考研数三(1987-1997年)历年真题

1、1997年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5分，每小题3分，满分15分.把答案在题中横线上.)(1)设 y = f(lnx)ef(x),其中 f 可微,则 dv =1,亏 ii 若 f(x)2.1xf (x)dx,则 f(x)dx 二1 + xL0L° 差分方程Vy Vt =t2t的通解为 .2 2 2 若二次型f(X1,X2,X3)=2X1 +X2 +X3 +2X1X2 +tX2x3是正定的，则t的取值范围是 .X 和丫的简 设随机变量X和丫相互独立且都服从正态分布N(0,32),而X1|,X9和Y1| ,Y9分别是来自总体单随机样本，则统计量IJ = X1亠

2、川 服从分布(2分),参数为.7丫2+川+把所选项前的二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 字母填在题后的括号内)1 -COSXx x(1)设 f (x)sin t dt, g(x),则当 Xr 0时，f (x)是 g(x)的 ()1056(A)(C)低阶无穷小等价无穷小(B)(D)高阶无穷小同阶但不等价的无穷小(-：,0)内 f (x) .0 ,且 f (x) ：0 ,则在(A)f (x) 0, f (x) <0(B)f (x) 0, f (x) 0(C)f (x) <0, f (x) <0(D)f (x) <

3、 0, f (x) 0 设向量组：1, ：2, ：'3线性无关，则下列向量组中，线性无关的是(A) >2, >2 *3, >3 - >1(B) 2, >2 比3, 2匕心3(C) 2： 2, 2： 2 3： 3, 33 *(D) ： 1： 2： 3, 2：1 3： 2 22： 3, 3： 15： 2 5： 3设代B为同阶可逆矩阵，则(A) AB 二 BA(B)()存在可逆矩阵P,使PAPB(C)存在可逆矩阵C ,使CTAC=B (D)存在可逆矩阵P 和 Q ,使 PAQ 二 B1 p(x =_1.； = PY 二-1, Px =12()pfx 二Y = 1

4、pIxY =1 二丄4C D生产函数,即有(5)设两个随机变量 X与Y相互独立且同分布：1=P(Y =1,则下列各式中成立的是21(A) P：X =Y =-(B)21(C) pfx Y = 0(D)4三、(本题满分6分) 在经济学中，称函数1Q(x)二A、K(1 -、.儿匸为固定替代弹性生产函数，而称函数Q =AK L为Cobb-Douglas生产函数(简称C D生产函数).试证明：但x 、0时，固定替代弹性生产函数变为1叫0&) = Q .四、(本题满分5分)设u = f (x, y, z)有连续偏导数y = y(x)和z = z(x)分别由方程exy-J.»。和e所确定,

5、求-.五、(本题满分6分)一商家销售某种商品的价格满足关系p =7-0.2x(万元/吨),x为销售量(单位：吨),商品的成本函数C =3x1 (万元).(1) 若每销售一吨商品，政府要征税t(万元),求该商家获最大利润时的销售量；(2) t为何值时，政府税收总额最大六、(本题满分6分)设函数f (x)在0,=：)上连续、单调不减且 f (0) - 0 ,试证函数(1 x-tnf (t)dt,若 x 0, F (x)二 x 0i0,若 x=0,在0, ：)上连续且单调不减(其中n0).七、(本题满分6分)从点R(1,0)作x轴的垂线，交抛物线y =x2于点Q(1,1);再从Q1作这条抛物线的切线

6、与x轴交于P2,然后又从P2作x轴的垂线,交抛物线于点Q2,依次重复上述过程得到一系列的点P,Q1； F2,Q2；ili；Pn,Qn；IU 求OR ；(2)求级数Qf+QzB中川+QnPn+|的和.其中n(n _1)为自然数，而M,M2表示点M,与M2之间的距离八、(本题满分6分)设函数f t在0, ：)上连续，且满足方程2f (t) =e4;t +x2fff (-Jx2 +y2)dxdy，求 f (t). 连t22九、(本题满分6分)设A为n阶非奇异矩阵，ot为n维列向量，b为常数记分块矩阵厂一 E0亠_AP =T十A，Q = I T1，/-a Ab其中A ”是矩阵A的伴随矩阵，E为n阶单位

