需需求求函函数数

10、为为例例,210)(,5102QQCQP 需需求求关关于于价价格格的的弹弹性性。求求其其为为、设设某某商商品品的的需需求求函函数数例例,3,435kPPQeQ 法法线线方方程程。处处的的切切线线方方程程，在在、求求曲曲线线例例)1, 0(12423 xxy四、微分中值定理及导数的应用四、微分中值定理及导数的应用1、基本理论、基本理论微分中值定理微分中值定理（罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西（罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理，定理的条件、结论、应用）；中值定理，定理的条件、结论、应用）；导数的应用导数的应用：（1）未定式定值法的罗比达法则；）未定式定值法的罗比达法则；（2）函数单调区间和

11、极值及最值的求法；）函数单调区间和极值及最值的求法；（3）曲线凹凸区间和拐点的求法；）曲线凹凸区间和拐点的求法；（4）曲线的渐近线（铅直、水平、斜）的求法和函）曲线的渐近线（铅直、水平、斜）的求法和函数作图；数作图；（5）导数在经济分析中的应用（边际、弹性、最大）导数在经济分析中的应用（边际、弹性、最大收益、最大利润、最小成本等）收益、最大利润、最小成本等）2、典型例题、典型例题;2 , 2 ,11)(112（罗尔定理）（：的中值定理条件并求出验证下列函数满足相应例 xxf ；拉格朗日）)(0 , 1 ,1)(2(2 xxf40200250sinlim)4();111(lim)3(;lim)2

12、(;lim12xtdttexexxeexxxxxxxxx ）（计计算算极极限限例例凹凹凸凸区区间间和和拐拐点点；的的单单调调区区间间和和极极值值点点、求求函函数数例例xxeyxxy )2(73)1(323成立；成立；）不等式）不等式（、证明：、证明：例例Ryxyxyx ,sinsin14根根。）内内各各有有且且只只有有一一个个实实，在在区区间间（与与方方程程证证明明方方程程10132)2(511 xxxex大大？个个单单位位时时才才能能使使利利润润在在，问问每每批批生生产产多多少少元元得得到到的的收收益益为为，元元个个单单位位的的费费用用为为生生产产某某种种商商品品例例)(01. 010)()

13、(2005)(52xxxRxxCx ？为为多多少少时时，总总收收益益最最大大求求收收益益将将变变化化时时，若若价价格格上上涨涨）当当（其其经经济济意意义义；时时的的需需求求弹弹性性，并并说说明明）求求（其其经经济济意意义义；时时的的边边际际需需求求，并并说说明明）求求（某某商商品品的的需需求求函函数数为为例例PPPPPQ)4(%;?%五、不定积分五、不定积分1、基本理论、基本理论原函数与不定积分的概念；原函数与不定积分的概念；不定积分与导数运算的互逆性；不定积分与导数运算的互逆性；不定积分的线性性质；不定积分的线性性质；基本积分公式；基本积分公式；基本积分法（换元积分

14、法、分部积分法）基本积分法（换元积分法、分部积分法）2、典型例题、典型例题，求求这这条条曲曲线线的的方方程程；且且曲曲线线过过点点为为上上任任意意一一点点法法线线的的斜斜率率）已已知知曲曲线线（，求求这这条条曲曲线线的的方方程程；且且曲曲线线过过点点为为上上任任意意一一点点切切线线的的斜斜率率）已已知知曲曲线线（解解下下列列各各题题例例)1 , 0(,11)(2)1 , 0(, 1sin)(112xxfyxxxfy _)2(,23)()5(_2)(,)()4(_)(,sin)()3(322224 dxxfxCuduufdxxxxfCexdxxfxfCxxdxxfx则则）（若若则则则则;)32(

15、)3(;)1()1(2203dxxdxxx 计计算算下下列列不不定定积积分分例例.;)32(sin)2(;ln)3(;)2(;ln1)1(3dxxdxdxexdxxxx 计计算算下下列列积积分分例例六、定积分及其应用六、定积分及其应用1、基本理论、基本理论定积分的概念定积分的概念（几何背景和物理背景、定义（四个步（几何背景和物理背景、定义（四个步骤）和骤）和性质性质（7个性质）；个性质）；变动上限的定积分定义的函数及其性质；变动上限的定积分定义的函数及其性质；牛顿牛顿-莱布尼茨公式；莱布尼茨公式；积分方法积分方法（换元积分法、分部积分法）；（换元积分法、分部积分法）；广义积分广义积分（无穷限、

16、无界函数）及其性质；（无穷限、无界函数）及其性质；定积分的应用定积分的应用（面积、体积、经济应用）。（面积、体积、经济应用）。2、典型例题、典型例题计计算算下下列列定定积积分分、例例1;)3(;)2(?;,61)cos()1(21213021123dxxedxekdxkxxxxx dxexdxxxdxxx 10220102cos4)1(2、计计算算下下列列积积分分例例.1)3(;11)2(;)1(311210204dxxdxxdxex 计计算算广广义义积积分分例例21)(1)(1)(0)()(, 2)2()2(23)(1)(1)(0)()(, 0)32(141002dcbakdxkxdcbak

