空间向量与立体几何复习2

1、空间向量与立体几何（复习二）【学情分析】：学生能用向量计算空间角、空间距离。但有时建立的坐标系并非直角。由于法向量的方向有两个，导 致计算的角的大小与实际情况不一致，不善于取舍、修正。【教学目标】：（1）知识目标：运用空间向量计算空间角及空间距离计算。适当运用传统方法。（2）过程与方法目标：总结归纳，讲练结合，以练为主。（3）情感与能力目标：提高学生的计算能力和空间想象能力。【教学重点】：。计算空间角。【教学难点】：计算空间角，角的取舍。【课前准备】：投影【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图1。两条异面直线所成的角， 转化为分别与这两条异面直线共线的两个向量的夹角（或补角）。（要特别关注

2、两个向量的方向）2。直线与平面所成的角，先求/直线与平面的法向量的夹角（取锐角）再求余角。M /3。二面角的求法：一、复习方法一：转化为分别是在二面角的这里只用向量解题，两个半平面内且与棱都垂直的两条直线A'没包括传统的解法。上的两个向量的夹角B *D（注意：要特别关注两个向量的方向）如图：二面角 a-l- B的大小为0,A , B l, ACU a, BDU 3 , Ad l, BD 丄 1则 0 =< AC , BD >=< CA , DB方法二：转化为求二面角的两个半平面的法向量夹角（或补角）。4。点P到平面a的距离：F> r /d先在 a内仕选一点 Q,

3、求出 PQ与平面的夹角 0/q厶7则u a = pq sin 口例2.如图，三棱锥 PABC 中，PB丄底面 ABC于B ,ZBCA=90 ° , PB=BC=CA= 42，点 E,点F分别是PC,二、实例AP的中点.(1) 求证：侧面PAC丄侧面PBC;(2) 求异面直线 AE与BF所成的角；(3) 求二面角 A BE F的平面角.解：(1)v PB丄平面 ABC ,平面 PBC丄平面 ABC , 又 AC丄BC , AC丄平面 PBC 侧面 PAC丄侧面PBC.(2)以BP所在直线为z轴，CB所在直线y轴， 建立空间直角坐标系，由条件可设此处可引导特色班的 学生尝试传统的方法 来

4、解题。p(o,o,4.2),b(o,o,o),C(0,4 20),A(4、2,-4.2,0) 则E(0,-2.2,2 2),F(22-2 2,2 2)AE =(-4 2,2 2,2 2),BF =(22-2、2,2：2),.AE BF 二-16,| AE| | BF |=24_2,cos：AE,BF 二.AE与BF所成的角的余弦值是(3)平面EFB的法向量a =(0,1,1),.6平面ABE的法向量为b= (1，1, 1) c 3二面角A - BE - F的平面角的余弦值为zA.63例3如图,正方体ABCABCD的棱长为1, E、FN分别是BCBC的中点D1、MA1B1、C1D、A1/AN11

5、11 C1厂!l 1i£B1B F(I )用向量方法求直线 EF与MN的夹角；(II )求直线MN与平面ENF所成角的余弦值；(III )求二面角N-EF M的平面角的余弦值解：建立如图所示的空间直角坐标系A xyz ,1 111则有 E( ，0, 1 ,), F ( 1, 一，0), M(-, 1, 1), N( 1, ，2 22211) .(1 )T EF=(,212 2 2 EF丄MN即直线EF与MN的夹角为90° .1 1(2)由于"FN= (0 , 0 , 1), MN=( , -_, 0),2 21?2- 1 1 1 EF- MN=( _ , - ,

6、-1 )-( FN- MN=0/ EFn FN=F,(3)二面角三、小结四、作业1 1-1 ), MN=(，-,0),2 2111,0)=_ - _+0=0.244 FN丄 MN. MNL平面ENF.所成角的余弦为零。M-EF N的平面角的余弦值为 工105(见一)1.在直三棱柱 ABC A1BQ1 中,CA=CB=CC 1=2 , / ACB=90 ° ,BA、BC的中点，G是AA 1上一点，且 AC1E、F分别是 丄EG.(I)确定点 (n)求直线G的位置；ACi与平面EFG所成角0的大小.解：(I)以C为原点，分别以CB、 y轴、z轴建立空间直角坐标系，则 F ( 1, 0,

7、0),E (1 , 1, 0),A ( 0 , 2 , 0),C1 (0, 0, 2),AG =(0,-2,2)设 G (0, 2, h),则EG =(1,1,h). AG _ EG,CA、CC1 为 x 轴、EG ACi =0.B 1X 0+1 X (- 2) +2h=0. h=1,即 G 是 AA 1 的中点.(n)设m =(x,y,z)是平面EFG的法向量,则 m _ FE,m _ EG.所以丿平面EFG的一个法向量 m = (1, 0, 1)sinMd 2 丄,|m | | AC1 | 2 2 - 22“ %:,即AC1与平面efg所成角'为62 在三棱柱 ABC A1B1C1

8、中，四边形 A1ABB1是菱形，四边 形BCC1B1是矩形，AB丄BC ,CB=3 , AB=4，/ A1AB=60 ° .（I）求证：平面 CA1B丄平面A1ABB 1；（n）求直线 A1C与平面BCC1B1所成角的余弦值； （川）求点C1到平面AQB的距离.答案：（I）先证 BC丄平面A1ABB1,平面CA1B丄平面AA1BB1,（n）亟.5（川）C1到平面A1BC的距离为2J5.教学与测试（基础题）1.空间四边形 OABC 中，OB=OC , AOB =/AOC ,3 则cos < OA,BC >的值是（）D. 0答:cos ： OA, BC =oABcociOAO