7、矩阵.(1) 计算并化简PQ ；(2) 证明：矩阵Q可逆的充分必要条件是：亠 =b.十、(本题满分10分)设三阶实对称矩阵A的特征值是1,2,3；矩阵A的属于特征值1,2 的特征向量分别是=(-1,-1,1)丁, ：(1,-2, -1)T.(1) 求A的属于特征值3的特征向量；(2) 求矩阵A.十一、(本题满分7分)1 1假设随机变量 X的绝对值不大于1 ； P X = T, P X =1;在事件84 -1 ：X : 1出现的条件下，X在(-1,1)内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比.试求X的分布函数 F(x) =PX 乞 x.十二、(本题满分6分)游客乘电梯从底层到电视塔顶层

8、观光；电梯于每个整点的第5分钟、25分钟和55分钟从底层起行假设一游客在早晨八点的第 X分钟到达底层候梯处，且X在0,60上均匀分布，求该游客等候时间的数学期望十三、(本题满分6分)两台同样自动记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布；首先开动其中一台，当其发生故障时停用而另一台自行开动试求两台记录仪无故障工作的总时间T的概率密度f(t)、数学期望和方差1996年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分.把答案填在题中横线上.)(1)设方程x = yy确定y是x的函数,则dy=.1 设xf (x)dx =arcsinx+C ,则dx =.

9、f(x) 设Xo，y。是抛物线y二ax2 bxc上的一点，若在该点的切线过原点，则系数应满足的关系是设-111 1H 11xj1qa2a31H anx21A =2a12a2a；|H a；q,X =X3+,B =1卜+n*<na2*ndia31WR! in A.Han 一+Xn 一1其中a： Haj(i式j；i，j =12川，n).则线性方程组 N X = B的解是.J的置信度为,把所选项前的 设由来自正态总体XN(»0.92)容量为9的简单随机样本，得样本均值 X =5,则未知参数0.95的置信区间为.二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分.每小题给出的四个选项中，只

10、有一项符合题目要求字母填在题后的括号内.)(1)累次积分cos V02d °f(rcosr,rsin)rdr 可以写成()(A)1y-y20dy 0f (x, y)dx(B)11了°dy 0f (x, y)dx(C)1 10dx0f(x,y)dy(D)1xx2JdxJ0 0f(x, y)dy(2)下述各选项正确的是()QOQOQO(A)若瓦u2和瓦v；都收敛，则E(Un+vn)2收敛n =1n=1n =1QOQOQO(B)EUnVn收敛,则Z u：与无v；都收敛n ztn =1n =1oO1(C)若正项级数送un发散,则Un A n三n0cO(D)若级数7 Un收敛，且Un

11、 -Vn(n =1,2j|l),则级数V也收敛n Mn M(3) 设n阶矩阵A非奇异(n - 2), A”是矩阵A的伴随矩阵，则()(A) (Af-AA(B)An An _2n -2(C) (A丁 =|A _ A(D)(Ay = |AA 设有任意两个n维向量组r,|(Cm和若存在两组不全为零的数'11，-m和佥,|( ,km ,使('1 * kJ ：1|( ( m kmm ( 1 - K) ： 1 订 H，( ' m - 如)：m = 0 ,则()(A)1,| 1( Cm和-1|, ：m都线性相关(B) 1,|1(, : m 和-1|, ：m 都线性无关(C) 11,川

12、，m m 冷- “川 l,m - -m 线性无关(D) >1，|l(,m订，冷1：1川l,m - : m线性相关 已知0 : P(B)"且PA2 B =P(A B) P(A2 B),则下列选项成立的是()(A) P A A2 ：B =P(A B) P(A B)(B) P A1B A2-P(A1B) P(A2B)(C) P(A+A2 )=P(A| B)+P(A?| B)(D) P B 二 P A P(B A) P(AJP(B ©g(x)_e设f (x)=三 x0,三、(本题满分6分)X=0,其中g(x)有二阶连续导数，且g(0) =1,g(0) = -1.x = 0,(

