积分问题-数值分析上机实验报告

1、精品数值分析上机报告姓名：学号：专业：学院：授课教师：胡杰感谢下载载精品昆明理工大学2012.01.01数值分析实验报告数值积分问题一、问题的提出在微积分中， 积分值是通过原函数的解析式求得的，即依据人们所熟知的微积分基本定理，对于积分： Ibf（ x）的原函数 F(x) ，便有下列f（ x） dx ，只要找到被积函数ab牛顿莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式：f（ x）dxF（ b） F（a）。然而有的原a函数寻找往往比较困难， 许多积分函数甚至找不到用初等函数表示的原函数。为此研究数值积分问题是非常必要的。数值积分的至今普遍应用主要有五种：梯形公式、Simpson 公式及其两种算

2、法的复化公式、高斯求积公式。本实验只要选用复合Simpson公式及高斯求积exy公式对特定某个积分，例如：dxdy， D=0<x<1,0<y<1进行数值计算，比较分析D两种算法的结果，理解数值积分法的意义，明确数值积分精度和步长之间的关系等。二、目的和意义1 、 深刻理解数值积分的意义：在微积分中，积分值是通过原函数的解析式求得的，然而原函数的寻找往往比较困难，许多积分函数甚至找不到用初等函数表示的原函数；另外，当f ( x) 是由测量或者数值计算给出的一张数据表时，牛顿莱布尼茨公式也不能直接运用，为此研究数值积分问题是非感谢下载载精品常必要的。2 、 明确数值积分的精

3、度与步长的关系：复化的求积方法对提高精度是行之有效的，但是在使用求积之前必须给出合适的步长，并且高斯求积公式具有比复化求积公式更高的精度，步长取得太大精度难以保证，步长太小则会导致计算量的增加。3 、 根据定积分的计算方法，可以考虑二重积分的计算问题：在微积分中，二重积分的计算是用化为累次积分的方法进行的。计算二重数值积分也同样采用累次积分的计算过程。利用二重积分的复化梯形公式设计如下：bdf ( x, y)dydxacbdbddbaf ( x, y)dydxaf ( x, y)dy dxf ( x, y)dx dycccaa,b,c,d 为常数， f在 D 上连续。将它变为化累次积分hb a

4、 , kd c做等距节点， x 轴， y 轴分别有：mndf (x, y)dy先计算c，将 x 作为常数，有d1n 11 f (x, yn )f ( x, y0 )f ( x, y j )f (x, y)dy kc2j 121bh12f (x, yn )dx2f ( x0 , yn )a2m 11f ( xi , yn )f (xm , yn )i 12再将 y 作为常数，在x 方向，计算上式的每一项的积分系数，在积分区域的四个角点为1/4 ， 4 个边界为 1/2 ，内部节点为 1。b nd1n1b11bf ( x, y j)dxh11m 1f (x, y j)dxf (x0, yn )f

5、( xm, y0 )f ( xm, y0 )jcf (x, y)dydx hkf (x0 , y0 )a1f (x, y0 ) dxj1a f ( x0 , y0 )f (xi, y0 )f ( xm , y0 )2 an 1m 1224mm11i 1n 12n 111f (xi, y0 )1f ( xm , y j )hf ( xi , yn )感谢下载载 f (x0 , y j )2f ( x0, yj )f (xi , y j )f ( xm, y j )j 21i i 112j 1i 1j 1n n1 1 m 1ff(xx,yy )n 1 m 1c)n 1 m 1, y j )h1hk

6、f( x, yjf h(x , y j ) f (xi0 ij j1mi , jij j1 1 2i 12j 1 i 1j 1 i 1精品三、计算公式关于复化辛普森（Simpson ）公式及高斯求积公式在以下给出。1） 复化辛普森（ Simpson）公式Snnh f ( xk 1 )4 f ( x1)f ( xk )h f (a)4n 1f (x1 )2n 1f ( xk ) f (b)k1 6k26k 1kk 12为了便于编程可写成ba f (a)f (b)nSnk 2 f ( x 1 )f ( xk )3n212k2 ）高斯求积公式bnfx）( )k(k )a（x dxAf xk 0四、结