9、Ccos£；OAOBOA BC兀cos 3=02. 2若向量a =2i j +k,b =4i +9j +k,，则这两个向量的位置关系是 答：垂直- 1,1）二（4,9,1）盂心 a_b。3如图所示的多面体是由底面为 ABCD的长方体被截面 AEGF所截面而得到的，其中AB =4,BC =2,CG =3,BE -1.(I)求BF的长；(n)求点C到平面A E C F勺距离.A(2,0,0), C(0, 4,0), E(2,4,1)Q(0,4,3)设 F(0,0, z).AEC,F为平行四边形，.由AECiF为平行四边形，由 AF 二 ECi 得 ,(2,0,z)= (一 2,0,2),

10、.z=2. F (0,0,2). EF =(-2, V,2).于是| BF |=2 6，即BF的长为2. 6.(II )设ni为平面AEC1F的法向量，由忙AE=o,得»，AF = 0,显然ni不垂直于平面ADF,故可设ni =(x, y,1) "0xx+4x y +1 =0即'4y 十1 =0,2x +2 = 0,T,_2xx+0xy+2 =0又CC1 =(0,0,3),设CC1与n1的夹角为，贝UCC1 n1333cos -：icgi mi 311334.3311 C到平面AEC1F的距离为d =| CC1 | cos ： _ 3 4 33334如图，在长方体

11、ABCD -A1B1GD1，中，AD二AA1 = 1,AB = 2，点E在棱AD上移动.(1)证明:D1E _ AD ；(2) 当E为AB的中点时，求点 E到面ACD1的距离；n(3) AE等于何值时，二面角 D1 -EC -D的大小为一.4Ai(1,0,1),Di(0,0,1), E(1,x,0), A(1,0,0),C(0,2,0)(1)因为 DA1,Di(1,0,1),(1,x,-1) =0,所以 DAi _ DiE.(2)因为 E为 AB 的中点，贝U E(1,1,0)，从而 =(1,1,-1),AC =(-1,2,0)，n AC=0,AD1 =(1,0,1)，设平面ACD1的法向量为

12、n= (a,b,c)，则丿n AD1 = 0,'a+2b = 0 a =2b也即丿，得丿，从而n = (2,1,2)，所以点E到平面ACD1的距离为a+c=0 a=c|n|2 1 -2 13- 3(3)设平面D1EC的法向量n= (a,b,c),CE =(1,x-2,0), DQ =(0,2,-1),DD1 =(0,0,1),令 b=1,. c =2a =2-xn DC = 0,2b c = 0n cE =0,g+Mx2) =0. n =(2_x,1,2).3T依题意cos二4|n DD1 |. 2 -2、2|n | IDD1I2.(x-2)2 52 x_! = 2.3(不合，舍去)，

13、X2 = 2 - 3 . AE =2 -时，二面角D - EC - D的大小为一.4仲等题)5如图，在三棱柱ABC -AB。中，AB 侧面BB1C1C , E为棱CC1上异于C,G的一点，EA E0 ,LJI已知 AB = .2, BB1 =2, BC =1, BCC1，求:3(I)异面直线 AB与EB1的距离；(n)二面角 A - EB1 - A的平面角的正切值解：(I)以B为原点，BB,、BA分别为y,z轴建立空间直角坐标系由于，AB 二 2, BB =2,BC =1, BCC1 =3在三棱柱ABC -ABC!中有B(0,0,0), A(0,0,、2), Bi (0,2,0) ,C(f，冷

14、，°)，° 佇冷，。)设 E(,a,0),由 EA _ EBi,得 EA EB 0,即2L 5/30=(，-a,、.2) (,2-a,0)2 23 23a(a -2) = a2 -2a ,4 4得(a 一(a 一 I)= 0,即a = 2或a二| (舍去)，故E(今 冷,0)BE EB“ =(虫,-,0)1 0 - - =0,即BE _ EB1.2 22244又AB _侧面BB-C-C，故AB _ BE .因此BE是异面直线 AB,EB-的公垂线,故异面直线AB, EB1的距离为1.(II )由已知有EA_ EB-, B-A _ EB,故二面角A-EB-A的平面角二的大小为

15、向量 B-A-与EA的夹角.I 1因B-A 二 BA =(0,0, 一2), EA =(,，一 2),2 2故 cos-EA -B1A11EA11 丽 I、2. I6如图，在四棱锥 P-ABCD中，底面 ABCD为矩形，PD _底面ABCD , E是AB上一点，PF EC.已知 PD 二 2,CD = 2, AE =丄,2求(I)异面直线 PD与EC的距离；(n)二面角E - P C-啲大小.解：(I)以D为原点，DA、DC、DP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.由已知可得 D(0,0,0), P(0,0, ,2),C(0,2,0)设 A(x,0,0)(x0),则 B(x,2,0),1 1_"3E(x, ,0),PE =(x, ,-. 2),CE =(x,0).由 PE CE 得 PE CE = 0,2 2 2即 X3 =0,故x3.由 DE CE =(丄,0) (辽 _3,o)=o得DE _ CE ,4 22222又PD _ DE，故DE是异面直线PD与CE的公垂线，易得| DE |= 1，故异面直线PD , CE的距离为1.