13、1)求 f (x)；(2)讨论f (x)在(-：,：)上的连续性四、(本题满分6分)x设函数z = f (u),方程u =(u)亠I p(t)dt确定u是x, y的函数，其中f (u),(u)可微；p(t) ,(u)连续，且(u) =1.求 p(yz p(xz.CxCy五、(本题满分6分)六、(本题满分5分)设f(x)在区间0,1上可微，且满足条件f(1) = 2 jxf(x)dx试证：存在：(0,1)使 f( ) f ( ) =0.七、(本题满分6分)设某种商品的单价为p时,售出的商品数量 Q可以表示成Q=-c,其中a、b、p +bc均为正数，且a bc.(1) 求p在何范围变化时，使相应销

14、售额增加或减少(2) 要使销售额最大，商品单价p应取何值？最大销售额是多少？八、(本题满分6分)九、（本题满分8分）0 10 010 0 0设矩阵A =.0 0 y 10 0 12（1）已知A的一个特征值为3,试求y ; 求矩阵P , 使 （AP）T（AP）为对角矩阵十、（本题满分8分）设向量：仆是齐次线性方程组 AX =0的一个基础解系，向量1不是方程组AX =0的解，即 - 0 .试证明：向量组 二卩亠：S卩亠：£2,丨1（,卩亠：3线性无关十一、（本题满分7分）假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2,机器发生故障时全天停止工作，若一周5个工作日里无故障，可获利润10万元；发

15、生一次故障仍可获得利润5万元；发生两次故障所获利润0元；发生三次或三次以上故障就要亏损2万元求一周内期望利润是多少 ？十二、（本题满分6分）考虑一元二次方程 x2 Bx 0,其中B、C分别是将一枚色子（骰子）接连掷两次先后出现的点数 .求该方程 有实根的概率 p和有重根的概率 q.十三、（本题满分6分）假设X1,X2H,Xn是来自总体X的简单随机样本；已知 EXk =ak（k =123,4）.1 n 2 证明：当n充分大时，随机变量Zn = 7 X：近似服从正态分布，并指出其分布参数.n i:1995年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分.把答案

16、填在题中横线上.)(1) 设 f(x)二，则 f (X)工 .1 +X(2) 设 z =xyf (丫), f (u)可导，则 xzx yzy 二x设 f (Inx)=1 x,则 f(x)二0 0 0、设A= 220 , A1*是A的伴随矩阵，则(Aj=<3 4 5设X1,X2l(,Xn是来自正态总体N(F2 )的简单随机样本，其中参数丿和n nX =_H Xj,Q2=2： (Xi -X)2,则假设H0：P=0的t检验使用统计量t=.n i 生i 4,把所选项前的二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 字母填在题后的括号内.)(1)设

17、f(x)为可导函数，且满足条件|m f (1)；f(1-X) = _1,则曲线y二f(x)在点(1,f (1)处的切线斜率为(A) 2(B)(2)下列广义积分发散的是1 1(A)dx'sin x: 2(C)0 e dx(B)(D)(C) 设矩阵Am n的秩为r(A)二m ： n, Em为m阶单位矩阵，下述结论中正确的是()(A) A的任意m个行向量必线性无关(B) A的任意一个m阶子式不等于零(C) 若矩阵B满足BA =0,则B = 0(D) A通过初等行变换,必可以化为(Em,0)的形式 设随机变量X和Y独立同分布,记U =X -Y,V =X Y,则随机变量U与V必然()(A)不独立

18、 (B)独立 (C)相关系数不为零(D)相关系数为零 设随即变量 X服从正态分布 N(巴L),则随的增大，概率px円成" ()(A)单调增大 (B)单调减少(C)保持不变(D) 增减不定三、（本题满分6分）2（仁 COSX）,X1L.XX 20 cost dt.x 0x =0,试讨论f （x）在x = 0处的连续性和可导性X 0四、（本题满分6分）已知连续函数f（x）满足条件f（x）=。'行 1 dt - e2x,求f（x）.五、（本题满分6分）将函数y = |n（1 -x -2x2）展成X的幕级数，并指出其收敛区间六、（本题满分5分）,2 2、计算；：；minx,ye&qu

19、ot; y）dxdy 七、（本题满分6分）设某产品的需求函数为 Q =Q（P）,收益函数为R = pQ,其中p为产品价格,Q为需求量（产品的产量）,Q（p）为单调减函数如果当价格为p0,对应产量为Q0时,边际收益dRdQ=a 0,收益对价格的边际效应dRdp=c ： 0 ,需求对价格的弹性E p 二 b 1.求 p0 和 Q0.八、(本题满分6分)设f (x)、g(x)在区间_a,a ( a . 0)上连续，g(x)为偶函数，且f (x)满足条件f(x) f (_x) =A( A为常数).aa(1) 证明 f(x)g(x)dx 二 A g(x)dx ；.a-031(2) 利用 的结论计算定积分

