梯形典型例题

1、典型例题例1:已知梯形ABCD勺面积是32,两底与高的和为16,如果其中一条对角线与两底垂 直，则另一条对角线长为:思路分析此题是几何中的计算问题：通过作对角线的平行线，可以将对角线与高，上底与下底和 集中到同一个直角三角形中，这样就可以利用勾股定理求出对角线的长：解：如图 4-50，梯形 ABCD中, AD/ BC BDL BC 设 AD=x BC=y DB=z 由题得：x+y+z=16.兀BCD熟记梯形面积公式解得 x+y=8，z=8,过D作DE/ AC交BC的延长线于E：四边形ADE（是平行四边形，注意这种辅助线的作法很常用 DE=AC AD=CE将“上底+下底”转化到一条线段上在 Rt

2、 DBE中, Z DBE=90 , BE=BC+CE=x+y=8BD=8根据勾股定理得 一小十 _',vAC=DE二陋=2忑:点评：此题主要考查用“方程思想”解决几何中的计算问题：解题过程中作“对角线的 平行线”，将对角线与高，上底与下底和集中到同一个直角三角形中，这样就可以通过解直 角三角形计算出对角线长，表达了添加辅助线的目的是把“分散的条件得以集中，隐含条件 加以显现”的作用：解梯形有关问题时，我们也常通过“作平行线将之转化为平行四边形的 问题来解决”：例 2:女口图 4-51，已知 AB=BC AB/ CD / D=90 , ALL BC 求证：CD=CE在厶 CFBP AEB

3、中,这是直角梯形中常见的辅助线思路分析这是一个直角梯形，通过作 CFLAB可以将梯形分成矩形和三角形，结合直角梯形的性质，利用两次全等，到达证明CD=CE勺目的.证明：如图4-52，连结AC，过C作CFL AB于F.AB 二 BC构造三角形证明三角形全等 CFBA AEB AAS CF=AEvZ D=90，CFL AB且 AB/ CD AD=CF AD=AE在 Rt ADC和 Rt AEC中,AD AEAC = AC Rt AD3 Rt AEC HL CD=CE点评：此题主要考查直角梯形、三角形全等的综合运用在直角梯形中，通过作梯形一 底的垂线，将梯形分成特殊的四边形矩形和三角形将题中已知条件

4、AB=BC中的两条线段AB和BC分别放到两个三角形中，结合直角梯形的性质，禾I用两次全等，至U达证明CD=CE的目的解决梯形问题时，除可作以上辅助线外，作一腰的平行线、连对角线、作对角线的 平行线也是经常用到的.图 4-53例 3:女口图 4-53，梯形 ABCD中, AB/ DC，AD=BC 延长 AB至 E,使 BE=DC 求证：AC=CE思路分析此题主要考查等腰梯形的性质及证明两条线段相等的基本方法.证法一：四边形ABCD是等腰梯形，/ ADCh BCD等腰梯形同一底上的两个角相等又 AB/ DC，/ BCDM CBE 两直线平行，内错角相等 / ADCh CBE在厶 ADCfy CBE

5、中,血二EC ADC=ZCBEDC 二 BE ADCACBESAS AC=CE证法二：如图4-54，连结BD,DC/ BE DC=BE四边形DCEB是平行四边形，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 DB=CE又四边形ABCD1等腰梯形， AC=BD等腰梯形对角线相等 AC=CE证法三：如图4-55，作CF丄AE于F, DML AE于M在厶 AMDF3 BFC中,ZDAM 二上CEFAI> = BC AMD BFC AAS AM=BF又 AB/ DC，MD/ FC, DC=MF又 DC=BE AM+MF=BF+BE F为AE的中点, CF是AE的垂直平分线， AC=CE证法四：如图4-

6、54，连结BD.DC/ BE, DC=BE四边形DCEB是平行四边形，/ DBA" E,两直线平行，同位角相等又四边形ABCD1等腰梯形， AC=BD在厶 ABCm BAD中,AC = BD* AD =BCAB = 7VB ABCA BADSSS/ CAB" DBA/ CAB" E, AC=CE等角对等边此种方法虽然较繁，但其思路很有价值，即通过证明“三线 合一”说明是等腰三角形点评：证法一证两三角形全等得两线段相等；证法二、四利用角相等证线段相等；证法 三中通过梯形常加的辅助线，作梯形底边上的高，连结梯形的对角线，将梯形分割成两个直 角三角形与一个矩形，连结对角

