2.1空间点、直线、平面之间的位置关系

1、2.1空间点、直线、平面之间的位置关系主要内容2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系2.1.1 平面2.1.1 平 面构成图形的基本元素构成图形的基本元素AABBCCDDA AB BC CD D点、线、面点无大小线无粗细面无厚薄点点直线直线平面平面可无限延伸的平面是可无限延展的平面的表示平面的画法平面的画法 一般来说，常用正方形或长方形表示平面，如图一, 在画立体图时，为了增强立体感， 常常把平面画成平行四边形，如图二是按照斜二测画法得到的平面的水平直观图.图一图二平面的符号表示平面的符号表示1. 1. 希腊字母：希腊字母： 平面平面 ， 平面平面 ，

2、平面，平面 2. 2. 一个或几个拉丁字母：一个或几个拉丁字母： 平面平面M M， 平面平面ACAC， 平面平面ABCDABCD等等ABCD平面的表示平面的表示平面的表示平面的表示两个相交平面的画法和表示两个相交平面的画法和表示平面和平面相交于一条直线a被遮住的部分画虚线aa平面平面=直线a平面的表示,Pl A直线和平面都可以看成点的集合“点P在直线l上”,“点A在平面内” 用集合符号表示用集合符号表示 点与直线、点与平面、直线点与直线、点与平面、直线与平面的关系与平面的关系“点P在直线l 外”,“点A在平面外”直线直线 l 在平面在平面内，或者说平面内，或者说平面经过直线经过直线 l直线直线

3、 l 在平面在平面外外. .,llAlP,平面的基本性质AB 公理公理1 1 如果一条直线上的两点在一个平面内如果一条直线上的两点在一个平面内, ,那么这条直线在此平面内那么这条直线在此平面内. .思考思考1 1：如何让一条直线在一个平面内？：如何让一条直线在一个平面内？,Al BlABl 且作用作用：为判断直线与平面的位置关系提供依据：为判断直线与平面的位置关系提供依据集合符号表示集合符号表示平面经过这条直线平面的基本性质 公理公理2 过不在一条直线上的三点过不在一条直线上的三点,有且只有一个有且只有一个平面平面. 思考思考2：经过两点可以确定一条直线，：经过两点可以确定一条直线，那么经过几

4、个点可以确定一个平面呢？那么经过几个点可以确定一个平面呢？作用作用：判断几个点共面或直线在同一个平面内：判断几个点共面或直线在同一个平面内集合符号表示集合符号表示A AB BC C“不共线的三点确定一个平面不共线的三点确定一个平面” 已知已知A、B、C三点不共线，则存在惟一平三点不共线，则存在惟一平面面 ，使得，使得A、B、C平面的基本性质平面的基本性质 思考思考3 3：如果两个平面有一个公共点，：如果两个平面有一个公共点，那么还会有其它公共点吗？如果有这些那么还会有其它公共点吗？如果有这些公共点有什么特征？公共点有什么特征？ 公理公理3 3 如果两个不重合的平面有一个公共点，如果两个不重合的

5、平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线那么它们有且只有一条过该点的公共直线. . P Pl,PlPl且P且 作用：判断两个平面位作用：判断两个平面位置关系的基本依据置关系的基本依据例题 例例1 1 如图，用符号表示下列图形中点、直线、如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系平面之间的位置关系. .A B a a l (1)a a b b P P l (2)解：1） A，B，=l，a=A，a=B2) a,b,=l,al=P, bl=P, ab=P 例2：已知直线a，和点P，Pa，求证经过点P和直线a有且只有一个平面.Pa探究问题根据公理1探究直线与平面的各种位置关系

6、.根据公理2探究两条相交直线或平行直线确定一个平面的合理性.根据公理3探究平面与平面的各种位置关系.小结小结 1. 1.平面的表示平面的表示：概念、图形、符号等：概念、图形、符号等 2.2.平面的基本性质平面的基本性质 公理公理1 1 公理公理2 2 公理公理3 3 3. 3.判断共面的方法判断共面的方法作业P43 练习1,2,34P51 习题A组 1，22.1.2空间中直线与直线空间中直线与直线之间的位置关系之间的位置关系两条直线的位置关系两条直线的位置关系思考思考1 1：同一平面内两条直线有几种位置关系？：同一平面内两条直线有几种位置关系？空间中的两条直线呢？空间中的两条直线呢？abC 1