20、&|sinxarctanexdx.九、(本题满分9分)已知向量组(I )冷，2,； ( n ) ：'1'2/'3/'4 ；(川)：'1/'2/'3/'5,如果各向量组的秩分别为 r(I) =r(ll) =3, r(III) -4.证明:向量组冷，2,3,4的秩为4.十、(本题满分10分)2 2已知二次型 f (x-i, x2, x3) =4x2 -3x3 4x2 -4x3 8x2x3.(1) 写出二次型f的矩阵表达式；(2) 用正交变换把二次型f化为标准形，并写出相应的正交矩阵.十一、(本题满分8分)假设一厂家生产的每台仪

21、器，以概率0.70可以直接出厂；以概率 0.30需进一步调试经调试后以概率 0.80可以出厂；以概率 0.20定为不合格品不能出厂.现该厂新生产了n(n 一2)台仪器(假设各台仪器的生产过程相互独立).求：(1) 全部能出厂的概率:-;(2)其中恰好有两台不能出厂的概率一：；(3) 其中至少有两台不能出厂的概率v.十二、(本题满分8分)已知随机变量 X和Y的联合概率密度为4xy,f（x，y）t,其他,求X和Y联合分布函数F(x, y).1994年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题已知、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)f (x) = _1,则 limxf(

22、x0 - 2x) - f (x0 - x) 设方程exy+v2=cosx确定v为x的函数，则巴=.dx-00a100a2LL00设A = |MMMM，其中 q H0,i =1,2,L ,n，则 Aa000Lan A.400L0 _(5)设随机变量X的概率密度为f(X)=!2x,I。，0 ： x ： 1,其他，以Y表示对X的三次独立重复观察中事件X空1出现的次数，则PY=2”.； =2，把所选项前的二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 字母填在题后的括号内.)2 X2 X 1(1)曲线v =ex arctan的渐近线有()(x+1)(x-

23、2)条()收敛性与有关(A) 1 条 (B) 2条(C) 3条 (D) 4a 设常数0,而级数v a2收敛，则级数a (-1)n 一“n =1n dJ n '(A) 发散 (B)条件收敛(C)绝对收敛(D) 设A是m n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，矩阵B =AC的秩为斤，则()(A)r *(B)r : r1(C)r- R(D)r与r-i的关系由C而定 设 0 cP(A) <d,0 c P(B) c1,P(A B)+P(AB) =1，则()(A)事件A和B互不相容(B)事件A和B相互对立(C) 事件A和B互不独立(D)事件A和B相互独立2 设Xi,X2,L,Xn是来自正

24、态总体 N(d二)的简单随机样本，X是样本均值，记S2 二丄' (Xin -1 ij2 2 1 n 2 -X)2, S；(Xi _X)2,1 nS2*)2,n-1 ij1 nS：区)2,n i 二n i 4则服从自由度为n-1的t分布的随机变量是()(A) tX - 1X - 1(B)X - 1(C) tS3.n(D)S4三、(本题满分6分)计算二重积分 JJ(x+y)dxdy,其中 D =<(x,y) x2 + y2 兰x + y+1.D四、(本题满分5分)y 4y 4y = 0,设函数y = y( x)满足条件求广义积分y( x) dxly(0)=2,y(0)=-4,0五、(

25、本题满分5分)X Ff 已知 f (x, y) = x2 arctan-y2arctan仝，求 xycxcy六、(本题满分5分)设函数f (x)可导，且f (0) =0, F(x)二f(Xn -tn)dt,求 limflF(x)2nx七、(本题满分8分)已知曲线y=a；x(a 0)与曲线y =l n-、x在点(x0, y0)处有公共切线,求:(1)常数a及切点(x0, y0)；(2) 两曲线与x轴围成的平面图形绕 x轴旋转所得旋转体的体积 Vx.八、(本题满分6分)假设f (x)在a, ：)上连续，f "(x)在a,内存在且大于零，记F(x“3 血(xa),x a证明F(x)在a,=

