空间中直线与直线之间地位置关系

1、空间中直线与直线之间的位置关系学习目标1会判断空间两直线的位置关系 2理解两异面直线的定义，会求两异面直线所 成的角3能用公理4解决一些简单的相关问题.-钮识梳理自主学习知识点一空间中两条直线的位置关系1异面直线(1) 定义：不同在任何一个平面的两条直线叫做异面直线.要点分析：异面直线的定义表明：异面直线不具备确定平面的条件异面直线既不相交,也不平行不能误认为分别在不同平面的两条直线为异面直线a? a, b? 3,即a, b分别在两个不同的平面，但是因为以a与b不是异面直线(2) 画法：画异面直线时，为了充分显示出它们既不平行也不相交，即不共面的特点，常常需要画一个或两个辅助平面作为衬托，以加

2、强直观性、立体感如图所示，a与b为异面直线(3)判断方法方法容定义法依据疋义判断两直线不可能在冋一平面定理法过平面外一点与平面一点的直线和平面不经过该点的直线为异面直线(此结论可作为定理使用)反证法假设这两条直线不是异面直线，那么它们是共面直线(即假设两条直线相交或平行)，结合原题中的条件，经正确地推理，得出矛盾，从而判定假设“两条直线不是异面直线”是错误的，进而得出结论：这两条直线是异面直线2空间中两条直线位置关系的分类(1)按两条直线是否共面分类相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点 共面直线共面直线 平行直线：同一平面内，没有公共点异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点(2)按两条

3、直线是否有公共点分类有且仅有个公共点相交直线平行直线无公共点异面直线思考(1)分别在两个平面的两条直线一定是异面直线吗?(2)两条垂直的直线必相交吗？答(1)不一定可能相交、平行或异面不一定可能相交垂直，也可能异面垂直知识点二公理4(平行公理)文字语言平行于冋一条直线的两条直线互相平行，这一性质叫做空间平行线的传递性符号语言a / cb / c?a bL :/图形语言知识点三空间等角定理1定理文字语言空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补符号语言OA/ O' A' ,0B/ O' B ? / A0B=/ A' O' B'或/A

4、OB+/ A' O' B=180 °图形语言/ y 4 A'丄ZL作用判断或证明两个角相等或互补(或直角)相等2推广如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角思考如果两条直线和第三条直线成等角，那么这两条直线平行吗？答不一定这两条直线可能相交、平行或异面知识点四异面直线所成的角1. 概念：已知两条异面直线a, b,经过空间任一点 0作直线a'/ a, b'/ b，我们把a' 与b'所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）.2. 异面直线所成的角B的取值围：0°v縫90°

5、.3. 如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂 _ .两条互相垂直的异面直线a, b，记作a丄b.4. 异面直线所成的角的两种求法（1）在空间任取一点 O,过点O分别作a'/ a, b'/ b，贝U a '与b'所成的锐角（或直角） 为异面直线a与b所成的角，然后通过解三角形等方法求角（2）在其中一条直线上任取一点 （如在b上任取一点）0,过点O作另一条直线的平行线（如过 点O作a ' / a）,则两条直线相交所成的锐角（或直角）为异面直线所成的角（如b与a'所成的角），然后通过解三角形等方法求角（如图）.韦点突破三题型探究题型

6、一空间两条直线的位置关系的判定例1若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则 a和c的位置关系是（）A.平行 B.异面 C.相交 D.平行、相交或异面答案 D解析可借助长方体来判断.如图，在长方体 ABCA A ' B' C ' D'中，A ' D'所在直线为a, AB所在直线为b,已知 a和b是异面直线，b和c是异面直线，则c可以是长方体 ABCD- A ' B ' C ' D'中的B ' C ', CC' , DD '.故a和c可以平行、相交或异面.跟踪训练1 如图所示，在体 AB

7、CD AiBiCiDi中，判断下列直线的位置关系：(1) 直线AiB与直线DiC的位置关系是 (2) 直线AiB与直线BiC的位置关系是 (3) 直线DiD与直线DiC的位置关系是 直线AB与直线BC的位置关系是 .6GAR答案平行 (2)异面 (2)相交 (4)异面解析序号结论理由(1)平行因为AiDi綊BC,所以四边形 AiBCDi为平行四边形，所以 AiB/ DiC(2)异面AiB与BiC不同在任何一个平面(3)相交DiD A DiC= Di(4)异面AB与BiC不同在任何一个平面题型二公理4、等角定理的应用 例2 E F分别是长方体 ABCD AiBiCiDi的棱 AA, CQ的中点，

8、求证：四边形 BiEDF是平行四边形证明设Q是DDi的中点,连接 EQ, QCi.因为E是AAi的中点，所以 EQAQi.又因为在矩形 AiBCDi中，AD1/B1C1,所以 EQ/ BiCi.所以四边形EQOBi为平行四边形 所以B1E/C1Q.又因为Q, F分别是矩形 DDiCiC两边DiD, CiC的中点,所以 QD/C1F .所以四边形DQCiF为平行四边形.所以 C1Q/ FD .又因为 B1E/C1Q，所以 BiE/FD.所以四边形BiEDF为平行四边形.ABCD 的边 AB,跟踪训练2如图，已知E, F, G, H分别是空间四边形BC, CD，DA的中点.(1)求证：E, F,