7、线再作对角线的平行线，将梯形转化为一个平行四边形和一 个三角形.例4:要剪切如图4-56尺寸单位：mrti所示的甲、乙两种直角梯形零件，且使两种零 件的数量相等.有两种面积相等的铝板，第一块长 500mm宽300mm如图4-57 1，第 二块长600mm宽250mm如图4-572，可供选用.IM1为了充分利用材料，应选用第 中铝板，这时一块铝板最多能剪甲、乙两种零件共 ，剪完这些零件后，剩余的边角料面积是 2从图4-57 1、4-572中选出你要的铝板示意图，在上面画出剪切线；并把 边角余料用阴影表示出来.思路分析通过计算，两直角梯形零件面积分别为I 1 - -' - "，而

8、铝板的面积均为，最多能剪出两个甲、两个乙零件，即在两铝板中设计打样设计时，为了充分 利用材料，考虑到1中宽为300mm则一种方案作两个乙高，另一种方案为一个甲的下底, 思路便打开，类似地，2也可以这样分割设计，做出尝试.解：1应选用第一块铝板，最多能剪出甲、乙两种零件共4个，由计算得第一块铝板面积为：一 |：-I汕 r：1 3s = -x (100 + 300)x 200 = 40000(mm 3)而零件甲、乙的面积分别为，罠=1 x (100 + 300) x 150 = 30000Cmm 3)剩余的边角料的面积是1'2如图4-58所示正确画出图形.设计零件个数，从个数、数量上，结合

9、图中数与数之间的关系考虑，往往是应用题的 切入点，此外对图形的拼凑、计算、想象，可有利于思维向纵深发展习题精选选择题1 以下命题中，真命题有（）有两个角相等的梯形是等腰梯形； 有两条边相等的梯形是等腰梯形； 两条 对角线相等的梯形是等腰梯形； 等腰梯形上、下底中点连线，把梯形分成面积相等的两 部分.（A）1 个（B）2 个（C）3 个（D）4 个2.以线段a=16，b=13，c=10，d=6为边作梯形，其中a、c作为梯形的两底，这样的梯 形 （ ）（A）只能作1个（B）能作2个（C）能作无数个（D）不能作(B)AE >(D)AE、BE3 .在直角梯形 ABCD中 AD/ BC, AB丄B

10、C E是CD中点，则（）(A)AE=BEBE（C）AEV BE大小不确定4.等腰梯形的两底长分别为a、b，且对角线互相垂直，它的一条对角线长是（）（A）（B）用（a +b)(C)二(D)a + b5有两个角相等的梯形是（）A.等腰梯形角梯形B.直C一般梯形腰梯形或直角梯形6.已知直角梯形的一腰长为）10cm这条腰与底所成的角为30°,那么另一腰的长为B . 5cmC. 10cmD. 15cm7.如图4-59，梯形ABCD中 AD/ BC AB=CD对角线AC与BD相交于点O,则图中全等 三角形共有（）A. 1对对平移对角线BD即可8.如图 4-60 , AB/ CD, ALL DQ

11、AE=12 BD=15 AC=20 则梯形 ABCD勺面积是()A. 13050B . 140阳 4-6(1D. 160、填空题9 .在梯形 ABC冲，AD/ BC, / B=50，/ C=80 , AD=a BC=b 则/ D=,CD=.10. 直角梯形一底与一腰的夹角为 30°,并且这腰长为6厘米，则另一腰长为.11. 已知梯形 ABCD中 AD/ BC AC< BC ACL BD于 O, AC=8 BD=6 则梯形 ABCD勺面积为.12. 已知梯形上、下底长分别为 & 8, 腰长为7,则另一腰a的范围是 ，假设a为奇数，则此梯形为 梯形.13. 梯形不在同一底上