26、 内单调增加.九、(本题满分11分) 设线性方程组XiawX3 二 ai23Xi a?X2 *2X3 二 a?,23Xi83X283X3=83,x1 a4X2 a：x3 = a；（i）证明：若ai,a2,a3,a4两两不相等，则此线性方程组无解; 设ai =a3二k,a2 =a4二k（k =0）,且已知 冷2是该方程组的两个解，其中-Hf11,P2 =1J 一-d写出此方程组的通解十、（本题满分8分）0 0 i设A = x i y有三个线性无关的特征向量 ，求X和y应满足的条件i 0 0 一、（本题满分8分）假设随机变量 Xi,X2, X3,X4相互独立，且同分布PXj =0；=0.6,PXj

27、 =i ；=0.4（i =i,2,3,4）,求行列式x = XiX3X2的概率分布X4十二、（本题满分8分）假设由自动线加工的某种零件的内径X （毫米）服从正态分布 N（ji）,内径小于i0或大于i2的为不合格品，其余为合格品，销售每件合格品获利 关系：，销售每件不合格品亏损.已知销售利润T （单位：元）与销售零件的内径 X有如下-1，X M0，T 二巨。，i0 - X -i2，-5， X 12.问平均内径 取何值时，销售一个零件的平均利润最大1993年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.)(1)limsin2 二x 5x

28、3 x已知y = f纶2l3x+2 丿,f，(x ) = arctan x2,则型dxX=0级数響的和为n卫 2设4阶方阵A的秩为2,则其伴随矩阵A*的秩为.)(1)设 f x 二 xsin 占,【0,x7则x =0,(A)极限不存在(C)连续但不可导(B)(D)极限存在但不连续可导设f x为连续函数，且F x = 1lnxf t dt,则F x等于(A) 1 f ln x $ f xx(B)-f ln x f x(C)(lnx)2f Qx(D)f (lnx)- f '丄lx丿设总体X的方差为1,根据来自X的容量为100的简单随机样本，测得样本均值为5,则X的数学期望的置信度 近似等于

29、0.95的置信区间为二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选 项前的字母填在题后的括号内A与对角阵相似的()充分而非必要条件 既非充分也非必要条件(A) A是必然事件(B)P(B A) 9n阶方阵A具有n个不同的特征值是(A)充分必要条件(B)(C)必要而非充分条件(D)假设事件A和B满足P(B A) =1,则(D)设随机变量 X的密度函数为(x),且7-xH (x). F(x)是X的分布函数，则对任意实数a ,有()a(A) F(_a) =1_ (/("dx.(B)1 a .F(-a) =2 - 0(x)dx(C)

30、 F (a)二 F (a)(D)F(_a) =2F(a) 一1三、(本题满分5分)设z = f x,y是由方程z - y-X xez_y公=0所确定的二元函数，求dz.四、(本题满分7分)x -a已知lim ix x a二4x2e °xdx,求常数a的值.a(即产量),p为y = f (x)相交五、(本题满分9分)、 2 1设某产品的成本函数为C二aq bq c,需求函数为q (dp),其中C为成本，q为需求量e单价，a,b,c, d,e都是正的常数，且d b,求：(1) 利润最大时的产量及最大利润；(2) 需求对价格的弹性；(3) 需求对价格弹性的绝对值为1时的产量.六、(本题满分

31、8分)假设:(1)函数y二f (x)(0空x ： ：)满足条件f (0) =0和0乞f (x)乞ex -1;(2) 平行于y轴的动直线 MN与曲线y = f(x)和y二ex -1分别相交于点 R和F2;(3) 曲线y二f(x),直线MN与x轴所围封闭图形的面积 S恒等于线段RF2的长度.求函数y = f (x)的表达式.七、(本题满分6分)假设函数f (x)在0,1上连续，在(0,1)内二阶可导，过点A(0, f (0)与B(1,f(1)的直线与曲线于点 C(c, f (c),其中 0 ： c ：1.证明：在(0,1)内至少存在一点 ,使f ( J = 0.八、(本题满分10分) k为何值时，

32、线性方程组 Xi X2 kx3 = 4, I2_Xr kx2 x3 = k ,J Xi - X2 ' 2X3 = -4有惟一解，无解,有无穷多组解？在有解情况下，求出其全部解九、(本题满分9分) 设二次型f = xj x； x32. x1x22' x2x3 2x1x3经正交变换X =PY化成f2yf,其中X =任 兀,X3)T和Y =(yi, y?, y3)T是三维列向量,P是3阶正交矩阵.试求常数: /.十、(本题满分8分) 设随机变量 X和Y同分布，X的概率密度为l3x2,0cxv2,f(x)二 80, 其他.(1)已知事件A,Xa?和B=；Y 9独立，且P AU B二3.