7、构程序设计/ 复化 Simpson算法#include <stdio.h>#include <math.h>double SIMP1(double,double,int);double FUTX(double,double,int);double Func(double);void main()double a1,b1,x;感谢下载载精品int n1;a1=0.0;b1=1.0;n1=20;/可设定具体的分段数n=10或者 20printf("%.10fn",SIMP1(a1,b1,n1);printf("%.10fn",FUTX

8、(a1,b1,n1);/ printf("ntime=%fn",Atime/60);double Func(double x)return(log(1+x)/(1+x*x);double SIMP1(double a1,double b1,int n1)int i; double h,s; h=(b1-a1)/(2*n1); s=0.5*(Func(a1)-Func(b1); for(i=1;i<=n1;i+)s+=2*Func(a1+(2*i-1)*h)+Func(a1+2*i*h); return(b1-a1)*s/(3*n1);感谢下载载精品double FUT

9、X(double a1,double b1,int n1)int i;double t,h;h=(b1-a1)/n1;t=Func(a1)+Func(b1);for (i=1;i<=n1;i+)t+=2*Func(a1+i*h);return(t*h/2);/ 高斯求积公式#include <stdio.h>#include <malloc.h>#include <math.h>double ROMBG(double,double,double,double,double,double);double Func(double);void main()d

10、ouble a,b,eps,al,ma,mi;/ int n1; a=0.0;感谢下载载精品b=1.0;eps=1e-5;al=10;ma=10;mi=3;printf("%.10fn",ROMBG(a,b,eps,al,ma,mi);/ printf("%.10fn",FUTX(a1,b1,n1);/ printf("ntime=%fn",Atime/60);double Func(double x)return(log(1+x)/(1+x*x);double ROMBG(double a,double b,double eps,d

11、ouble al,double ma,double mi)int j,q;double l,h,r,s,k,l0,m,n;double *t;t=(double *)calloc(11,sizeof(double);if(t=NULL)exit(1);l=b-a;感谢下载载精品h=l;t0=(Func(a)+Func(b)*l*0.5;for(q=0;q<=ma-1;q+)r=h;h*=0.5;k=h;s=Func(a+k);dok+=r;if(fabs(k)<fabs(1)s+=Func(a+k);while (fabs(k)<fabs(1);tq+1=tq*0.5+h*s

12、;l0=1;for( j=q;j>=0;j-)l0*=0.25;m=(tj+1-tj)/(1-l0);t j+=m;感谢下载载精品n=t0;if(fabs(n)>=al)m/=n;if(fabs(m)<eps&&q>mi)r=t0;free(t);return(r);r=t0;free(t);return(r);五、结果讨论和分析结果分析可得到以下结论：1、 两者虽然都需要调用f 相同的次数，工作量基本相同，但是精度却差别很大，复化Simpson 相对较高，故复化 Simpson 公式是一种精度较高的求积公式；2、 从 n 的不同设定值， 我们可以看出细

13、分求积分区间可以提高该两类算法的计算精度，由于 Simpson 算法在 n=10 时就有较高的精度，故对其影响并不是很大。3、 高斯求积公式算法的计算精度明显高于上述算法，它的基本方法就是运用在变步长求积的过程中运用加速公式，将梯形法则的积分值逐步加工成为精度较高的结果，是利用外感谢下载载精品推法构造出一种计算积分的方法，适用于求积分而很难求出其精确表达式的那些复杂函数。综上所述，上述三种方法都是数值积分问题行之有效的办法。复化梯形和复化Simpson必须给出合适的步长；步长过大精度难保，步长过小计算量增加。要想事先给出一个合适的步长却是非常困难的。在实际计算中通常采用变步长的求积方案，即在步