7、 1）教室内）教室内日光灯管所在直线与黑板左右两日光灯管所在直线与黑板左右两侧所在直线的位置关系如何？侧所在直线的位置关系如何？2 2）天安门广场上，旗杆所在直线与长安）天安门广场上，旗杆所在直线与长安街所在直线的位置关系如何？街所在直线的位置关系如何？两条直线的位置关系两条直线的位置关系 如图如图, , 长方体长方体ABCD-ABCDABCD-ABCD中，线段中，线段ABAB所在直线分别与线段所在直线分别与线段CDCD所在直线，线段所在直线，线段BCBC所在直线，线段所在直线，线段CDCD所在直线的位置关系如何所在直线的位置关系如何? ?CBCADBAD观察观察两条直线的位置关系 不同在任何

8、一个平面内的两条直线不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线叫做异面直线.baab异面直线的图示两条直线的位置关系两条直线的位置关系A. A. 空间中既不平行又不相交的两条直线；空间中既不平行又不相交的两条直线；B. B. 平面内的一条直线和这平面外的一条直线；平面内的一条直线和这平面外的一条直线；C. C. 分别在不同平面内的两条直线；分别在不同平面内的两条直线；D. D. 不在同一个平面内的两条直线；不在同一个平面内的两条直线；E. E. 不同在任何一个平面内的两条直线不同在任何一个平面内的两条直线. . 关于异面直线的定义，你认为下列哪个说法关于异面直线的定义，你认为下列哪个说法最合适

9、？最合适？问题两条直线的位置关系两条直线的位置关系空间中的直线与直线之间有三种位置关系：空间中的直线与直线之间有三种位置关系：相交直线相交直线: :平行直线平行直线: :共面直线共面直线异面直线：异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点不同在任何一个平面内，没有公共点 同一平面内，有且只有一同一平面内，有且只有一个公共点；个公共点； 同一平面内，没有公共点；同一平面内，没有公共点； 如图是一个正方体的表面展开图如图是一个正方体的表面展开图, ,如果将它还原如果将它还原为正方体，那么为正方体，那么ABAB，CDCD，EFEF，GHGH这四条线段所在直线这四条线段所在直线是异面直线的有多少对是异

10、面直线的有多少对? ?探究探究FAHGEDCBCDBAEFGH直线直线EF EF 和直线和直线HGHG直线直线AB AB 和直线和直线CDCD直线直线AB AB 和直线和直线HGHG答：答：3 3对对平行直线平行直线 如图如图, , 在长方体在长方体ABCDABCDABCDABCD中中, , BBAABBAA，DDAADDAA，那么，那么BBBB与与DDDD平行平行吗吗 ? ?CBCADBAD观察观察答：平行答：平行平行直线 公理公理4 4 平行于同一直线的两条直线互相平行平行于同一直线的两条直线互相平行. .空间中的平行线具有传递性空间中的平行线具有传递性如果a/b，b/c，那么a/cAFE

11、DCBABCDEF三条平行线共面三条平行线共面三条平行线不共面三条平行线不共面平行直线平行直线 已知三条直线两两平行，任取两条直线能确定一个平面，问这三条直线能确定几个平面？AFEDCBABCDEF三条平行线共面三条平行线共面三条平行线不共面三条平行线不共面问题问题平行直线 例例2 2 如图，空间四边形如图，空间四边形ABCDABCD中，中，E E，F F，G G，H H分分别是别是ABAB，BCBC，CDCD，DADA的中点的中点. . 求证：四边形求证：四边形EFGHEFGH是平行四边形是平行四边形. .FGDAEBCH所以 BDEH /，且，且BDEH21同理 BDFG/，且，且BDFG

12、21因为 FGEH /，且，且FGEH 所以所以 四边形四边形EFGH EFGH 是平行四边形是平行四边形证明：连接证明：连接BDBD，因为 EHEH是是 的中位线，的中位线，ABD 在上例中，如果再加上条件AC=BD，那么四边形EFGH 是什么图形？探究探究答：四边形EFGH是菱形FGDAEBCH是菱形所以平行四边形所以且，因为EFGHEHEFBDAC BD21EH AC21EF等角定理 在平面上，我们容易证明“如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行， 那么这两个角相等或互补”空间中，结论是否仍然成立？思考1 如图如图, ,四棱柱四棱柱ABCD-ABCDABCD-ABCD的底面是平行的底面

13、是平行四边形，四边形，ADCADC与与ADC, ADCADC, ADC与与BADBAD的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何 ?思考思考2:2:BADCABDCBADCABDCADC=ADCADC=ADCADC+BAD=180ADC+BAD=1800 0 如图，在空间中AB/ AB，AC/ AC，你能证明BAC与BAC 相等吗？ 思考思考3 3BCAB C A EE DD 等角定理 定理定理 空间中如果两个角的两边分别对应空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补平行，那么这两个角相等或互补. . 等角定理：空间中如果两个角的两边分

