二元一次方程组知识点归纳、解题技巧汇总、练习题及答案

1、二元一次方程组知识点归纳、解题技巧汇总、练习题及答案 把两个一次方程联立在一起，那么这两个方程就组成了一个二元一次方程组。 有几个方程组成的一组方程叫做方程组。 如果方程组中含有两个未知数， 且含未知数的项的 次数都是一次，那么这样的方程组叫做二元一次方程组。 二元一次方程定义： 一个含有两个未知数， 并且未知数的都指数是 1 的整式方程， 叫二元一 次方程。 二元一次方程组定义：两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程，叫 二元一次方程组。 二元一次方程的解： 使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值， 叫做二元一次方程的 解。 二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个公共解，叫做二元一

2、次方程组的解。 一般解法，消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决。 消元的方法有两种： 代入消元法 例：解方程组 x+y=5 6x+13y=89 解：由得 x=5-y 把带入，得 6(5-y)+13y=89 y=59/7 把 y=59/7 带入， x=5-59/7 即 x=-24/7 / x=-24/7 y=59/7 为方程组的解 我们把这种通过 “代入”消去一个未知数，从而求出方程组的解的方法叫做代入消元法( elim ination by substitution) ，简称代入法。 加减消元法 例：解方程组 x+y=9 x-y=5 解：+ 2x=14 即 x=7 把 x=7 带入

3、得 7+y=9 解得 y=-2 x=7 y=-2 为方程组的解 像这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法 ( elimination by addition-subtraction) ，简称 加减法。 二元一次方程组的解有三种情况： 1.1. 有一组解 如方程组 x+y=5 6x+13y=89 x=-24/7 y=59/7 为方程组的解 2.2. 有无数组解 如方程组 x+y=6 2x+2y=12 因为这两个方程实际上是一 个方程 (亦称作 “方程有两个相等的实数根 ”，)所以此类方程组有无数组解。 3.3. 无解 如方程组 x+y=4 2x+2y=10 ， 因为方程化简后为 x+y=5 这

4、与方程相矛盾，所以此类方程组无解。 注意：用加减法或者用代入消元法解决问题时 ,应注意用哪种方法简单 ,避免计算麻烦或导致 计算错误。 教科书中没有的几种解法 (一 )加减 -代入混合使用的方法 . 例 1, 13x+14y=41 (1) 14x+13y=40 (2) 解:(2)-(1) 得 x-y=-1 x=y-1 (3) 把 (3)代入 (1)得 13(y-1)+14y=41 13y-13+14y=41 27y=54 y=2 把 y=2 代入 (3) 得 x=1 所以 :x=1, y=2 特点：两方程相加减，单个 x或单个 y,这样就适用接下来的代入消元 (二) 换元法 例 2， (x+5

5、)+(y-4)=8 (x+5)-(y-4)=4 令 x+5=m,y-4=n 原方程可写为 m+n=8 m-n=4 解得 m=6, n=2 所以 x+5=6, y-4=2 所以 x=1, y=6 特点：两方程中都含有相同的代数式，如题中的 x+5,y-4 之类，换元后可简化方程也是主要 原因。 (三) 另类换元 例 3， x：y=1：4 5x+6y=29 令 x=t, y=4t 方程 2 可写为： 5t+6*4t=29 29t=29 t=1 所以 x=1,y=4 二元一次方程组的解 一般地，使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程 组的解。 求方程组的解的

6、过程，叫做解方程组。 一般来说，二元一次方程组只有唯一的一个解。 注意： 二元一次方程组不一定都是由两个二元一次方程合在一起组成的！ 也可以由一个或多个二元一次 方程单独组成。 重点一元一次、一元二次方程，二元一次方程组的解法 ；方程的有关应用题（特别是行程、工程问题） 内容提要 一、 基本概念 1 1方程、方程的解（根） 、方程组的解、解方程（组） 2 2分类： 二、 解方程的依据一等式性质 1 1. a= a= -a+c=b+ca+c=b+c 2 2. a= a= -ac=bc ac=bc （c c 工 0 0） 三、 解法 1 1一元一次方程的解法：去分母 -去括号-移项-合并同类项-