12、的两组角的比值分别为 3： 6和4 ： 2,贝U四个角的度数分别为14. 等腰梯形中，上底：腰：下底=1: 2: 3,则下底上的内角的度数是 .15. 已知梯形 ABCD中 AD/ BC, AB=DC 假设/ B=30° , AD= 2cm BC= 6cm 那么梯形的周长为.16. 已知梯形的上底长为2,下底长为5, 腰长为4,则另一腰长的取值范围是17. 已知：等腰梯形的两底分别为10cm和20cm 一腰长为 厕沁，则它的对角线长为 cm三、解答题18. 梯形ABCD中 AD/ BC, BDL DC,假设AB=AD=DC梯形ABCD勺周长为10,求梯形 ABCD勺面积.19. 已知

13、梯形ABCC中，AD/ BC, AD< BC,且/B+Z C=9C° , E为AD中点，F是BC中点.求EF = - (BC - AD)证：20. 如图4-61,已知等腰梯形 ABCD AD/ BC, E为梯形内一点且 EA=ED求证：EB=ECB圈 4>6121. 如图4-62 ,四边形ABCD1矩形,四边形 ABDE1等腰梯形,AE/ BD求证： BEDBCD22.如图4-63，梯形ABCD,/ B+Z C=90 , E、F分别为上、下底的中点.求证: EF = |(EC-AD)参考答案:、1. B;2 . D;、9. 100°, b-a ;10 . 3;1

14、1. 24;12 . 5<a<9,等腰梯形;13. 60°, 60°, 120°, 120°cm15 .16. 1<x<7;17. 17;、18.v AD=AB=DC 二 Z 1 = Z 2,AD/ BC 二Z C=Z 2+Z 3,Z 1=Z 3.Z 2=Z 3,a Z C=2Z 3. BD丄 DC,二Z 3=30°,设 CD=x 则 x+x+x+2x=10,x=2 .在 Rt BCD中, BD=二-.作DEI BC,垂足为E.1x4 江 DE 二丄 x2x2则 -,/,19 .过E作EM/AB, EN/CD交BC分别于

15、 M N,则得皿和】、,有AE=BMEN=CD/ B=Z EMC/ C=Z ENB 又/ B+Z C=90°，则/ EMC£ ENB=90，有/ MEN=90。又 BF=CF AE=DE 有 MF=NF:. -。SF=-(BC-AD).MN=BC-BM-CN=BC-AE-DE=BC-AD ；。20. v 四边形 ABCD!等腰梯形，.AB=CDZ BAD/ CDA EA=ED.Z EADZ EDA.Z BAD-Z EADZ CDAZ EDA 即 Z BAEZ CDE在BAE和 CDE中,血二 CD”AE 二 DE. BAEA CDE SAS EB=EC21, v 四边形 A

16、BDE是等腰梯形，/ BDEM ABD AB=DE 又;AB=DC- DE=DC ：四边形 ABCD!矩形，/ ABDM BDCBDEM BDC在厶 BEDftA BCD中."DEmDC2EDE 二上BDC,BD -BDr BEDA BCD22. 女口图，过点 E作 EG/AB交 BC于 G,作 EH/CD交 BC于 H,贝UM B=M EGC M C=M EHB又/ B+M C=90°，/ EGCM EHB=90 , M GEH=90 . AD/BC,：四边形ABGE和四边形EHCDffi是平行四边形. AE=BG ED=HC 又 T AE=ED BF=FC BG+HC=

17、ADGF=FH BC-AD=GHt E、F分是上、下底的中点， GH=FH又tM GEH为直角，EF = IgH EF是直角三角形斜边的中线，：，直角三角形的性质EF = 1(BC-AD)习题精选1一等腰梯形上底等于一腰，下底等于一腰的2倍，梯形的周长为25,那么它的对角线的长为（）A. 5C. 5上D. 3上答案：CC1x,则由题意可知腰也为 x,且下底为2x,说明：设该等腰梯形的上底为所以由该梯形的周长为 25，可得x+2x+2x = 25 , x = 5，如图，贝U CE = DF,5且 CE+DF = DGAB = 5,知 CE =二，因此，/ C = 60 0；不难得出/ 1 = /