33、求常数a.41(2)求的数学期望X2、(本题满分8分)假设一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数N t服从参数为t的泊松分布(1)求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布；(2)求在设备已经无故障工作8小时的情形下，再无故障运行8小时的概率Q.1992年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.)(1)设商品的需求函数为 Q =100 -5P ,其中Q, P分别表示为需求量和价格,如果商品需求弹性的绝对值大于1,则商品价格的取值范围是级数二0的收敛域为n4、 1交换积分次序 o dyf(x, y)dx =设A为m阶方阵，B为n

34、阶方阵，且A=a, B|=b,C =将C,C,E,E,I,N,S等七个字母随机地排成一行，那么，恰好排成英文单词SCIENCE勺概率为二、选择题(本题共5小题，每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中 项前的字母填在题后的括号内.),只有一项是符合题目要求的,把所选(1)设 F(x)x2xf (t)dt,其中f(x)为连续函数，则lim F(x)等于x-a ax r(A) a2(B)a2f (a)不存在(C) 0当Xr 0时，下面四个无穷小量中，哪一个是比其他三个更高阶的无穷小量(D)(A) x2(B)1 COSX(C)'.1-x2-1(D)x -ta nx设A为m n矩阵，齐

35、次线性方程组(A) A的列向量线性无关(C) A的行向量线性无关 设当事件A与B同时发生时，事件C必发生，则Ax =0仅有零解的充分条件是(B)(D)A的列向量线性相关A的行向量线性相关()(A) P(C)乞 P(A) P(B) -1(B)P(C) _ P(A) P(B) -1(C) P(C)=P(AB)(D)p(c)= p(aUb)设n个随机变量X11X2|,Xn独立同分布2 1 n,D(X1)*,XXi,n yS2* -X)2,则n T i #(A)S是二的无偏估计量(B)S是二的最大似然估计量(C) S是二的相合估计量(即一致估计量)(D)S与X相互独立三、（本题满分5分）In cos(

36、x1) j设函数 f (x)二 1 -sin x21，x =1,问函数f （x）在x = 1处是否连续？若不连续，修改函数在X二1处的定义使X = 1.之连续四、（本题满分5分）计算I昨叫.五、（本题满分5分）_2设Z二Si n（xy） （X,x）,求'Z,其中（u,v）有二阶偏导数ydx说六、（本题满分5分）求连续函数f(x),使它满足七、（本题满分6分）求证：当x_1时，arcta n x -八、（本题满分9分）设曲线方程y =e(x _0).X2f(x)+2 0 f (t)dt =x1 2x 二 arccos 2 = 2 1 x 4（1）把曲线y二e： x轴，y轴和直线x= C0

37、）所围成平面图形绕x轴旋转一周，得一旋转体，求此旋转体体积V();求满足V(a) < lim V()的a.（2）在此曲线上找一点，使过该点的切线与两个坐标轴所夹平面图形的面积最大，并求出该面积（3）九、（本题满分7分）设矩阵A与B相似,其中-_-2 0 0-1 0 01A =2x2,B =0 2 0311 一L0 0 yj（1）求x和y的值.求可逆矩阵P,使得PAP = B.十、（本题满分6分）已知三阶矩阵 B = 0,且B的每一个列向量都是以下方程组的解Xi2x2 -2x3 = 0,2xi _ X2 ：. ；.X3 = 0,3xiX2 -X3 = 0.（1）求九的值；（2） 证明B =