14、长逐次折半（步长二分） 的过程中， 反复利用复化求积公式进行计算，直到二分前后的两次积分精度近似值相当符合为止。 Simpson在梯形面积近似积分值的基础上，增加中点构造出三点公式，又不断二分思想构造出复化Simpson和变步长Simpson的数值积分。高斯求积公式算法运用在变步长求积的过程中运用加速公式，采取事后估计法， 将梯形法则的积分值逐步加工成为精度较高的结果。曲线拟合的最小二乘法一、目的和意义感谢下载载精品在科学实验的统计方法研究中，往往要从一组实验数据xi , yii0,1,2, L , m 中，寻找自变量x 与因变量 y 之间的函数关系yFx 。由于观测数据往往不准确，因此不要求

15、 y Fx经过所有点xi, yi ，而只要求在给定点 xi 上误差而只要求所在所有给定点xiF ( xi ) yii0,1,2, L , m 按某种标准最小。 若记0, 1, 2,L ,T上的误差im，就是要求向量的范数最小。如果用最大范数， 计算上困难较大， 通常采用欧式范数2作为误差度量的标准。Fx 的函数类型往往与实验的物理背景以及数据的实际分布有关，它一般含有某些待定参数。如果 Fx 是所有待定参数的线性函数，那么相应的问题称为线性最小二乘问题， 否则称为非线性最小二乘问题。最小二乘法还是实验数据参数估计的重要工具。 这是因为这种方法比其他方法更容易理解，即使在其他方法失效的情况下，用

16、最小二乘法还能提供解答，而且从统计学的观点分析，用该方法求得各项估计具有最优统计特征，因此这一方法也是系统识别的重要基础。线性最小二乘问题可以借助多元微分学知识通过求解法方程组得到解答。用最小二乘法求拟合曲线时，首先要确定S x 的形式。这不单纯是数学问题，还与所研究问题的运动规律以及所得观测数据xi , yi 有关；通常要从问题的运动规律以及给定数据描图，确定S x 的形式，并通过实际计算选出较好的结果。为了使问题的提法更有一般2性，通常把最小二乘法中的2 都考虑为加权平方和2m2xi S xif xi2i 0这里xi 0 是 a,b 上的加权函数，它表示不同点xi, f xi 处的数据比重

17、不同。二、计算方法感谢下载载精品在某冶炼过程中，根据统计数据的含碳量与时间关系，试求含碳量y 与时间 t 的拟合曲t ( 分）0510152025303540455055y10 401.272.162.863.443.874.154.374.514.584.024.64线。本题要求我们用ta1ta2 t 2a3t 3 对 曲 线 进 行 拟 合 ， 这 里m11,1t,2t 2 ,3t 3 , 故11211ti31,1ti12650 ,1 ,22 ,1544500 ,i 0i 011112 ,2ti424983750,1,33,1ti424983750 ,i0i011113 ,22 ,3ti5

18、1193362500 , 3 ,3ti658593218750i0i 011111, ytiyi1365.55 ,2 , yti2 yi54350.75 ,i0i0113 , yti3 yi2379846.25i0n由于k,jajdjk0,1, n ,可以利用此式算出拟合曲线的ai，即j 0L1, 11 , 21 , 3a11, y12 , 12 , 22 , 3a22 , y23 , 13 , 23, 3a33 , y3所以求得a12.6610 5，a25.2910 7，a33.52 10 9，t2.6610 5 t5.2910 7 t23.52 10 9 t 3 ，误差为iyitii 0,1,L 11感谢下载载精品maxi 0.455，而均方误差为112i0.51293892ii 0下图可见实际测出值与拟合值的差别，下表可见拟合出的每一点的误差以及均方误差。54.5)413.50量030真实值碳 .2.5含0拟合值× 2(1.510.500102030405060时间 (s)ty拟合值误差误差平方0000051.271.20215-0.067850.004603623102.162.16620.00623.844E-05152.862.918550.05855