空间向量基本知识点

1、第十二讲空间向量基本理论知识梳理 ：1空间向量的有关概念（1）空间向量：空间里具有大小和方向的量叫做向量，记为a 。（2 ）空间向量的长度或模：空间向量也可以用有向线段来表示，有向线段的长度教做向量的长度或模，记为a 。（ 3 ）零向量和单位向量：长度为 0 的向量和长度为 1 的向量分别为零向量（规定：方向任意）和单位向量（ 4 ）相等向量和相反向量：长度和方向相同的向量为相等向量；长度相同方向相反的向量为相反向量。2空间向量加减与数乘运算+： OB OA ABab： BA OA OB ab数乘： OPa(R)运算律：加法交换律：abb a 加法结合律： (ab )c a (bc) 数乘分配

2、律： (a b)a b3 共线向量 : 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量If a 平行于 b ,then记作 a / b That means: 当我们说向量 a 、 b 共线（或 a / b ）时，表示 a 、 b 的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线4共线向量定理及其推论：共线向量定理：空间任意两个向量a0），a/b的充要条件是存在实数，使a b .、 b （ b 推论：如果 l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，那么对于任意一点O，点 P 在直线 l 上的充要条件是存在实数t 满足等式 :OPOAt a 其中向

3、量 a 叫做直线 l 的方向向量 .5 共面向量： 已知平面和向量 a ，作 OAa ，如果直线 OA 平行于或在内，那么我们说向量a 平行于平面，记作： a / 通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量。That means ：空间任意的两向量都是共面的。6 共面向量定理：如果两个向量a, b 不共线， p 与向量 a,b 共面的充要条件是存在实数x, y 使 pxayb推论 ：空间一点P 位于平面MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对x, y ，使 MPxMAyMB 或对空间任一点O ，有OP OMxMAyMB(式叫做平面MAB 的向量表达式 )7.空间向量基本定理： 如果三个向量

4、a,b ,c 不共面，那么对空间任一向量 p ，存在一个唯一的有序实数组x, y, z ，使 pxa ybzc其中： a ， b ， c 叫做空间的一个基底，a ， b ， c 都叫做基向量。推论：设 O, A, B,C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数x, y, z，使 OPxOAyOBzOC8.空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量a, b ，在空间任取一点O，作 OAa,OBb ，则AOB 叫做向量a 与 b 的夹角，记作 a, b；且规定 0a,b，显然有a,bb ,a ；若 a, b，则称 a 与 b 互2相垂直，记作：ab .9向量的数量积：a b| a

5、| |b | cos a,b向量的几何意义 ：已知向量 ABa 和轴 l ，e 是 l 上与 l 同方向的单位向量， 作点 A 在 l 上的射影 A ，作点 B 在 l 上的射影 B ，则 A B 叫做向量 AB 在轴 l 上或在 e 上的正射影 .可以证明 A B的长度 |AB| | AB | cosa, e| ae |性质：（1） a e| a | cosa, e（2 ） abab0 （3 ） | a |2aa 运算律 ：（ 1） (a) b(ab)a (b) （ 2） abba （交换律）（ 3 ） a (bc ) a b a c （分配律）10. 空间向量的正交分解及其坐标表示:（1）

6、表示方法：空间直角坐标系的x 轴是横轴（对应为横坐标） ， y 轴是纵轴（对应为纵轴） ， z 轴是竖轴（对应为竖坐标） .（2 ）运算：令 a(a1, a2 , a3 ) , b(b1 ,b2 ,b3 ) ，则： a b( a1 b1,a2b2 ,a3b3)数乘：a(a1, a2 , a3 )(R)数量积： a ba1 b1 a 2 b2a3 b 3当 ab 时， aba1b1a2b2a3b30（3 ）共线向量：a ba1b1 ,a2b 2 ,a3b 3 (R)a 1a 2a3b1b 2b3（4 ）模： aa aa12a 22a32(常用的向量模与向量之间的转化：a 2a aaa a )（5

7、 ）夹角的运算：cosa, ba ba1b1a2 b2a3 b3| a | | b |a12a22a32b12b22b32（6 ）两点之间距离公式：distance(x2x1 )2( y2y1 )2( z2z1) 211.法向量：若向量a 所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作 a，如果 a那么向量 a 叫做平面的法向量 .?_? That means法向量的求法 ：1）：利用几何体中已经给出的有向线段，只需证明线面垂直。2 ）：几何体中没有具体的直线，可以采用待定系数法，求法如下：(*_*)Step1: 设出平面的法向量为n(x, y, z)Step2：找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标a (a1 , a2, a3 ) ， b (b1,b2 ,