38、0.、（本题满分6分）（A 0）设A B分别为m n阶正定矩阵，试判定分块矩阵 C=是否是正定矩阵<0 B丿十二、（本题满分7分）假设测量的随机误差 xLn（0,102）,试求100次独立重复测量中，至少有三次测量误差的绝对值大于19.6的概率：，并利用泊松分布求出:的近似值（要求小数点后取两位有效数字）.附表1234567e入0.3680.135 0.0500.0180.007 0.002 0.001十三、（本题满分5分）一台设备由三大部分构成，在设备运转中各部件需要调整的概率相应为0.10,0.20和0.30.假设各部件的状态相互独立，以X表示同时需要调整的部件数 ，试求X的数学期望

39、EX和方差DX .十四、（本题满分4分）设二维随机变量（X,Y）的概率密度为0 x y, f（x，八0,其他，（1）求随机变量X的密度fX（x）; （2） 求概率PX 丫汨.1991年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题、填空题（本题满分15分,每小题3分.把答案填在题中横线上.）(1)si nxy设 z = e ,贝U dz 二设曲线f x = x a与g x = bx2 c都通过点:-1,0 ,且在点-1,0有公共切线，则a二设 f (x )=xex,则 f C x)在点处取极小值设A和B为可逆矩阵，X =(0为分块矩阵，则X二二设随机变量X的分布函数为F(x)二 PX mx二0,X &#

40、163; 1,一1 兰 X < 1,|0.8,1 兰x c3,I1,xK3.则X的概率分布为二、选择题（本题满分15分,每小题 题后的括号内.）（1）3分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在F列各式中正确的是(A) lim 1 - T十Ixx1(B)lim 1 -xX )0 -(C) lim 1 -1x二-e(D)lim 1x =：-x-x1设0乞an （n =1,2,川）则下列级数中肯定收敛的是nQO(A)、ann注(B)QOO0' (-1)nan (C)二.- an经(D)、(T)na：n A设A为n阶可逆矩阵，是A的一个特征根,则A的伴随矩阵

41、A 的特征根之一是（）(A)A (B)4a(C)(D)An设A和B是任意两个概率不为零的不相容事件,则下列结论中肯定正确的是（）（A） A与B不相容(B)A与B相容(C) P AB =P APB(D)P A-Bi=P A对于任意两个随机变量 X和Y,若E（XYH E（X） E（Y）,则(A) D(XY) =D(X) D(Y)(B)D(X Y) =D(X) D(Y)（C） X和Y独立(D)X和Y不独立三、（本题满分5分）求极限limXx 2xe ee,其中n是给定的自然数.四、（本题满分5分）计算二重积分I = ydxdy,其中D是由x轴，y轴与曲线Dx .y -1所围成的区域，a O,b O.

42、五、（本题满分求微分方程5分)dyxydx-x2y2满足条件yx=g =2e的特解.六、（本题满分假设曲线Li: y =1-x2 Ox乞1、x轴和y轴所围区域被曲线2L2: y= ax分为面积相等的两部分,其中a是大于零的常数，试确定a的值.七、（本题满分8分）某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售,售价分别为p,和P2 ;销售量分别为 qi和q2;需求函数分别为q1 = 24 - 0.2 5 和 q2 = 10 - 0.05 p2，总成本函数为 C = 35 40 q q2 试问：厂家如何确定两个市场的售价，能使其获得的总利润最大？最大利润为多少?八、（本题满分6分）1试证明函数f（x）二（

43、1）x在区间（0,=）内单调增加.x九、（本题满分7分）设有三维列向量问取何值时，（1）:可由123线性表示，且表达式唯一 ？（2）:可由123线性表示，且表达式不唯一 ？（3）:不能由线性表示?2 2 2考虑二次型f =为-4x2 - 4x3 2 - XjX2 _2X|X3 4x2x3 .问取何值时，f为正定二次型.卜一、（本题满分6分）试证明n维列向量组1,2,11（,n线性无关的充分必要条件是T1T芒2T:-1 ：-2TJ.2J.2IIIIIIT宀：nT>2 ： n-0,T-1Tn - 2III其中表示列向量_：丁的转置,i =1,2川1, n.十二、（本题满分5分）一汽车沿一街道

44、行驶，需要通过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立,且红绿两种信号显示的时间相等 ，以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数.求X的概率分布十三、（本题满分6分）假设随机变量 X和Y在圆域X2 y2 _ r2上服从联合均匀分布（1）求X和Y的相关系数 ;（2）问X和Y是否独立？十四、（本题满分5分）设总体X的概率密度为p(x;')=axax0,x 0,xZ,其中0是未知参数,a 0是已知常数.试根据来自总体 X的简单随机样本X1,X2l（,Xn,求'的最大似然估计量 ?.1990年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题满