7、系数化成 1 1-解。 2 2.元一次方程组的解法：基本思想： 消元”方法：代入法 加减法 四、 一元二次方程 1 1定义及一般形式： 2 2解法：直接开平方法（注意特征） 配方 法（注意步骤一推倒求根公式） 公式法： 因式分解法（特征：左边 =0=0） 3 3 根的判别 式： 4 4.根与系数顶的关系： 逆定理：若 ，则以为根的一元二次方程是： 。 5 5.常用等 式： 五、 可化为一元二次方程的方程 1 分式方程定义基本思想：基本解法：去分母法换元法（如， ）验根及方法 2 无理方程定义基本思想：基本解法：乘方法（注意技巧！ ！）购换元法验根及方法 3 .简单的二元二次方程组由一个二元一次

8、方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组都可用代 六、 列方程（组）解应用题 一概述 列方程（组）解应用题是中学数学联系实际的一个重要方面。其具体步骤是： 审题。理解题意。弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么。 设元（未知数）。直接未知数间接未知数（往往二者兼用）。一般来说，未知数越多，方程越易列， 但越难解。 用含未知数的代数式表示相关的量。 寻找相等关系（有的由题目合出，有的由该问题所涉及的等量关系给出），列方程。一般地，未知数个 数与方程个数是相同的。 解方程及检验。 答案。 综上所述，列方程（组）解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题（设元、列方程）

9、，在由数学问题 的解决而导致实际问题的解决（列方程、写出答案）。在这个过程中，列方程起着承前启后的作用。因此， 列方程是解应用题的关键。 二常用的相等关系 1 1 行程问题（匀速运动） 基本关系： s=vt s=vt 相遇问题 （同时出发 ）： + =+ = 追及问题（同时出发）：若甲出发 t t 小时后，乙才出发，而后在 B B 处追上甲，则 水中航行： ; ; 2 2.配料问题：溶质= =溶液 浓度 溶液= =溶质+ +溶剂 3 3 .增长率问题： 4.4. 工程问题：基本关系：工作量 = =工作效率XX作时间（常把工作量看着单位 “1 1）。 5.5. 几何问题：常用勾股定理，几何体的面

10、积、体积公式，相似形及有关比例性质等。 解析式的互化三注意语言与 8. 二元一次方程组练习题 、选择题: 1 .下列方程中，是二元一次方程的是（ ） A. 3x 2y=4z B. 6xy+9=0 2 .下列方程组中，是二元一次方程组的是（ x y 4 2a 3b 11 A. B. 2x 3y 7 5b 4c 6 3 .二元一次方程 5a 11b=21 () A. 有且只有一解 B .有无数解 4 .方程 y=1 - -x与 3x+2y=5的公共解是（ x 3 x 3 A B. C. y 2 y 4 5 .若丨 x 2 1 + (3y+2 ) 2=0，则的值是（ A. 1 B.- -2 C. 1

11、 4x= y 2 +4y=6 D. x 4 ) Cx2 9 D. x y 8 y 2x x2 y 4 C. 无解 D.有且只有两解 ) x 3 x 3 D. y 2 y 2 ） 3 -3 D 2 6 .方程组4X 3y k的解与 x与 y的值相等，则 k 等于 （） 2x 3y 5 、填空题x y 246 x y 246 x y 216 x y 246 A. B. C. D. 2x 2 2x y 2 y 22 2x 2 xy+2x - y=7 ； 4x+1=x y; -1 一 +y=5 ; x x=y ； x2 y2=2 6x 2y x+y+z=1 y (y1) =2y2 y2+x A. 1

12、B. 2 C. 3 D. 4 7 .下列各式，属于二元一次方程的个数有（ ） y比女生人数 x的 2倍少 2人，？则下面所 某年级学生共有 246人，其中男生人数 列的方程组中符合题意的有（ ） 9 .已知方程 2x+3y 4=0，用含 x的代数式表示 y为：y= _ 用含 y的代数式表示 x 为：x= _ . 一 、 1 10 .在二兀一次方程 x+3y=2中，当 x=4时，y= _ 当 y= 1时，x= _ . 11 .若 x3m 3 2yn1=5 是二元一次方程，则 m= _ , n= _ x 2 12 .已知 是方程 x ky=1的解，那么 k= _ y 3 13 .已知 |x 1 |