18、 2 =1:- Z ADC =二 / C = 30o,所以 DBL BC, DB =：亠'二 5 ,答案为C.2. 如图，线段AC BD相交于点O,欲使四边形ABCD为等腰梯形，应满足的条件是（）A. AO = CO, BO = DOB. AO = CO, BO = DO,Z AOB = 90oC. AO = DO, BO = CO, AX BCD. AO = DO, Z AOD = 90o答案：C说明：由选项A可得四边形为平行四边形；由选项 B可得四边形为矩形；则选项C, AO = DO, BO = CO可得 AC = BD ,由于Z AOD = 180o- 2Z DAO Z COB

19、 = 180o- 2Z BCO得出Z DAO=Z BCO因此，AD/BC ,又AX BC,所以四边形 ABCD为梯形，且对 角线AC = BD,即四边形ABCD为等腰梯形，选项 C正确；由选项D中的条件无法得出 两条对角线相等，所以答案为 C.3. 如图，梯形 ABCD中 , AB/CD ,假设 AD = a , CD = b ,AB = a+b ,则以下等式一定成立的是（）A. Z A = Z BB. BC = aC. BC = b答案：D说明：过点 C作 CE/AD，贝9 CE = AD = a , AE = CD = b，所以 BE = AB- AE = a , 得出 CE = BE,贝

20、B = / ECB 因此，有/ D = / AEC 二/ B+Z ECB = 2 / B成立，答案 为D.填空题:1.如图，直角梯形 ABCD中, AD/BC，CD = 8，Z ADC = 120o，则 AB 的长为.答案：4E,贝V AB = DE，由已知Z ADC = 120o，知Z C = 60o,所以 Rt DEC中, DC= 2EC 得 EC= 4,贝U AB= DE= '=4.2等腰梯形的上、下底分别是 3cm和5cm 一个角是 1350，则等腰梯形的面积为 .答案：4cm说明：如图，等腰梯形 ABCD AB = 3 , CD = 5 , Z ABC = 135o,则Z B

21、CD = 45o, 过B作BE! DC则厶BEC为等腰直角三角形，BE= EC同样过A作AF丄DC则有AF = FD,而FD+EC = CD AB = 5-3 = 2 , AF = BE,所以AF = 1，因此，该梯形的面积为 (3+5) X 1 宁 2 = 4cm 2.解答题：1.如图，AB/CD, AE± CD, AE = 12 , BD = 15 , AC = 20 ,求梯形 ABCD勺面积.分析：过点A作BD的平行线交CD的延长线于点F,得到口AFDB则AB = FD, AF =BD,利用勾股定理分别求出 EF、EC的长解：过点A作AF/BD交CD的延长线于点F AB/CD,

22、a四边形AFDB是平行四边形 AB = FD, AF = BD = 15 AE! CD AC = 20 , AE = 12/. EF 二 一 二 9 , EC =-"'二 16 FC = EF+EC = 25丄丄丄 S 梯形 ABCD = (AB+CD)?AE 二；(FD+CD)?AE = ： FC?AE2 S 梯形 ABCD = X 25 X 12 = 150 .12.如图，在 ABC中，/ ACB = 90o,延长BC到点D,使CD = BC,点E、F分别为边AB AC的中点；求证：四边形 EFDB是等腰梯 形.分析：利用“两腰相等的梯形是等腰梯形”进行证明证明：连结EC

23、1 E、F 分别为 AB AC的中点， EF/BC , EF BC四边形EFDB是梯形2/ ACB = 90o,. EC = EB = ： AB22 CD 二空 BC, EF =BC,二 EF/CD 且 EF = CD四边形EFDC是平行四边形 EC = FD,a EB = FD四边形EFDB是等腰梯形.12. 1梯形选择题1以下说法正确的选项是A .梯形的两条对角线相等B .有两个内角相等的梯形是等腰梯形C.有两条边相等的梯形是等腰梯形D 一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是等腰梯形2四边形四个内角度数之比为2: 2: 1: 3,则此四边形是A 任意四边形B 任意梯形C 等腰梯形 D

24、 直角梯形3直角梯形的一腰是另一腰的2倍，则此梯形的最大角与最小角的度数之比是A 2：1 B3：1 C4：1 D5：14等腰梯形的两腰分别与两对角线互相垂直，一底边与一腰相等， 那么它的四个内角的度数分别是 A50°，50°，130°， 130° B60°， 60°，120°，120°C45°，45°，135°， 135° D70°， 70°， 110°， 110°5在周长为40cm的梯形ABCD中，AD/BC, AE/DC交BC于E,