9、G，H四点共面；若四边形EFGH是矩形，求证：AC丄BD.证明 (1)在厶ABD中， E, H分别是AB, AD的中点, EH/ BD.同理 FG/ BD,贝U EH / FG故E, F, G, H四点共面(2)由(1)知 EH / BD,同理 AC / GH.又四边形EFGH是矩形， EH丄 GH.故 AC丄BD.题型三 异面直线所成的角例3 如图所示，在空间四边形 ABCD中，AB= CD, AB丄CD, E, 分别为BC, AD的中点，求EF和AB所成的角.解如图，取BD的中点G,连接EG, FG.因为E, F分别为BC, AD的中点，AB= CD,所以 EG/ CD, GF/ AB,且

10、 EG= 2CD, GF= 2AB.所以/ GFE就是EF与AB所成的角或其补角，EG= GF.因为AB丄CD,所以EG丄GF所以/ EGF= 90 ° 所以 EFG为等腰直角三角形.所以/ GFE= 45°即EF与AB所成的角为45°跟踪训练3空间四边形 ABCD中，AB= CD且AB与CD所成的角为30 ° E, F分别为BC,AD的中点，求EF与AB所成角的大小.解 取AC的中点G,连接EG FG,1 1则 EG/ gAB, GF/ qCD.故直线GE EF所成的锐角即为AB与EF所成的角， 直线GE, GF所成的锐角即为 AB与CD所成的角./

11、AB 与 CD所成的角为 30 ° / EGF= 30。或 150°由AB= CD, 知 EG= FG, EFG为等腰三角形当/ EGF= 30。时，/ GEF= 75 °当/EGF= 150。时，/ GEF= 15 °故EF与AB所成的角为15°或75 °数学思根转化与化归思想例5 在空间四边形 ABCD中，AD = BC= 2a, E, F分别是AB, CD的中点，EF= ,：3a,求 异面直线AD, BC所成的角分析 要求异面直线 AD, BC所成的角，可在空间中找一些特殊点， 将AD, BC平移至一个 三角形中此题已知E, F

12、分别为AB, CD的中点，故可寻找一边中点，女口 BD的中点M，则 / EMF（或其补角）为所求角c解 如图，取BD的中点M.由题意，知 EM BAD的中位线,1所以 EM/ AD 且 EM= 2AD.1同理，MF/ BC且 MF= 2BC.所以EM= a, MF= a,且/EM”或其补角）为所求角在等腰 MEF中，取EF的中点N,连接MN，贝U MN丄EF又因为EF= .'3a,所以 EN=-a.EN J3故有 sin/ EMN= EM.所以 / EMN= 60° 所以/ EMF= 2/ EMN= 120 °因为 / EMF= 120 °>90 &

13、#176;所以AD, BC所成的角为/ EMF的补角，即AD和BC所成的角为60 °AE与PB是异面直线例6如图，三棱锥 P ABC中，E是PC上异于点P的点求证:开始入手，一个平面一个反证法即是一种行之有效分析 利用定义直接证明，即从不同在任何一个平面中的“任何平面地寻找是不可能实现的，因此必须找到一个间接证法来证明，的方法证明 假设AE与PB不是异面直线，设AE与PB都在平面a,因为Pa, Ea,所以PE? a又因为C PE,所以C a所以点P, A, B, C都在平面a.这与P, A, B, C不共面（P ABC是三棱锥）矛盾. 于是假设不成立，所以 AE与PB是异面直线.自杳

14、自纠三当堂检测1若空间两条直线 a和b没有公共点，则a与b的位置关系是（）A共面B平行C.异面D.平行或异面2条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是（）A.平行或异面B.相交或异面C.异面D.相交3设P是直线I外一定点，过点 P且与I成30°角的异面直线（）A.有无数条B.有两条 C.至多有两条D.有一条4如图所示，G, H, M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH, MN是异面直线的图形有填序号）AE与AiBi所成角的余弦值为5在体 ABCD- AiBiCiDi中，E为CiDi的中点，则异面直线课时精练一、选择题i分别和两条异面直线平行的两条直

15、线的位置关系是（）A.一定平行B.定相交C. 一定异面D.相交或异面2已知空间两个角a3,a与B的两边对应平行，且a=60°,贝yB等于（）A.60 °B.i20°C.30°D.60。或 i20°3在体ABCD- AiBiCiDi中，异面直线 BAi与CCi所成的角为（）A.30 °B.45°C.60°D.90 °4下面四种说法：若直线 a、b异面，b、c异面，则 a、c异面； 若直线a、b相交，b、c相交，则a、c相交； 若aII b,则a、b与c所成的角相等； 若a丄b, b丄c,贝U a I c.其