13、 + (2y+1 ) 2=0，且 2x ky=4，贝 V k= _ _ 14 .二元一次方程 x+y=5的正整数解有 _ . x 5 15 .以 为解的一个二元一次方程是 _ _ y 7 16 .已知 x 2是方程组 mx y 3的解，贝 V m= _ n= _ . y 1 x ny 6 三、解答题 17 .当 y= 3时，二元一次方程 3x+5y= 3和 3y 2ax=a+2 (关于 x, y 的方程)？有 相同的解，求 a的值. 18 .如果(a 2) x+ ( b+1) y=13是关于 x, y的二元一次方程，则 a, b满足什么条 件？ 20 .已知 x, y是有理数，且(|x | 1

14、 ) 2+ (2y+1 ) 2=0，则 x y的值是多少? 1 21 .已知方程 x+3y=5，请你写出一个二兀一次方程, 2 程组的解为 19 .二元一次方程组 4x 3y 7 kx (k 1)y 3 的解 x, y的值相等，求 k. ?使它与已知方程所组成的方 22 根据题意列出方程组: （1）明明到邮局买 0.8元与 2元的邮票共 13枚，共花去 20元钱，?问明明两种邮 票各买了多少枚？ （ 2）将若干只鸡放入若干笼中，若每个笼中放 4 只，则有一鸡无笼可放； ?若每 笼里放 5 只，则有一笼无鸡可放，问有多少只鸡，多少个笼？ x y 25 23 方程组 的解是否满足 2x y=8 ？

15、满足 2xy=8 的一对 x，y 的值是否是 2x y 8 x y 25 方程组 的解？ 2x y 8 24 .（开放题）是否存在整数 m，使关于 x的方程 2x+9=2 （ m 2） x在整数范围内 有解，你能找到几个 m的值？你能求出相应的 x的解吗？ 答案： 一、选择题 1 . D 解析：掌握判断二元一次方程的三个必需条件：含有两个未知数; 数的项的次数是 1;等式两边都是整式.含有未知 1 2 . A 解析：二元一次方程组的三个必需条件：含有两个未知数，每个含未知数的 项次数为 1 ;每个方程都是整式方程. 3. B 解析：不加限制条件时，一个二元一次方程有无数个解. 4 . C解析：

16、用排除法，逐个代入验证. 5 . C解析：利用非负数的性质. 6 . B 7.C解析：根据二元一次方程的定义来判定， ？含有两个未知数且未知数的次数不超 过 1次的整式方程叫二元一次方程，注意整理后是二元一次方程. 8 B 、填空题 10. - 10 2 3 4 解析：令 3m 3=1 , n 1=1，二 m= , n=2 . 3 2 代入方程 x ky=1 中，得一 2 3k=1，二 k= 1 . 3 1 1 代入方程 2x ky=4 中，2+ k=4，二 k=1 . - 2 14 .解: y 15 . x+y=12 解析：以 x与 y的数量关系组建方程，如 此题答案不唯 三、解答题 x为小

17、于 5的正整数.当 x=1 时， y=4 ;当 x=2 时，y=3 ; 当 x=3 , y=2 ;当 x=4 时， y=1 . x 1 x 2x3 x 4 x+y=5的正整数解为 y 4 y 3 y 2 y 1 解析：T x+y=5 , y=5 x，又T y均为正整数, x, 12 . x 1解析：把 y 13 . 4 解析：由已知得 x 1=0 , 2y+1=0 , 11 . 二 x=1 , y= 2x+y=17 , 2x y=3 等, 16. 1 4 解析：将 2 代入方程组 mx y 3中进行求解. x ny 6 1 17 .解：T y= 3 时，3x+5y= 3，二 3x+5 x( 3

18、) = 3，二 x=4 , 方程 3x+5y=? - ?3?和 3x- 2ax=a+2 有相同的解, 3 x( 3) 2a x 4=a+2 ,a= 9 18 .解：( a 2) x+ (b+1 ) y=13 是关于 x, y 的二元一次方程， a 2 工 0, b+1 工 0, ? aM 2, bM 1 解析：此题中，若要满足含有两个未知数，需使未知数的系数不为 0. (?若系数为 0,则该项就是 0) 19 .解：由题意可知 x=y , 4x+3y=7可化为 4x+3x=7 , x=1 , y=1 .将 x=1 , y=?1?代入 kx+ (k 1) y=3 中得 k+k 仁 3 , k=2 解析：由两个未知数的特殊关系， 可将一个未知数用含另一个未知数的代数