14、别等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行且对应平行且方向相同方向相同，那么这两个角相等，那么这两个角相等. .ABCCABABCCABBA ABCAAC/,/异面直线所成的角a ab b思考思考 在同一平面内两条相交直线形成四个角，常取较小的一组角来度量这两条直线的位置关系，这个角叫做两条直线的夹角.在空间中怎样度量两条异面直线的位置关系呢？a ab b平面内两条相交直线空间中两条异面直线abaO O 已知两条异面直线已知两条异面直线a a，b b，经过空间任一点，经过空间任一点O O作作直线直线 ，把，把 与与 所成的锐角（或直角）所成的锐角（或直角）叫做叫做异面直线异面直线a a与与

15、b b所成的角所成的角bb aa/,/abababO O异面直线所成的角 我们规定两条平行直线的夹角为0，那么两条异面直线所成的角的取值范围是什么？2, 0 如果两条异面直线所成角为如果两条异面直线所成角为90900 0，那么这两，那么这两条直线垂直条直线垂直. .探究ab记直线记直线a a垂直于垂直于b b为：为：a a b b异面直线所成的角异面直线所成的角探究 （1）在长方体）在长方体 中，有没有两条棱中，有没有两条棱所在的直线是相互垂直的异面直线？所在的直线是相互垂直的异面直线？DCBAABCD （2）如果两条平行直线中的）如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么，一条与某一条直

16、线垂直，那么，另一条直线是否也与这条直线另一条直线是否也与这条直线垂直？垂直？（3）垂直于同一条直线的两条直线是否平行？）垂直于同一条直线的两条直线是否平行？如：如：,BBAD与BBDA与等等垂直垂直AABBCCDD,BBBCBBAB不一定，如上图的立方体中不一定，如上图的立方体中直线直线AB与与BC相交，相交，异面直线所成的角异面直线所成的角 例例3 3 已知正方体已知正方体 DCBAABCDABA BCDCD（1 1）哪些棱所在直线与直线）哪些棱所在直线与直线 是异面直线？是异面直线？AB （2 2）直线）直线 和和 的夹角是多少？的夹角是多少？AB CC （3 3）哪些棱所在的直线与直线

17、）哪些棱所在的直线与直线 垂直？垂直？AA 解解: :（1 1）由异面直线的定义可知，）由异面直线的定义可知，棱棱 所在所在的直线分别与直线的直线分别与直线 是异面直线是异面直线CB CDD DC C DCAD,AB （3 3）直线）直线AD DC CB BA DA CD BCAB,分别与直线分别与直线 垂直垂直AA （2 2）由）由 可知，可知，CCBB/ABB为为异面直线异面直线 与与 的夹角，的夹角， ，所以所以 与与 的夹角为的夹角为 AB CC 45AB CC 45ABB 在如图所示的长方体中，AB= ，且AA1=1，求直线BA1和CD所成角的度数.3ABC1D1C1AD30O1B练

18、习练习1 1 如图，在四面体ABCD中，E，F分别是棱AD，BC上的点,且 ，已知AB=CD=3， , 求异面直线AB和CD所成的角.12AEBFEDFC3EF AFEDCB练习练习2 2 n直线相交最多有几个交点？直线相交最多有几个交点？练习练习3 3本节小结（1）空间直线的三种位置关系（2）平行线的传递性（3）等角定理（4）异面直线所成的角基本知识基本方法 把空间中问题通过平移转化为平面问题.作业作业P48 练习1，2P51 -52习题2.1 A组 3，4(1)(2)(3)(6)，5，6， B组12.1.3空间中直线与平面之间空间中直线与平面之间的位置关系的位置关系主要内容主要内容 直线与

19、平面的位置关系直线与平面的位置关系 直线在平面内直线在平面内 直线与平面相交直线与平面相交 直线与平面平行直线与平面平行直线与平面思考？思考？ 1）一支铅笔所在的直线与一个作业本所在的平面，可能有几种关系？ 2）如图，线段AB所在直线与长方体ABCD-ABCD的六个面所在平面有几种位置关系？CBCADBAD直线与平面直线和平面的位置关系有且只有三种(1)直线在平面内 有无数个公共点a记为：a直线与平面(2)直线与平面相交直线与平面相交有且只有一个公共点有且只有一个公共点a记为：a=AA直线与平面（3）直线与平面平行没有公共点a记为：a/直线与平面直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外记为：aaa a/ aa=AA或或直线与平面 例1. 下列命题中正确的个数是 ( )1）若直线 l 上有无数个点不在平面内，则 l/2) 若直线 l 与平面平行，则 l 与平面内的任意一条直线都平行3）如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行4）若直线 l与平面平行，则 l与平面内的任意一条直线都没有公共点.(A） 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3B主要内容主要内容 直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系 直线在平面内直线在平面内 直线与平面相交直线与平面相交 直线与平面平行直线与