45、分15分,每小题3分.把答案填在题中横线上.)(1) 极限 lim( Jn +3亦 _ Jn 府)= 设函数f(x)有连续的导函数，f (0) =0, f (0) =b,若函数f(x) asin xF(x)二xA,在x =0处连续，则常数A= 曲线y=x2与直线y=x+2所围成的平面图形的面积为 xi + x2 = 3,x2 + 尢=a2(4) 若线性方程组'有解,则常数31,32,33,34应满足条件 .X3 +% =-比，N +x, =34(5) 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为 80 ,则该射手的命中率为 81二、选择题(本题满分15分，每小题3分.每小

46、题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在 题后的括号内.)(1)设函数 f(x)二 x tanx esinx,则 f (x)是()(A)偶函数 (B)无界函数(C)周期函数(D)单调函数 设函数f (x)对任意x均满足等式f(1 x) =af(x),且有f (0) =b,其中a,b为非零常数，则()(A) f (x)在x =1处不可导(B)f (x)在x=1处可导，且f(1) = a(C) f (x)在 x =1 处可导，且 f(1) = b (D)f (x )在 x=1 处可导，且 f(1) = ab 向量组1,2l(,s线性无关的充分条件是()(A) ：'1,

47、2,川，s均不为零向量(B) -1, - 2, HL ： s中任意两个向量的分量不成比例(C) ：仆：匕,川，亠中任意一个向量均不能由其余S-1个向量线性表示(D) ：'1, ： 2, HL ： s中有一部分向量线性无关(4)设代B为两随机事件，且B A,则下列式子正确的是()(B)P AB 二 P A(C) P(BA)=P(B)(D)(5)设随机变量 X和Y相互独立，其概率分布为P BAi=P(B) P Am-1 1PX =m1 12 2m-11PY = m1122则下列式子正确的是 ()1(A) X 二丫 (B) PX 二丫1=0 (C) pfx =Y(D) pCx=Y?-12三、

48、计算题(本题满分20分,每小题5分.)x Int2(1)求函数I (x)2dt在区间e,e2上的最大值.e t2 -2t +1y222 计算二重积分xe dxdy,其中D是曲线y = 4x和y = 9x在第一象限所围成的区域.D(3) 求级数一比23L的收敛域.n £ n 求微分方程y ： ycos x = (ln x)e "sinx的通解.四、(本题满分9分)某公司可通过电台及报纸两种形式做销售某种商品的广告，根据统计资料,销售收入R(万元)与电台广告费用治(万元)及报纸广告费用X2(万元)之间的关系有如下经验公式 ：R =15 14x132x2 -8皿2 -2x2 -1

49、0x；.(1) 在广告费用不限的情况下，求最优广告策略；(2) 若提供的广告费用为1.5万元,求相应的最优广告策略.五、(本题满分6分)设f (x)在闭区间0, c上连续，其导数f (x)在开区间(0, c)内存在且单调减少；f (0H 0,试应用拉格朗日中值定理证明不等式：f (a F)乞f (a) f(b),其中常数a、b满足条件Oa乞babc.六、(本题满分8分) 已知线性方程组为 X2 x3 x4 x5 =a,3x1 2x2 x3 怡3x5 二 0, x? 2x3 2x4 6x5 二 b,5x1 4x2 3x3 3x4x5 二 2,(1) a b为何值时，方程组有解？(2) 方程组有解时，求出方程组的导出组的一个基础解系;(3) 方程组有解时，求出方程组的全部解.已知对于n阶方阵A,存在自然数k,使得Ak=0,试证明矩阵E_A可逆,并写出其逆矩阵的表达式（E为n阶单位阵）.八、（本题满分6分）设A是n阶矩阵，和匕是A的两个不同的特征值,Xi,X2是分别属于'1和、2的特征向量试证明Xi X2不是A的特征向量九、（本题满分4分）从0,1,2, |,9十个数字中任意选出三个不同数字，试求下列事件的概率:A =三个数字中不含 0和5 ； A2 =三个数字中不含0或5.十、（本题满分5分） 一电子仪器由两个部件构成为：（1）问X和Y是否独立