16、中正确的个数是（）A.4B.3C.2D.15.空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连接这个四边形各边中点，所组成的四边形是（ ）A.梯形B.矩形C.平行四边形D.形6.若空间四边形 ABCD的两条对角线AC, BD的长分别是8,12，则过AB的中点E且平行于BD, AC的截面四边形的周长为（）A.10B.20C.8D.4AiBiCi是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述7.如图，三棱柱ABCAiBiCi中，底面三角形 正确的是（）A. CCi与BE是异面直线B. CiC与AE共面CAE与BiCi是异面直线D.AE与Bi Ci所成的角为60°、填空题8. 在四棱锥P ABCD中，各棱

17、所在的直线互相异面的有 .9. 一个体纸盒展开后如图所示，在原体纸盒中有如下结论：AB丄EF;AB与CM所成的角为60 °EF与MN是异面直线； MN I CD.以上结论中正确的序号为10.如图所示，在体 ABCD- AiBiCiDi中，异面直线 AB与ADi所成的角为 H三、解答题11.如图所示，等腰直角三角形 ABC中，/ BAC= 90 ° BC=、/2, DA丄AC, DA丄AB,若DA=1，且E为DA的中点，求异面直线 BE与CD所成角的余弦值.12.如图，E, F, G, H分别是空间四边形 ABCD各边上的点，且有 AE ： EB= AH : HD = m,C

18、F： FB= CG： GD= n.(1) 证明：E, F, G, H四点共面；(2) m, n满足什么条件时，四边形 EFGH是平行四边形?在(2)的条件下，若 AC丄BD,试证明：EG FH.ABF当堂检测答案1答案 D解析 若直线a和b共面，则由题意可知 a II b ;若a和b不共面，则由题意可知 a与b是 异面直线.2答案 B解析 如图，在体 ABCD-A1B1C1D1中，AAi与BC是异面直线，又 AAi II BB, AAi I DDi,显 然BBQ BC= B, DD1与BC是异面直线，故选 B.3答案 A解析 我们现在研究的平台是锥空间 如图所示，过点P作直线I'/ l

19、,以I'为轴，与I'成 30°角的圆锥面的所有母线都与 I成30°角 .4答案解析 中， G, M 是中点， AG 綊 BM, GM 綊 AB 綊 HN , / GH / MN，即 G, H,M, N四点共面；中，/ H, G, N三点共面，且都在平面 HGN,而点M显然不在平面 HGN, H, G, M, N四点不共面，即 GH与MN异面；中，/ G, M是中点， GM綊1 12CD, - GM綊jHN，即GMNH是梯形，则 HG, MN必相交， H, G, M , N四点共面；中，同，G, H, M , N四点不共面，即 GH与MN异面5答案13解析设棱

20、长为1,因为AiBi / CiDi,所以/ AED就是异面直线 AE与AiB所成的角在 AED 中，DiE1 - 3=1-2 - 3 - 2cos / AED= EAH一、选择题i答案 D解析可能相交也可能异面，但一定不平行（否则与条件矛盾）2答案 D解析 由等角定理，知 B与a相等或互补，故 3= 60°或i20 °3答案 B解析 如图，在体 ABCD-AiBiCiDi中，BB / CO,故/ BBA就是异面直线BAi与CCi所成的角，故为45 °4答案 D解析 若a、b异面，b、c异面，则a、c相交、平行、异面均有可能，故 不对.若a、b 相交，b、c相交，则

21、a、c相交、平行、异面均有可能，故 不对若a丄b, b丄c,则a、c 平行、相交、异面均有可能，故 不对正确5答案 D解析 如图，因为BD丄AC,且BD= AC,又因为E, F, G, H分别为对应边的中点，所以1 1FG/EH2BD, HG/EF2AC.所以 FG丄 HG,且 FG= hg.所以四边形 EFGH为形6答案 B解析 设截面四边形为 EFGH E, F, G, H分别是 AB, BC, CD, DA的中点，二EF= GH1 1=，AC= 4, FG= HE= §BD= 6,二周长为 2 X (4 + 6) = 20.7答案 C解析 由于CO与BE都在平面C1B1BC,故

22、CQ与B1E是共面的，所以 A错误；由于CQ在 平面 CB1BC,而AE与平面 OBBC相交于E点，点E不在 CC上，故OC与AE是异面直线， B错误；同理 AE与BC1是异面直线，C正确；而AE与BC所成的角就是 AE与BC所成的 角，E为BC中点， ABC为正三角形，所以 AE丄BC, D错误综上所述，故选 C.二、填空题8答案 8解析 以底边所在直线为准进行考察，因为四边形ABCD是平面图形，4条边在同一平面，不可能组成异面直线，而每一边所在直线能与2条侧棱组成2对异面直线，所以共有 4 X 2=8(对)异面直线9答案解析 把体的平面展开图还原成原来的体，如图所示，AB丄EF, EF与MN是异面直线，AB/ CM , MN丄CD,只有正确10.答案 60 °解析 连接BC,