25、 AD 5cm，贝U ABE的周长为A40cm B30cm C20cm D 15cm6顺次连结等腰梯形各边中点得到的图形是A 平行四边形 B 矩形 C.菱形 D 正方形7梯形的上底长为 6cm，过上底一个顶点引一腰的平行线，交下底所得的三角形的周长是19cm，那么这个梯形的周长为 A31cm B. 25cm C .19cm D 28cm8等腰梯形 ABCD 中,AD / BC, AC与BD相交于点0,图中全等三角形有A2对 B 4对 C 1对 D 3对9直角梯形 ABCD 中,AB/DC, B C 90 ,AD20,BC10，则 A和 D分别是A30°, 150° B 45

26、°, 135° C 120°, 60° D150°,30°10等腰梯形两底之差等于一腰长,则腰与上底的夹角为A60°B 120° C135° D 150°参考答案：1. D 2. D提示：设四个角分别为2x,2x,x,3x 由四边形的内角和为 360°知四个角分别是 90°, 90°, 45 135°，可得一组对边平行，另一组对边不平行，且有两个角是90°3D 提示：应用直角三角形中，如果一条直线边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30 &

27、#176;4B 提示：运用等腰梯形及直角三角形的性质.5B 提示：ABE的周长等于梯形周长减去 10 6C提示：运用等腰梯形的对角线相等，可知所得的平行四边形有一组邻边相等.7A 提示：梯形的周长等于所得三角形周长加上上底的2倍.& D 提示： ABD 与 ACD, ABC 与 DBC, AOB 与 DOC 全等.9. D .提示：运用直角三角形中 30°角所对的直角边等于斜边的一半.10B 提示：平移一腰后可得等边三角形121 梯形 填空题1 梯形上底长为5cm，过上底的一端点引一腰的平行线与下底相交，假设所得三角形的周长为20cm,则梯形的周长为 cm2等腰梯形的上底与高

28、相等,下底是上底的3 倍,则下底的一个底角为 3等腰梯形的一个锐角等于60°,它的上底是3cm，腰长是4cm,则下底是 .4一个梯形的面积是 24,它的上、下底的长分别是 5和 7,则梯形的高是 5如图，在梯形 ABCD 中，AD/BC,AD AB DC , BD CD，贝U C .6 .如图，等腰梯形ABCD中，2假设梯形的周长是30cm ,AD cm, B 7假设等腰梯形的周长是 30cm, AD / BC, BC 2AD, BD平分 ABC , BD DC，贝U AD &梯形 ABCD 中，AB / CD, A 30 , B 30 ,CD 3cm, AD 10cm，贝U

29、 AB 的长是参考答案：1.302.45 °3.74.45.60 °6.6 607.6&10 312. 1梯形解答题1.如图，梯形ABCD中,AB/ DC, AD BC，延长 AB 到 E,使 BEDC .试说明AC CE .2.如图，等腰梯形 ABCD中，AD/BC, AC,BD为对角线，延长BC到E,使CE AD，连结DE,试判断 DEC与 DBC相等吗?50cm ,3 .如图，等腰梯形ABCD中，AD/BC, ABC的平分线恰为 BD，已知梯形的周长为AD 1BC 求梯形各边的长.24如图，在梯形 ABCD中，AB/CD, M , N是CD和AB的中点，MN AB，那么AD BC吗？说明你的理由.5如图，等腰梯形ABCD中，AD/BC,AB到DE，再将 DCE翻折，得到 DC E ,则 EDC 6根据以下图，填写下表:梯形个数123456n周长5811147.在如下图的梯形 ABCD中，AD / BC, AC和BD相交于点0,试说明S aob S doc&如下图，要剪切如图1长度单位：mm所示的甲、乙两种直角梯形零件，且使两种零件的数量相 等.有两种面积相等的矩形铝板可供选用：第一种长500mm，宽300mm,如图2所示；第二种长600mm,宽250mm，如图3所示.f300t250*- 50() r*600 H(3)_