17、dxxxk 则则若若则则）若若（例例所所围围图图形形的的面面积积；与与直直线线上上由由曲曲线线）求求区区间间（计计算算下下列列各各题题例例1, 0,sin2, 015 yxxy 的的体体积积；轴轴旋旋转转一一周周所所得得旋旋转转体体该该图图形形绕绕轴轴所所围围图图形形的的面面积积及及与与）求求由由曲曲线线（xxxy222 ).(20),/(4)()2().(),/(50200)()1(63QCQQCxRxxxRx试试求求总总成成本本函函数数，固固定定成成本本为为单单位位元元边边际际成成本本个个单单位位时时的的总总收收益益试试求求生生产产单单位位元元边边际际收收益益单单位位时时，设设生生产产某某

18、商商品品例例 七、无穷级数七、无穷级数1、基本理论、基本理论无穷级数的概念无穷级数的概念（定义、敛散性、性质、收敛的必要（定义、敛散性、性质、收敛的必要条件、调和级数的敛散性）；条件、调和级数的敛散性）；正项级数的概念及敛散性判别法正项级数的概念及敛散性判别法（充要条件、比较判（充要条件、比较判别法、比值判别法、别法、比值判别法、p-级数的敛散性）；级数的敛散性）；交错级数及其敛散性判别法交错级数及其敛散性判别法（莱布尼茨判别法），级（莱布尼茨判别法），级数的条件收敛性与绝对收敛性；数的条件收敛性与绝对收敛性；幂级数的概念幂级数的概念（定义、收敛半径、收敛域、收敛域的（定义、收敛半径、收敛域、

19、收敛域的求法、性质（和函数连续性、逐项求导、求积分）；求法、性质（和函数连续性、逐项求导、求积分）；函数展开成泰勒级数与马克劳林级数，级数的应用函数展开成泰勒级数与马克劳林级数，级数的应用。2、典型例题、典型例题;1)4(;131)3(;1312)2(;54)1(1111111 nnnnnnnnnnnn）（判判断断下下列列级级数数的的敛敛散散性性例例;sin)3(;)1()2(;)1()1(212123111 nnnnnnnnn 敛敛与与条条件件收收敛敛性性判判断断下下列列级级数数的的绝绝对对收收例例 12121112)1()4(12)3(12)1()2(12)1(3nnnnnnnnnnnn有

20、有（）下下列列级级数数中中条条件件收收敛敛的的例例（绝对收敛的、发散的）（绝对收敛的、发散的）的的收收敛敛域域；）求求幂幂级级数数（解解下下列列各各题题例例nnnxn 121)1(14。的的收收敛敛域域）求求幂幂级级数数（;21nnxn 的的幂幂级级数数。展展开开成成把把函函数数xexxxgxxfx 32,31)(,11)()3(八、多元函数微积分学八、多元函数微积分学1、基本理论、基本理论空间直角坐标系空间直角坐标系（坐标系、两点间的距离公式）；（坐标系、两点间的距离公式）；常见空间曲面的方程和图形常见空间曲面的方程和图形（平面、球面、柱面、抛（平面、球面、柱面、抛物面、马鞍面、锥面）；物面

21、、马鞍面、锥面）；多元函数的概念多元函数的概念（函数定义、图形），极限，连续性；（函数定义、图形），极限，连续性；多元函数的偏导数与全微分多元函数的偏导数与全微分（偏导数定义、记号、全（偏导数定义、记号、全微分的定义、记号）微分的定义、记号）及其计算及其计算，二阶混合偏导数相等二阶混合偏导数相等的条件的条件，多元函数的无条件极值的必要条件、充分条多元函数的无条件极值的必要条件、充分条件，条件极值的拉格朗日乘数法；件，条件极值的拉格朗日乘数法；二重积分的概念二重积分的概念（几何背景、定义、性质、），（几何背景、定义、性质、），二重二重积分的计算积分的计算（直角坐标与极坐标计算）。（直角坐标与极坐

22、标计算）。2、典型例题、典型例题23)2(5cossin11yxxezyxyxzxy ）（全全微微分分求求下下列列函函数数的的偏偏导导数数与与例例;1lnln)(12dxdyxyxyxyy求求确确定定，由由方方程程）设设函函数数（计计算算下下列列各各题题例例 ;ln),(2xzexxyzyxzzz 确定，求确定，求由方程由方程）设函数）设函数（的的偏偏弹弹性性。和和关关于于的的变变化化率率以以及及和和劳劳动动力力关关于于资资金金求求产产量量计计算算道道格格拉拉斯斯函函数数）设设有有生生产产函函数数（柯柯布布例例LKQLKQLQLKQKLAKLKQQ)2(;)1(),10(),(31 的的极极值值；）求求函函数数（解解下下列列极极值值问问题题例例22)(414yxyxz 相相距距最最近近；上上的的点点，使使它它与与直直线线）求求抛抛物物线线（04422 yxxy围围成成的的区区域域；由由）（计计算算下下列列二二重重积积分分例例1, 0,:,)6()2(;10 , 10),(,)(152 xyxyDdxdyyxyxyxDdxdyeyxDDy围围成成的的区区域域。由由）